Modélisation des mouvements et des efforts
Première · Sciences de l'ingénieur · Modéliser et prévoir les performances
Modéliser et prévoir les performances
Modéliser les liaisons et les mouvements
Pour prévoir le comportement d'un mécanisme, on ne travaille jamais sur l'objet réel : on construit un modèle. On remplace les pièces par des solides indéformables, les contacts par des liaisons normalisées, et l'on dessine un schéma cinématique qui ne conserve que ce qui influence le mouvement.
Les six degrés de liberté
Dans l'espace, un solide libre possède 6 degrés de liberté : trois translations (suivant x, y et z) et trois rotations (autour de x, y et z). Chaque liaison en supprime un certain nombre. Le nombre de degrés de liberté restants s'appelle la mobilité de la liaison.
| Liaison | Translations libres | Rotations libres | Degrés de liberté | Exemple concret |
|---|---|---|---|---|
| Encastrement | 0 | 0 | 0 | Assemblage vissé, soudure, collage |
| Pivot | 0 | 1 | 1 | Axe de roue, charnière de porte |
| Glissière | 1 | 0 | 1 | Tiroir, tige de vérin dans son corps |
| Hélicoïdale | 1 liée à la rotation | 1 liée à la translation | 1 | Vis dans son écrou, étau |
| Pivot glissant | 1 | 1 | 2 | Arbre dans un palier lisse long |
| Appui plan | 2 | 1 | 3 | Livre posé sur une table |
| Rotule (sphérique) | 0 | 3 | 3 | Levier de vitesses, rotule de suspension |
Translation, rotation : reconnaître un mouvement
- Translation rectiligne : tous les points du solide décrivent des droites parallèles et ont, à chaque instant, le même vecteur vitesse. Exemple : la cabine d'un ascenseur.
- Rotation autour d'un axe fixe : tous les points décrivent des cercles centrés sur l'axe. La vitesse d'un point vaut v = R x oméga : plus le point est loin de l'axe, plus il va vite. Exemple : une pale d'éolienne.
- Translation circulaire : les points décrivent des cercles de même rayon mais le solide ne tourne pas sur lui-même. Exemple : une nacelle de grande roue, qui reste toujours horizontale.
Modéliser et prévoir les performances
Modéliser les efforts et écrire l'équilibre
Le moment : l'effet de rotation d'une force
Pousser une porte près des gonds ou près de la poignée demande des efforts très différents : la force ne suffit donc pas à décrire l'effet d'une action. On introduit le moment, qui mesure l'aptitude d'une force à faire tourner un solide autour d'un axe.
Le principe fondamental de la statique
Un solide est en équilibre lorsqu'il reste immobile (ou anime d'un mouvement rectiligne uniforme) dans le repère d'étude. Le principe fondamental de la statique (PFS) impose alors deux conditions simultanées.
- Condition sur les forces : la somme vectorielle de toutes les actions mécaniques extérieures appliquées au solide est nulle. Le solide ne part donc dans aucune direction.
- Condition sur les moments : la somme des moments de ces mêmes actions, calculés par rapport à un même point, est nulle. Le solide ne se met donc pas à tourner.
| Cas particulier | Ce que le PFS impose | Comment l'exploiter |
|---|---|---|
| Solide soumis à deux forces | Les deux forces ont même droite d'action, même norme et des sens opposés | Si l'on connaît la droite d'action de l'une, on connaît celle de l'autre : la direction est donnée par la droite joignant les deux points d'application |
| Solide soumis à trois forces non parallèles | Les trois droites d'action sont concourantes en un même point et la somme vectorielle est nulle | On construit le point de concours graphiquement, puis on ferme le triangle des forces (dynamique) pour lire les normes inconnues |
| Solide soumis à des forces parallèles | Somme des normes algébriques nulle et somme des moments nulle | On choisit comme point de calcul des moments celui où passe une inconnue : son moment s'annule et l'équation ne garde qu'une inconnue |
Exercices corrigés
Combien de degrés de liberté possède un solide libre dans l'espace ?
- A.3
- B.4
- C.6Bonne réponse
- D.8
Réponse : C — 6
Un solide libre peut effectuer 3 translations (suivant x, y et z) et 3 rotations (autour de x, y et z), soit 6 degrés de liberté. Le distracteur 3 correspond aux seules translations : c'est l'oubli des rotations, très fréquent quand on raisonne uniquement en déplacement du centre de gravité.
Quelle liaison autorise uniquement une rotation autour d'un axe ?
- A.La liaison pivotBonne réponse
- B.La liaison glissière
- C.La liaison rotule
- D.La liaison appui plan
Réponse : A — La liaison pivot
La liaison pivot laisse un seul degré de liberté : une rotation autour de son axe. C'est le modèle d'une charnière de porte ou d'un axe de roue. La glissière autorise une translation, la rotule trois rotations et l'appui plan trois mouvements (deux translations et une rotation).
Quelles sont les quatre caractéristiques d'une force ?
- A.Masse, vitesse, accélération, durée
- B.Point d'application, direction, sens, normeBonne réponse
- C.Longueur, largeur, hauteur, poids
- D.Couple, puissance, rendement, énergie
Réponse : B — Point d'application, direction, sens, norme
Une force est un vecteur : elle est entièrement définie par son point d'application, sa direction (la droite d'action), son sens et sa norme en newtons. Oublier le point d'application ou la direction rend impossible tout calcul de moment, puisque c'est la droite d'action qui fixe le bras de levier.
Une force de 250 N s'exerce avec un bras de levier de 0,4 m. Quel est le moment produit ?
- A.625 N.m
- B.100 N.mBonne réponse
- C.0,0016 N.m
- D.250,4 N.m
Réponse : B — 100 N.m
M = F x d = 250 x 0,4 = 100 N.m. Refais le calcul autrement pour vérifier : 250 x 4 = 1000, puis on divise par 10 car 0,4 = 4/10, ce qui donne bien 100. Le distracteur 625 vient d'une division (250 / 0,4), erreur classique quand on confond la formule du moment avec un rapport.
Pourquoi la liaison hélicoïdale (vis-écrou) n'a-t-elle qu'un seul degré de liberté malgré la présence d'une rotation et d'une translation ?
- A.Parce que la translation est très faible devant la rotation
- B.Parce que la translation est imposée par la rotation via le pas de la visBonne réponse
- C.Parce qu'on néglige toujours le mouvement axial dans le modèle
- D.Parce que la vis ne peut tourner que dans un seul sens
Réponse : B — Parce que la translation est imposée par la rotation via le pas de la vis
Les deux mouvements ne sont pas indépendants : un tour de vis correspond exactement à une avance d'un pas. Il suffit donc d'un seul paramètre pour décrire complètement la position relative des deux pièces, ce qui définit 1 degré de liberté. Une liaison à 2 degrés de liberté, comme le pivot glissant, permettrait de tourner sans avancer et inversement.
Sur une grande roue de fête foraine, les nacelles restent toujours horizontales tout en décrivant un cercle. De quel mouvement s'agit-il ?
- A.Une rotation autour d'un axe fixe
- B.Une translation rectiligne
- C.Une translation circulaireBonne réponse
- D.Un mouvement hélicoïdal
Réponse : C — Une translation circulaire
Tous les points de la nacelle décrivent des cercles de même rayon, mais la nacelle ne pivote pas sur elle-même : son orientation reste constante. C'est la définition de la translation circulaire. Le critère décisif est là : dans une vraie rotation, la nacelle se retournerait et les passagers seraient tête en bas en haut du parcours.
Une force dont la droite d'action passe exactement par l'axe de rotation d'une pièce produit un moment :
- A.Maximal, car la force est bien centrée
- B.Nul, car le bras de levier est nulBonne réponse
- C.Égal à la force multipliée par le rayon de la pièce
- D.Impossible à calculer sans connaître la masse
Réponse : B — Nul, car le bras de levier est nul
Le bras de levier est la distance perpendiculaire entre l'axe et la droite d'action. Si la droite d'action passe par l'axe, cette distance vaut zéro, donc M = F x 0 = 0. C'est pour cela qu'on ne peut pas ouvrir une porte en poussant dans l'axe des gonds, même de toutes ses forces.
Quelles sont les deux conditions imposées par le principe fondamental de la statique ?
- A.Somme des forces nulle et somme des vitesses nulle
- B.Somme des masses nulle et somme des moments nulle
- C.Somme des puissances nulle et somme des accélérations nulle
- D.Somme des forces nulle et somme des moments nulle en un même pointBonne réponse
Réponse : D — Somme des forces nulle et somme des moments nulle en un même point
Deux conditions simultanées : la somme vectorielle des actions extérieures est nulle (le solide ne se translate pas) et la somme de leurs moments, calculés par rapport à un même point, est nulle (le solide ne tourne pas). Oublier la deuxième condition est l'erreur la plus coûteuse : un solide peut avoir une résultante nulle et se mettre pourtant à tourner sous l'effet d'un couple.
Une brouette porte une charge de 800 N située à 0,5 m de l'axe de la roue. Les poignées sont à 1,5 m de ce même axe. Quel effort vertical l'utilisateur doit-il fournir pour maintenir l'équilibre ?
- A.800 N
- B.400 N
- C.267 NBonne réponse
- D.2400 N
Réponse : C — 267 N
On écrit la somme des moments par rapport à l'axe de la roue, où l'action du sol a un moment nul. Moment de la charge : 800 x 0,5 = 400 N.m. Moment de l'utilisateur : F x 1,5. Équilibre : F x 1,5 = 400, donc F = 400 / 1,5 = 266,7 N, soit environ 267 N. Vérification : 267 x 1,5 = 400,5 N.m, cohérent. Le distracteur 400 N est le moment (en N.m) pris à tort pour une force.
Une roue de rayon 0,3 m tourne à 300 tr/min. Quelle est la vitesse d'avance du véhicule, en m/s ?
- A.9,42 m/sBonne réponse
- B.90 m/s
- C.1,5 m/s
- D.0,26 m/s
Réponse : A — 9,42 m/s
Deux étapes. Conversion : oméga = 300 x 2 x pi / 60 = 5 x 2 x pi = 10 x pi = 31,4 rad/s. Puis v = R x oméga = 0,3 x 31,4 = 9,42 m/s, soit environ 34 km/h. Vérification par le périmètre : la roue avance de 2 x pi x 0,3 = 1,885 m par tour, et 300 tr/min font 5 tours par seconde, donc 5 x 1,885 = 9,42 m/s. Les deux méthodes concordent. Le distracteur 1,5 m/s vient de l'oubli du facteur 2 x pi.
Un solide en équilibre est soumis à trois forces non parallèles. Que peut-on affirmer de leurs droites d'action ?
- A.Elles sont deux à deux perpendiculaires
- B.Elles sont concourantes en un même pointBonne réponse
- C.Elles passent obligatoirement par le centre de gravité
- D.Elles forment un triangle équilatéral
Réponse : B — Elles sont concourantes en un même point
Si les trois droites n'étaient pas concourantes, on pourrait choisir comme point de calcul l'intersection de deux d'entre elles : leurs moments s'annuleraient, et il resterait le moment non nul de la troisième — le solide tournerait. La concourance est donc imposée par la condition sur les moments. Une fois le point de concours construit, on ferme le triangle des forces pour lire les normes inconnues.
Pour résoudre un problème de statique avec plusieurs inconnues, quel point choisir pour écrire l'équation des moments ?
- A.Toujours le centre de gravité du solide
- B.Un point situé à l'extérieur du solide
- C.Un point par lequel passent le plus d'inconnues possibleBonne réponse
- D.N'importe quel point : cela ne change rien à la difficulté
Réponse : C — Un point par lequel passent le plus d'inconnues possible
Le PFS est vrai en tout point : mathématiquement, le choix est libre. Mais stratégiquement, choisir un point par lequel passent des forces inconnues annule leurs moments (bras de levier nul) et fait disparaître ces inconnues de l'équation. On obtient souvent une équation à une seule inconnue, résoluble immédiatement — c'est le geste qui distingue un calcul de trois lignes d'un système de trois équations.
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