Systèmes asservis et régulation
Terminale · Sciences de l'ingénieur · Résoudre et prévoir les comportements
Résoudre et prévoir les comportements
La boucle fermée : structure et principe
Un four qui maintient 180 °C malgré l'ouverture de la porte, un drone qui garde son altitude dans le vent, un robot dont le bras s'arrête exactement à la bonne position : tous appliquent la même idée. Ils mesurent ce qu'ils font, le comparent à ce qu'on leur demande, et corrigent l'écart en permanence.
Les constituants de la boucle
| Constituant | Rôle | Exemple |
|---|---|---|
| Consigne | Valeur souhaitée de la grandeur réglée | Température de 180 °C demandée |
| Comparateur | Calcule l'écart ε = consigne − mesure | Soustracteur dans le microcontrôleur |
| Correcteur | Élabore la commande à partir de l'écart | Correcteur P, PI ou PID |
| Préactionneur | Module la puissance envoyée à l'actionneur | Hacheur, variateur, relais statique |
| Actionneur | Agit sur le système | Moteur, résistance chauffante |
| Capteur | Mesure la grandeur de sortie et la renvoie | Codeur, thermocouple, gyromètre |
Ce qu'apporte réellement la boucle fermée
Formalisme : FTBO et FTBF
On appelle FTBO (fonction de transfert en boucle ouverte) le produit de tous les blocs rencontrés en parcourant la boucle une fois : chaîne directe puis chaîne de retour. La FTBF décrit le comportement du système bouclé complet, entre la consigne et la sortie.
Résoudre et prévoir les comportements
Performances et correction : stabilité, précision, rapidité
Régler un asservissement, c'est arbitrer entre trois exigences qui se contrarient. On les évalue toutes sur la réponse à un échelon de consigne, la courbe reine du chapitre.
| Performance | Ce qu'on observe | Indicateur |
|---|---|---|
| Stabilité | La sortie converge vers une valeur finale sans osciller indéfiniment | Dépassement, marge de phase, marge de gain |
| Précision | La sortie finit-elle par atteindre la consigne ? | Erreur statique (en régime permanent) |
| Rapidité | Combien de temps pour arriver ? | Temps de réponse à 5 % |
| Amortissement | Y a-t-il des oscillations avant stabilisation ? | Premier dépassement, en % de la valeur finale |
Le compromis fondamental
Augmenter le gain du correcteur améliore deux choses et en dégrade une troisième. C'est le cœur du chapitre, et la question la plus posée à l'oral :
Les actions correctrices
| Action | Principe | Effet principal | Inconvénient |
|---|---|---|---|
| Proportionnelle (P) | Commande proportionnelle à l'écart | Améliore rapidité et précision | Erreur statique jamais nulle ; déstabilise si trop forte |
| Intégrale (I) | Commande proportionnelle à l'accumulation de l'écart dans le temps | Annule l'erreur statique | Ralentit et déstabilise le système |
| Dérivée (D) | Commande proportionnelle à la vitesse de variation de l'écart | Anticipe, réduit le dépassement, stabilise | Amplifie les bruits de mesure |
Exercices corrigés
Que calcule le comparateur d'un système asservi ?
- A.La somme de la consigne et de la mesure.
- B.L'écart entre la consigne et la mesure.Bonne réponse
- C.Le produit de la consigne par le gain du correcteur.
- D.La dérivée de la grandeur de sortie.
Réponse : B — L'écart entre la consigne et la mesure.
Le comparateur réalise la soustraction ε = consigne − mesure. C'est cet écart, et lui seul, qui alimente le correcteur : tant qu'il n'est pas nul, le système continue d'agir. Une somme au lieu d'une différence donnerait une boucle à retour positif, qui diverge au lieu de converger.
Quel constituant constitue la chaîne de retour d'un asservissement ?
- A.L'actionneur
- B.Le préactionneur
- C.Le correcteur
- D.Le capteurBonne réponse
Réponse : D — Le capteur
C'est le capteur qui mesure la grandeur de sortie et la renvoie vers le comparateur : sans lui, pas de boucle fermée. Le correcteur, le préactionneur et l'actionneur appartiennent tous à la chaîne directe (ou chaîne d'action).
Quelles sont les trois performances principales d'un système asservi ?
- A.Rendement, puissance et autonomie.
- B.Linéarité, sensibilité et résolution.
- C.Stabilité, précision et rapidité.Bonne réponse
- D.Couple, vitesse et inertie.
Réponse : C — Stabilité, précision et rapidité.
Ce trio structure toute l'analyse d'un asservissement : la stabilité (la sortie converge-t-elle ?), la précision (atteint-elle la consigne ?) et la rapidité (en combien de temps ?). Ces trois exigences sont partiellement contradictoires, d'où la nécessité d'un réglage de compromis. La proposition 2 liste des caractéristiques de capteurs, pas de boucles.
Que se passe-t-il, en général, lorsqu'on augmente fortement le gain proportionnel d'un correcteur ?
- A.La précision et la rapidité s'améliorent, mais la stabilité se dégrade.Bonne réponse
- B.Les trois performances s'améliorent simultanément.
- C.La stabilité s'améliore, mais la précision se dégrade.
- D.Rien ne change : le gain n'agit que sur le régime permanent.
Réponse : A — La précision et la rapidité s'améliorent, mais la stabilité se dégrade.
C'est le compromis central du chapitre. Un gain plus fort produit une commande plus vigoureuse pour un même écart : le système réagit plus vite (rapidité) et l'erreur statique 1/(1+K) diminue (précision). Mais cette vigueur fait dépasser la cible, puis osciller, et au-delà d'un gain critique le système diverge. Si les trois performances pouvaient s'améliorer ensemble, le réglage d'un asservissement n'aurait aucun intérêt.
Un système à retour unitaire a un gain de chaîne directe K = 4. Pour une consigne de 100, à quelle valeur la sortie se stabilise-t-elle ?
- A.80Bonne réponse
- B.400
- C.25
- D.20
Réponse : A — 80
Le gain en boucle fermée vaut K / (1 + K) = 4 / 5 = 0,80. La sortie se stabilise donc à 0,80 × 100 = 80, avec une erreur statique de 20 % (soit bien 1/(1+K) = 1/5). Le distracteur 400 applique le gain de chaîne directe sans tenir compte du bouclage : il ignore que le retour réduit l'écart au fur et à mesure. Le distracteur 20 donne l'erreur, pas la sortie.
Un système du premier ordre de constante de temps τ = 0,10 s et de gain K = 4 est bouclé avec un retour unitaire. Quel est le temps de réponse à 5 % du système bouclé ?
- A.0,30 s
- B.0,060 sBonne réponse
- C.0,020 s
- D.0,50 s
Réponse : B — 0,060 s
Le bouclage d'un premier ordre divise la constante de temps par (1 + K) : τ BF = 0,10 / 5 = 0,020 s. Le temps de réponse à 5 % d'un premier ordre vaut 3τ, donc 3 × 0,020 = 0,060 s. Le distracteur 0,020 s confond constante de temps et temps de réponse (à t = τ, on n'est encore qu'à 63 %). Le distracteur 0,30 s est le temps de réponse en boucle ouverte (3 × 0,10) : il oublie l'accélération apportée par le bouclage.
Le cahier des charges impose une erreur statique inférieure à 2 %. Avec un correcteur purement proportionnel à retour unitaire, quelle valeur minimale du gain K faut-il ?
- A.K > 2
- B.K > 20
- C.K > 49Bonne réponse
- D.K > 100
Réponse : C — K > 49
L'erreur vaut 1 / (1 + K) et doit être inférieure à 0,02. Donc 1 + K doit dépasser 1 / 0,02 = 50, ce qui donne K > 49. Vérifie : avec K = 49 on a exactement 1/50 = 0,02, il faut donc aller au-delà. Le distracteur K > 20 correspond à une erreur de 1/21, soit environ 4,8 % : bien trop. Le distracteur K > 2 confond le gain avec le pourcentage visé. Le piège principal reste d'oublier le « 1 + » du dénominateur et d'écrire 1/K = 0,02.
Sur une réponse indicielle, la consigne vaut 100, la valeur finale de la sortie 90 et le maximum atteint 99. Que valent l'erreur statique et le premier dépassement ?
- A.Erreur 10 %, dépassement 1 %
- B.Erreur 10 %, dépassement 10 %Bonne réponse
- C.Erreur 1 %, dépassement 10 %
- D.Erreur 10 %, dépassement 9 %
Réponse : B — Erreur 10 %, dépassement 10 %
L'erreur statique se calcule par rapport à la consigne : (100 − 90) / 100 = 10 %. Le dépassement, lui, se calcule par rapport à la valeur finale : (99 − 90) / 90 = 9 / 90 = 0,10, soit 10 %. Le piège de la réponse 1 consiste à mesurer le dépassement par rapport à la consigne (99 contre 100), ce qui n'a pas de sens : ici la sortie ne dépasse jamais la consigne, et pourtant elle dépasse bel et bien sa valeur d'équilibre de 10 %. Deux références différentes, ne les mélange pas.
Un asservissement de position atteint sa cible avec un dépassement de 25 % et une erreur statique de 8 %. Le cahier des charges exige moins de 10 % de dépassement et moins de 1 % d'erreur. Quelle démarche de réglage est cohérente ?
- A.Augmenter le gain proportionnel : cela réduira l'erreur, et le dépassement suivra.
- B.Réduire le gain proportionnel : cela réduira à la fois le dépassement et l'erreur.
- C.Ajouter une action intégrale pour annuler l'erreur, puis une action dérivée pour ramener le dépassement sous 10 %.Bonne réponse
- D.Aucun réglage n'est possible : les deux exigences sont mathématiquement incompatibles.
Réponse : C — Ajouter une action intégrale pour annuler l'erreur, puis une action dérivée pour ramener le dépassement sous 10 %.
Les deux défauts appellent des remèdes différents, d'où la nécessité d'un correcteur combiné. L'erreur de 8 % relève de la précision : l'action intégrale l'annule, sans avoir à pousser le gain. Le dépassement de 25 % relève de la stabilité, et l'intégrale va même l'aggraver : on ajoute donc une action dérivée, qui freine par anticipation. C'est exactement la logique du PID. La proposition 1 améliorerait l'erreur mais ferait exploser le dépassement, déjà trop élevé ; la proposition 2 réduirait bien le dépassement mais augmenterait l'erreur statique, puisqu'elle vaut 1/(1+K).
Quelle est la principale limite d'un système fonctionnant en boucle ouverte ?
- A.Il ne peut pas corriger l'effet des perturbations, faute de mesurer sa sortie.Bonne réponse
- B.Il est toujours instable.
- C.Il consomme nécessairement plus d'énergie qu'un système bouclé.
- D.Il ne peut fonctionner qu'avec une consigne constante.
Réponse : A — Il ne peut pas corriger l'effet des perturbations, faute de mesurer sa sortie.
En boucle ouverte, aucun capteur ne renseigne le système sur ce qu'il obtient réellement : il applique une commande « à l'aveugle ». Toute perturbation (vent, charge supplémentaire, dérive du composant) se répercute intégralement sur la sortie. En revanche, un système en boucle ouverte est plutôt plus stable qu'un système bouclé : c'est justement le bouclage qui introduit le risque d'instabilité.
Qu'est-ce que l'erreur statique d'un asservissement ?
- A.L'écart entre la consigne et la valeur finale de la sortie, en régime permanent.Bonne réponse
- B.L'écart maximal observé pendant le régime transitoire.
- C.L'incertitude de mesure du capteur.
- D.Le temps nécessaire pour atteindre la consigne.
Réponse : A — L'écart entre la consigne et la valeur finale de la sortie, en régime permanent.
« Statique » renvoie au régime permanent, une fois que tout est stabilisé : c'est ce qu'il reste comme écart quand le système a fini de bouger. L'écart maximal du transitoire correspond au dépassement, et la durée d'établissement au temps de réponse : trois indicateurs différents à ne pas confondre.
Quelle action correctrice permet d'annuler l'erreur statique ?
- A.L'action proportionnelle
- B.L'action dérivée
- C.L'action intégraleBonne réponse
- D.Aucune : l'erreur statique est toujours inévitable
Réponse : C — L'action intégrale
Seule l'action intégrale y parvient, parce qu'elle accumule l'écart au cours du temps : tant qu'un écart subsiste, la commande continue d'augmenter, et le seul équilibre possible est ε = 0. L'action proportionnelle réduit l'erreur sans jamais l'annuler (il faut un écart résiduel pour maintenir la commande), et l'action dérivée, qui réagit aux variations, n'a plus aucun effet une fois le régime permanent atteint.
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