Comportement mécanique : statique et dynamique
Terminale · Sciences de l'ingénieur · Résoudre et prévoir les comportements
Résoudre et prévoir les comportements
Statique : équilibre, moments et actions mécaniques
Dimensionner un bras de robot, choisir un moteur de portail, vérifier qu'une passerelle ne bascule pas : dans tous les cas, on commence par écrire un équilibre. La statique, c'est l'art de traduire « ça ne bouge pas » en équations exploitables.
Le moment d'une force
Le moment mesure l'aptitude d'une force à faire tourner un solide autour d'un point ou d'un axe. Pour une force perpendiculaire au bras de levier :
M = F × d
où d est la distance perpendiculaire entre la ligne d'action de la force et le point (ou l'axe) considéré. Le moment s'exprime en newton-mètre (N·m).
Deux cas d'équilibre à connaître
| Situation | Condition d'équilibre | Méthode de résolution |
|---|---|---|
| Solide soumis à 2 forces | Les deux forces ont même droite d'action, même intensité, sens opposés | Immédiat : on déduit la direction de l'action inconnue |
| Solide soumis à 3 forces non parallèles | Les trois droites d'action sont concourantes en un même point, et la somme des forces est nulle | Résolution graphique par triangle des forces, ou projection sur deux axes |
Le frottement
Le contact entre deux solides fait naître une action normale N (perpendiculaire au contact) et une action tangentielle T (dans le plan du contact). Tant qu'il n'y a pas glissement, on est en adhérence et T reste inférieure à une valeur limite :
T ≤ f × N
où f est le coefficient d'adhérence, sans unité. Dès que l'effort tangentiel exigé dépasse f × N, le glissement s'amorce.
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Dynamique : accélérer, freiner, dimensionner
Dès que le système accélère ou décélère, la statique ne suffit plus. Un moteur d'ascenseur ne doit pas seulement tenir la cabine : il doit aussi la mettre en mouvement. C'est cette part d'effort supplémentaire que la dynamique permet de chiffrer.
| Grandeur | Translation | Rotation |
|---|---|---|
| Grandeur d'inertie | Masse m (kg) | Moment d'inertie J (kg·m²) |
| Position | x (m) | Angle θ (rad) |
| Vitesse | v (m/s) | ω (rad/s) |
| Action | Force F (N) | Couple ou moment C (N·m) |
| Loi fondamentale | Somme F = m × a | Somme M = J × dω/dt |
| Énergie cinétique | 1/2 × m × v² | 1/2 × J × ω² |
| Puissance | P = F × v | P = C × ω |
L'approche énergétique
Quand la question porte sur une variation de vitesse entre deux instants, le théorème de l'énergie cinétique est souvent plus rapide que le PFD : la variation de l'énergie cinétique d'un solide entre deux instants est égale à la somme des travaux de toutes les actions extérieures entre ces deux instants.
Exercices corrigés
Quelles sont les deux conditions du principe fondamental de la statique ?
- A.La somme des forces est nulle et la somme des moments est nulle.Bonne réponse
- B.La somme des forces est nulle et la vitesse est constante.
- C.La somme des moments est nulle et la masse est constante.
- D.La somme des forces est égale à m × a et la somme des moments est nulle.
Réponse : A — La somme des forces est nulle et la somme des moments est nulle.
L'équilibre interdit à la fois la translation et la rotation, d'où deux conditions : résultante nulle et moment résultant nul. La proposition 4 décrit le PFD, pas le PFS : quand l'accélération est nulle, m × a vaut zéro et l'on retrouve bien la condition statique.
Une force de 20 N s'exerce perpendiculairement à un bras de levier de 0,30 m. Quel est son moment par rapport à l'axe ?
- A.0,015 N·m
- B.6,0 N·mBonne réponse
- C.66,7 N·m
- D.20,3 N·m
Réponse : B — 6,0 N·m
M = F × d = 20 × 0,30 = 6,0 N·m. Le distracteur 66,7 N·m vient d'une division (20 / 0,3) et le distracteur 0,015 de la division inverse : garde le réflexe que le moment est un produit, donc plus le bras de levier est long, plus le moment est grand.
Une masse de 20 kg est posée sur une table. On prend g = 10 m/s². Quelle est l'intensité de son poids ?
- A.2,0 N
- B.20 N
- C.200 NBonne réponse
- D.0,50 N
Réponse : C — 200 N
Le poids vaut P = m × g = 20 × 10 = 200 N. Ne confonds jamais masse et poids : la masse (20 kg) est une quantité de matière, le poids (200 N) est une force. Le distracteur 20 N confond justement la valeur numérique de la masse avec une force.
Un solide de masse 50 kg subit une accélération de 2,0 m/s². Quelle est l'intensité de la résultante des forces extérieures ?
- A.25 N
- B.52 N
- C.100 NBonne réponse
- D.500 N
Réponse : C — 100 N
Application directe du PFD : somme des F = m × a = 50 × 2,0 = 100 N. Le distracteur 500 N correspond au poids (m × g avec g = 10) : c'est une force bien présente sur le solide, mais ce n'est pas la résultante demandée ici.
Un levier pivote en O. Une charge exerce 300 N à 0,10 m de O. Quelle force faut-il appliquer de l'autre côté, à 0,60 m de O, pour équilibrer ?
- A.1800 N
- B.180 N
- C.300 N
- D.50 NBonne réponse
Réponse : D — 50 N
Équilibre des moments autour de O : F × 0,60 = 300 × 0,10 = 30 N·m. Donc F = 30 / 0,60 = 50 N. Le distracteur 1800 N multiplie au lieu de diviser, ce qui donnerait un levier qui augmente l'effort à fournir alors qu'on s'éloigne du pivot — contraire à l'intuition du levier. Le rapport des bras est ici de 6, l'effort est donc divisé par 6.
Un véhicule de 1000 kg roule à 10 m/s. Quelle est son énergie cinétique ?
- A.10 000 J
- B.100 000 J
- C.5000 J
- D.50 000 JBonne réponse
Réponse : D — 50 000 J
E = 1/2 × m × v² = 0,5 × 1000 × 10² = 0,5 × 1000 × 100 = 50 000 J, soit 50 kJ. Le distracteur 100 000 J oublie le facteur 1/2, et 10 000 J oublie d'élever la vitesse au carré. Retiens la conséquence physique du carré : à vitesse double, l'énergie à dissiper au freinage est quadruplée.
Une force de 500 N tracte un chariot à la vitesse constante de 4,0 m/s. Quelle puissance développe-t-elle ?
- A.125 W
- B.2000 WBonne réponse
- C.504 W
- D.2000 J
Réponse : B — 2000 W
En translation, P = F × v = 500 × 4,0 = 2000 W, soit 2 kW. Attention au distracteur 4 : la valeur numérique est bonne mais l'unité est fausse — le joule mesure une énergie, le watt une puissance (une énergie par seconde). En SI, une unité erronée invalide la réponse.
Une caisse de 40 kg repose sur un sol horizontal, le coefficient d'adhérence vaut f = 0,30 et g = 10 m/s². Quel effort horizontal maximal peut-on exercer sans la faire glisser ?
- A.12 N
- B.400 N
- C.120 NBonne réponse
- D.1333 N
Réponse : C — 120 N
Sur un sol horizontal, l'action normale équilibre le poids : N = m × g = 40 × 10 = 400 N. La condition d'adhérence donne T maximal = f × N = 0,30 × 400 = 120 N. Le distracteur 400 N est l'action normale elle-même (on a oublié de multiplier par f), et 12 N vient d'avoir appliqué f à la masse plutôt qu'au poids.
Un treuil lève une charge de 100 kg à la vitesse constante de 0,50 m/s (g = 10 m/s²). Quelle est la puissance utile de levage ?
- A.500 WBonne réponse
- B.50 W
- C.1000 W
- D.200 W
Réponse : A — 500 W
Vitesse constante, donc accélération nulle : l'effort du câble équilibre simplement le poids, F = m × g = 100 × 10 = 1000 N. Puis P = F × v = 1000 × 0,50 = 500 W. Le distracteur 1000 W confond l'effort (1000 N) avec la puissance : n'oublie pas de multiplier par la vitesse.
Un chariot de 200 kg subit une force de frottement de 100 N. Quel effort de traction faut-il pour lui donner une accélération horizontale de 1,0 m/s² ?
- A.100 N
- B.300 NBonne réponse
- C.200 N
- D.2100 N
Réponse : B — 300 N
Projette le PFD sur l'axe du mouvement : F traction − F frottement = m × a. Le terme d'accélération vaut m × a = 200 × 1,0 = 200 N. L'effort de traction doit donc vaincre le frottement et fournir l'accélération : F = 100 + 200 = 300 N. Le distracteur 200 N ne retient que l'accélération et oublie le frottement ; le distracteur 100 N fait l'inverse et suffirait seulement à maintenir une vitesse constante. Le distracteur 2100 N vient d'avoir ajouté le poids (2000 N), qui est vertical et n'intervient pas dans la projection horizontale.
Une charge de 80 kg est levée avec une accélération vers le haut de 2,0 m/s² (g = 10 m/s²). Quelle est la tension du câble ?
- A.800 N
- B.160 N
- C.640 N
- D.960 NBonne réponse
Réponse : D — 960 N
Projette le PFD sur un axe vertical dirigé vers le haut : T − m × g = m × a, donc T = m × (g + a) = 80 × (10 + 2,0) = 80 × 12 = 960 N. Les deux distracteurs correspondent aux deux moitiés du raisonnement pris isolément : 800 N est le seul poids (on a oublié l'accélération) et 160 N le seul terme m × a (on a oublié le poids). L'accélération s'ajoute à la gravité, elle ne la remplace pas. Le distracteur 640 N correspondrait à une décélération, donc à une descente freinée.
Un tambour de rayon 0,20 m enroule un câble soumis à un effort de 400 N, à la vitesse linéaire de 0,60 m/s. Que valent le couple sur le tambour et sa vitesse angulaire ?
- A.80 N·m et 3,0 rad/sBonne réponse
- B.2000 N·m et 0,12 rad/s
- C.80 N·m et 0,12 rad/s
- D.2000 N·m et 3,0 rad/s
Réponse : A — 80 N·m et 3,0 rad/s
Couple : C = F × r = 400 × 0,20 = 80 N·m. Vitesse angulaire : ω = v / r = 0,60 / 0,20 = 3,0 rad/s. Contrôle très utile : la puissance doit être la même vue des deux côtés. F × v = 400 × 0,60 = 240 W, et C × ω = 80 × 3,0 = 240 W. Les deux coïncident, le résultat est validé. Les distracteurs inversent la multiplication et la division par r.
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Ce chapitre compte 36 exercices corrigés dans l'application, avec le suivi de ta progression.
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