Modélisation multiphysique et performances
Terminale · Sciences de l'ingénieur · Analyser et modéliser les systèmes
Analyser et modéliser les systèmes
Modéliser : effort, flux et analogies entre domaines
Simuler un vélo électrique oblige à faire cohabiter dans un même calcul une batterie, un moteur, un réducteur et une roue — donc de l'électricité, de l'électromagnétisme et de la mécanique. C'est tout l'intérêt de la modélisation multiphysique : décrire ces domaines avec un langage commun pour les brancher les uns aux autres.
Le couple effort / flux
L'effort est la grandeur qui « pousse » (tension, force, couple, pression). Le flux est la grandeur qui « circule » (courant, vitesse, débit). Dans tous les cas : P = effort × flux. C'est cette régularité qui rend les domaines analogues.
| Domaine | Effort | Flux | Puissance |
|---|---|---|---|
| Électrique | Tension u (V) | Courant i (A) | P = u × i |
| Mécanique en translation | Force F (N) | Vitesse v (m/s) | P = F × v |
| Mécanique en rotation | Couple C (N·m) | Vitesse angulaire ω (rad/s) | P = C × ω |
| Hydraulique | Pression p (Pa) | Débit volumique Q (m³/s) | P = p × Q |
| Thermique | Température T (K) | Flux thermique (W) | — |
Les trois familles de composants
Quel que soit le domaine, un composant appartient à l'une de ces trois familles. Reconnaître la famille, c'est savoir immédiatement quelle équation écrire.
| Famille | Rôle | Exemple électrique | Exemple mécanique |
|---|---|---|---|
| Source | Fournit l'énergie | Batterie, générateur | Effort moteur imposé |
| Dissipatif | Transforme l'énergie en chaleur (perte) | Résistance R (u = R × i) | Frottement visqueux f (C = f × ω) |
| Stockage | Emmagasine puis restitue l'énergie | Condensateur C, bobine L | Inertie J, ressort de raideur k |
Analyser et modéliser les systèmes
Du modèle à la performance : schémas-blocs et validation
Un modèle n'a d'intérêt que s'il prédit quelque chose. Reste donc à savoir de quel type de modèle on parle, comment on l'assemble, et jusqu'où on peut lui faire confiance.
Modèle de connaissance ou modèle de comportement ?
| Modèle de connaissance | Modèle de comportement | |
|---|---|---|
| Origine | Les lois de la physique | Des mesures expérimentales |
| Ce qu'il décrit | Le fonctionnement interne, cause par cause | La relation entrée/sortie, sans expliquer l'intérieur |
| Paramètres | Grandeurs physiques identifiables (R, L, J, k) | Coefficients ajustés pour coller aux courbes |
| Atout | Prédictif : on peut changer un composant et resimuler | Rapide à obtenir, fidèle au système réel testé |
| Limite | Nécessite de connaître toute la physique en jeu | Ne vaut que dans le domaine où l'on a mesuré |
Assembler : les schémas-blocs
Un schéma-bloc représente le modèle sous forme de blocs reliés par des signaux orientés. Chaque bloc porte une opération (un gain, une intégration, une fonction de transfert) appliquée au signal d'entrée. Trois règles suffisent pour simplifier la plupart des schémas de Terminale.
Le modèle du moteur à courant continu
C'est le modèle multiphysique par excellence : il couple l'électrique et le mécanique en trois équations, à connaître par cœur.
Constante de temps et validation
Beaucoup de sous-systèmes se comportent comme un premier ordre, caractérisé par une constante de temps τ. Sa lecture est universelle : à t = τ, la sortie a atteint 63 % de sa valeur finale ; à t = 3τ elle en atteint 95 %. C'est pourquoi le temps de réponse à 5 % d'un premier ordre vaut 3τ.
Exercices corrigés
En mécanique de rotation, quelle expression donne la puissance ?
- A.P = C / ω
- B.P = C × ωBonne réponse
- C.P = F × v
- D.P = J × ω
Réponse : B — P = C × ω
La puissance est toujours le produit d'un effort par un flux. En rotation, l'effort est le couple C (en N·m) et le flux la vitesse angulaire ω (en rad/s) : P = C × ω. La formule P = F × v est la version translation, correcte mais pas pour la rotation. J × ω est un moment cinétique, pas une puissance.
Dans le domaine électrique, quelle grandeur joue le rôle d'effort et laquelle celui de flux ?
- A.Effort : le courant. Flux : la tension.
- B.Effort : la résistance. Flux : la puissance.
- C.Effort : la tension. Flux : le courant.Bonne réponse
- D.Effort : la puissance. Flux : l'énergie.
Réponse : C — Effort : la tension. Flux : le courant.
La tension est ce qui « pousse » les charges, c'est l'effort ; le courant est ce qui « circule », c'est le flux. Le produit des deux donne bien la puissance : P = u × i. L'analogie est directe avec la mécanique : la tension joue le rôle de la force, le courant celui de la vitesse.
À quelle famille de composants appartient une résistance électrique ?
- A.Composant dissipatif.Bonne réponse
- B.Composant de stockage.
- C.Source d'énergie.
- D.Composant de transmission.
Réponse : A — Composant dissipatif.
Une résistance transforme irréversiblement l'énergie électrique en chaleur : c'est un composant dissipatif, régi par u = R × i. Son équivalent mécanique est le frottement visqueux (C = f × ω). Les composants de stockage sont la bobine et le condensateur, qui restituent l'énergie emmagasinée.
Un modèle établi à partir des lois de la physique, dont les paramètres ont un sens physique identifiable, s'appelle…
- A.un modèle de comportement.
- B.un modèle empirique.
- C.un modèle de connaissance.Bonne réponse
- D.un modèle statistique.
Réponse : C — un modèle de connaissance.
Le modèle de connaissance découle des lois physiques (loi des mailles, principe fondamental de la dynamique…) et ses paramètres sont des grandeurs mesurables comme R, L, J ou k. Le modèle de comportement, lui, est ajusté sur des essais et ne décrit pas l'intérieur du système : on l'appelle aussi modèle « boîte noire ».
Pour un système du premier ordre, à quel pourcentage de sa valeur finale la sortie est-elle parvenue au bout d'une constante de temps τ ?
- A.50 %
- B.95 %
- C.63 %Bonne réponse
- D.100 %
Réponse : C — 63 %
C'est la lecture caractéristique du premier ordre : 63 % à t = τ, puis 95 % à t = 3τ. La valeur 95 % correspond donc à 3τ, pas à τ. Et la valeur finale n'est atteinte qu'asymptotiquement, jamais exactement à un instant fini.
Un moteur tourne à N = 3000 tr/min. Quelle est sa vitesse angulaire en rad/s ?
- A.50 rad/s
- B.3000 rad/s
- C.18 850 rad/s
- D.314 rad/sBonne réponse
Réponse : D — 314 rad/s
La conversion est ω = 2 × π × N / 60. Ici : 2 × π × 3000 / 60 = π × 100 ≈ 314 rad/s. Le distracteur 50 rad/s correspond à une division par 60 seulement (c'est la fréquence en tours par seconde, pas en rad/s). Le distracteur 18 850 vient d'avoir multiplié par 2π sans diviser par 60.
Un solide en rotation d'inertie J = 0,050 kg·m² tourne à ω = 20 rad/s. Quelle est son énergie cinétique ?
- A.1,0 J
- B.20 J
- C.10 JBonne réponse
- D.0,50 J
Réponse : C — 10 J
E = 1/2 × J × ω² = 0,5 × 0,050 × 20². Calcule d'abord le carré : 20² = 400. Puis 0,5 × 0,050 = 0,025, et 0,025 × 400 = 10 J. Le distracteur 1,0 J vient d'avoir oublié d'élever ω au carré (0,5 × 0,050 × 20 = 0,5). Le carré est essentiel : doubler la vitesse quadruple l'énergie.
Un moteur à courant continu de constante k = 0,20 N·m/A est parcouru par un courant de 5,0 A. Quel couple électromagnétique développe-t-il ?
- A.1,0 N·mBonne réponse
- B.25 N·m
- C.0,040 N·m
- D.5,2 N·m
Réponse : A — 1,0 N·m
Le couple d'un moteur à courant continu est proportionnel au courant : C = k × i = 0,20 × 5,0 = 1,0 N·m. Retiens la logique physique : c'est le courant qui fixe le couple, tandis que la tension fixe la vitesse. Un moteur bloqué qui doit fournir un fort couple appelle donc un fort courant — d'où le risque d'échauffement.
En hydraulique, quelle expression donne la puissance transportée par un fluide ?
- A.P = pression × débitBonne réponse
- B.P = pression / débit
- C.P = pression × section
- D.P = débit × vitesse
Réponse : A — P = pression × débit
Là encore, puissance = effort × flux. En hydraulique, l'effort est la pression p (en Pa) et le flux le débit volumique Q (en m³/s) : P = p × Q. Vérification par les unités : Pa × m³/s = (N/m²) × (m³/s) = N·m/s = W. Cohérent.
Pourquoi la même constante k apparaît-elle dans les relations e = k·ω et C = k·i d'un moteur à courant continu ?
- A.Par convention de notation, sans raison physique particulière.
- B.Parce que la conversion électromécanique conserve la puissance : e × i = C × ω.Bonne réponse
- C.Parce que la résistance de l'induit est supposée nulle.
- D.Parce que le moteur est supposé tourner à vitesse constante.
Réponse : B — Parce que la conversion électromécanique conserve la puissance : e × i = C × ω.
C'est la clé du couplage multiphysique. La puissance électrique convertie vaut e × i, la puissance mécanique produite vaut C × ω. En l'absence de pertes dans la conversion elle-même, ces deux puissances sont égales : k·ω × i = k·i × ω, ce qui est vérifié identiquement. Si les deux constantes différaient, le modèle créerait ou détruirait de l'énergie. Les propositions 3 et 4 évoquent des hypothèses réelles du modèle simplifié, mais elles n'expliquent pas l'égalité des constantes.
Un moteur de constante k = 0,10 V·s/rad et de résistance R = 2,0 Ω est alimenté sous 24 V. En régime permanent il absorbe 2,0 A. Quelle est sa vitesse de rotation ?
- A.240 rad/s
- B.200 rad/sBonne réponse
- C.220 rad/s
- D.20 rad/s
Réponse : B — 200 rad/s
Applique l'équation électrique en régime permanent : u = R × i + e, donc e = 24 − 2,0 × 2,0 = 24 − 4 = 20 V. Puis e = k × ω donne ω = 20 / 0,10 = 200 rad/s. Le distracteur 240 rad/s oublie la chute de tension dans la résistance (il calcule 24/0,1). Le distracteur 220 rad/s utilise R = 1 Ω au lieu de 2 Ω : relis toujours les données avant de conclure.
Un arbre d'inertie J = 0,040 kg·m² subit un frottement visqueux de coefficient f = 0,020 N·m·s/rad. Quelle est la constante de temps mécanique, et le temps de réponse à 5 % ?
- A.τ = 0,50 s et temps de réponse 1,5 s
- B.τ = 2,0 s et temps de réponse 6,0 sBonne réponse
- C.τ = 2,0 s et temps de réponse 0,67 s
- D.τ = 0,50 s et temps de réponse 0,17 s
Réponse : B — τ = 2,0 s et temps de réponse 6,0 s
La constante de temps mécanique vaut τ = J / f = 0,040 / 0,020 = 2,0 s. Pour un premier ordre, le temps de réponse à 5 % vaut 3τ = 6,0 s. Le distracteur 0,50 s correspond au rapport inversé f/J. Les distracteurs qui divisent par 3 au lieu de multiplier inversent la logique : la réponse est forcément plus lente que la constante de temps, jamais plus rapide.
S'entraîner sur ce chapitre
Ce chapitre compte 37 exercices corrigés dans l'application, avec le suivi de ta progression.
Commencer les exercices