Modéliser la dynamique des populations
Terminale · Enseignement scientifique · Une histoire du vivant
Une histoire du vivant
Croissance linéaire, croissance géométrique
Combien serons-nous en 2100 ? Combien restera-t-il de tigres dans vingt ans ? Ces questions n'ont pas de réponse observable : on ne peut pas mesurer le futur. On construit donc un modèle, c'est-à-dire une règle mathématique qui prolonge ce qu'on a observé. Le modèle n'est jamais la réalité — mais bien choisi, il dit quelque chose de vrai sur la forme de l'évolution à venir.
Reconnaître le bon modèle sur des données
| Modèle linéaire | Modèle géométrique | |
|---|---|---|
| Ce qui est constant | la différence entre deux termes | le rapport entre deux termes |
| Relation de récurrence | u(n+1) = u(n) + a | u(n+1) = q × u(n) |
| Forme explicite | u(n) = u(0) + a × n | u(n) = u(0) × q puissance n |
| Allure de la courbe | droite | courbe qui s'emballe (si q > 1) |
| Test sur les données | u(1) − u(0) = u(2) − u(1) | u(1)/u(0) = u(2)/u(1) |
| Exemple biologique | prélèvement à quota fixe | bactéries en milieu non limitant |
Le temps de doublement
Une histoire du vivant
Capacité d'accueil et limites des modèles
Le modèle géométrique a un défaut rédhibitoire : il ne s'arrête jamais. Prolongé assez loin, il prédit que n'importe quelle bactérie finit par peser plus lourd que la Terre. Le milieu, lui, est fini : nourriture, espace, oxygène. Il faut donc un modèle qui intègre ce freinage.
La courbe en S.
Le modèle logistique produit une courbe caractéristique, dite sigmoïde ou « en S » : démarrage lent, phase d'accélération, puis ralentissement et stabilisation autour de K. On l'observe très bien sur des cultures de levures ou de bactéries en milieu clos, et elle décrit correctement la reprise de nombreuses populations animales après une réintroduction.
- Phase de latence : effectif faible, croissance peu visible.
- Phase exponentielle : les ressources sont abondantes, la croissance s'emballe.
- Phase de ralentissement : la compétition pour les ressources augmente.
- Phase stationnaire : l'effectif oscille autour de la capacité d'accueil K.
- En milieu clos non renouvelé, une phase de déclin peut suivre, par épuisement des ressources et accumulation de déchets.
Ce qu'un modèle peut, et ce qu'il ne peut pas
| Le modèle permet de… | …mais il ne peut pas |
|---|---|
| dégager une tendance et une allure générale | prédire un effectif exact à long terme |
| comparer des scénarios (avec ou sans protection) | anticiper un événement imprévu (épidémie, incendie) |
| tester une hypothèse en la confrontant aux données | remplacer les mesures de terrain |
| éclairer une décision politique ou écologique | dire ce qu'il faut décider |
Exercices corrigés
Qu'est-ce qui caractérise une croissance de type géométrique ?
- A.On ajoute chaque année le même nombre d'individus
- B.On multiplie chaque année par le même coefficientBonne réponse
- C.L'effectif augmente puis diminue régulièrement
- D.L'effectif reste constant d'une année sur l'autre
Réponse : B — On multiplie chaque année par le même coefficient
Dans un modèle géométrique, c'est le rapport entre deux termes consécutifs qui est constant : u(n+1) = q × u(n). Ajouter chaque fois le même nombre correspond au modèle linéaire, où c'est la différence qui reste constante. Une astuce pour trancher devant un tableau : calcule d'abord les différences, puis les quotients.
Que représente la capacité d'accueil K d'un milieu ?
- A.La surface totale occupée par la population
- B.Le nombre d'espèces différentes qu'abrite le milieu
- C.La vitesse maximale de croissance de la population
- D.L'effectif maximal que le milieu peut soutenir durablementBonne réponse
Réponse : D — L'effectif maximal que le milieu peut soutenir durablement
La capacité d'accueil, ou capacité biotique, est l'effectif au-delà duquel les ressources du milieu (nourriture, espace, abris) ne suffisent plus. Ne la confonds pas avec r, qui contrôle la vitesse de croissance : K fixe le plafond, r fixe la rapidité avec laquelle on s'en approche.
Une population de 500 individus augmente de 30 individus par an selon un modèle linéaire. Quel sera l'effectif au bout de 4 ans ?
- A.620Bonne réponse
- B.530
- C.1400
- D.600
Réponse : A — 620
Dans un modèle linéaire, u(n) = u(0) + a × n = 500 + 30 × 4 = 500 + 120 = 620 individus. Répondre 530, c'est n'avoir compté qu'une seule année. La croissance linéaire est la seule où l'on peut multiplier directement l'accroissement annuel par le nombre d'années.
Une population de 2000 individus croît selon un modèle géométrique de coefficient q = 1,1. Quel est l'effectif au bout d'un an ?
- A.2010
- B.2200Bonne réponse
- C.2100
- D.2020
Réponse : B — 2200
u(1) = q × u(0) = 1,1 × 2000 = 2200 individus. Un coefficient de 1,1 correspond à une hausse de 10 %, soit 200 individus supplémentaires sur 2000. Répondre 2100 reviendrait à appliquer une hausse de 5 %.
Une population de 1000 individus croît de 2 % par an. Quel est l'effectif au bout de 3 ans (arrondi à l'unité) ?
- A.1060
- B.1006
- C.1061Bonne réponse
- D.1200
Réponse : C — 1061
u(3) = 1000 × 1,02 puissance 3. Calculons pas à pas : 1000 × 1,02 = 1020 ; 1020 × 1,02 = 1040,4 ; 1040,4 × 1,02 = 1061,2. On obtient donc 1061 individus. Le piège est de répondre 1060 en additionnant les pourcentages (3 × 2 % = 6 %) : les pourcentages ne s'additionnent pas, l'écart provient des intérêts composés.
Une population croît de 5 % par an. En utilisant la règle des 70, en combien de temps double-t-elle environ ?
- A.5 ans
- B.35 ans
- C.70 ans
- D.14 ansBonne réponse
Réponse : D — 14 ans
La règle des 70 donne 70 / 5 = 14 ans. Vérification : 1,05 puissance 14 vaut environ 1,98, très proche de 2. Cette règle marche très bien pour les taux faibles et permet de raisonner de tête : 1 % donne 70 ans, 2 % donne 35 ans, 7 % donne 10 ans.
On relève les effectifs suivants : 200, 240, 288, 345,6. De quel modèle s'agit-il ?
- A.Géométrique de raison 1,2Bonne réponse
- B.Linéaire d'accroissement 40
- C.Géométrique de raison 1,4
- D.Logistique avec K = 400
Réponse : A — Géométrique de raison 1,2
Testons les différences : 240 − 200 = 40, mais 288 − 240 = 48. Elles ne sont pas constantes, donc le modèle n'est pas linéaire. Testons les quotients : 240/200 = 1,2 ; 288/240 = 1,2 ; 345,6/288 = 1,2. Le quotient est constant : c'est un modèle géométrique de raison 1,2, soit une croissance de 20 % par période.
Une population diminue de 5 % par an. Quel coefficient multiplicateur faut-il utiliser ?
- A.−0,05
- B.0,95Bonne réponse
- C.1,05
- D.−1,05
Réponse : B — 0,95
Une baisse de 5 % signifie qu'il reste 95 % de l'effectif, donc q = 1 − 0,05 = 0,95. Un coefficient multiplicateur est toujours positif : un effectif ne peut pas devenir négatif. Attention aussi à ne pas écrire 1,05, qui correspondrait à une hausse.
Une population subit une baisse de 20 % une année, puis une hausse de 20 % l'année suivante. Où en est-elle par rapport au départ ?
- A.Elle est revenue exactement à son effectif initial
- B.Elle a perdu 4 % de son effectif initialBonne réponse
- C.Elle a gagné 4 % de son effectif initial
- D.Elle a perdu 40 % de son effectif initial
Réponse : B — Elle a perdu 4 % de son effectif initial
Il faut multiplier les coefficients : 0,80 × 1,20 = 0,96, soit 96 % de l'effectif de départ, donc une perte de 4 %. La raison est intuitive : la hausse de 20 % s'applique à un effectif déjà réduit, elle « rapporte » donc moins que ce que la baisse avait retiré. Les variations en pourcentage ne se compensent jamais terme à terme.
On applique le modèle logistique avec u(0) = 200, r = 0,4 et K = 1000. Que vaut u(1) ?
- A.280
- B.264Bonne réponse
- C.240
- D.600
Réponse : B — 264
Calcul pas à pas : u(0)/K = 200/1000 = 0,2 ; le frein vaut 1 − 0,2 = 0,8. L'accroissement vaut r × u(0) × frein = 0,4 × 200 × 0,8 = 80 × 0,8 = 64. Donc u(1) = 200 + 64 = 264. Répondre 280 revient à oublier le frein : c'est le résultat du modèle géométrique de même taux (200 × 1,4 = 280).
Modèle logistique avec r = 0,6 et K = 800. La population vaut actuellement 400 individus. Quel est l'accroissement de l'année ?
- A.240 individus
- B.160 individus
- C.480 individus
- D.120 individusBonne réponse
Réponse : D — 120 individus
u/K = 400/800 = 0,5 donc le frein vaut 1 − 0,5 = 0,5. Accroissement = 0,6 × 400 × 0,5 = 240 × 0,5 = 120 individus. La population passe donc de 400 à 520. Remarque intéressante : c'est exactement à la moitié de la capacité d'accueil que l'accroissement annuel est le plus grand — c'est le point d'inflexion de la courbe en S.
Une population de bactéries double toutes les 20 minutes. Partant de 1000 bactéries, combien y en aura-t-il au bout de 2 heures ?
- A.6000
- B.12 000
- C.64 000Bonne réponse
- D.8000
Réponse : C — 64 000
Deux heures représentent 120 minutes, soit 120/20 = 6 périodes de doublement. L'effectif est donc multiplié par 2 puissance 6 = 64 : 1000 × 64 = 64 000 bactéries. Répondre 6000 revient à multiplier par le nombre de périodes au lieu de doubler à chaque période : c'est confondre croissance linéaire et croissance géométrique. Répondre 12 000 supposerait un seul doublement par heure.
S'entraîner sur ce chapitre
Ce chapitre compte 36 exercices corrigés dans l'application, avec le suivi de ta progression.
Commencer les exercices