Des édifices ordonnés : les cristaux
Première · Enseignement scientifique · Une longue histoire de la matière
Une longue histoire de la matière
La structure des cristaux : maille, motif et compacité
Le sel de ta cuisine, le quartz d'un galet, le fer d'une poutre : tous sont des cristaux. Ce qui les définit n'est pas leur belle forme extérieure, mais l'ordre parfait qui règne à l'échelle atomique. Comprendre cet ordre permet de prévoir des propriétés mesurables à notre échelle, comme la masse volumique.
Compter les entités d'une maille
Une entité située sur un sommet ou une face de la maille est partagée avec les mailles voisines : on ne lui attribue donc qu'une fraction. La règle de partage est la même pour toutes les mailles cubiques :
• entité au sommet : partagée entre 8 mailles, elle compte pour 1/8 ;
• entité au centre d'une face : partagée entre 2 mailles, elle compte pour 1/2 ;
• entité au milieu d'une arête : partagée entre 4 mailles, elle compte pour 1/4 ;
• entité au centre de la maille : elle appartient entièrement à la maille, elle compte pour 1.
| Maille cubique simple | Maille cubique à faces centrées (CFC) | |
|---|---|---|
| Positions occupées | les 8 sommets du cube | les 8 sommets + les centres des 6 faces |
| Décompte | 8 × 1/8 = 1 | 8 × 1/8 + 6 × 1/2 = 1 + 3 = 4 |
| Nombre d'entités par maille | 1 | 4 |
| Contact entre entités | le long d'une arête : a = 2r | le long de la diagonale d'une face : 4r = a × racine de 2 |
| Compacité | environ 0,52 (52 % du volume occupé) | environ 0,74 (74 % du volume occupé) |
La compacité est la fraction du volume de la maille réellement occupée par la matière : compacité = (volume occupé par les entités de la maille) / (volume de la maille). Elle est toujours comprise entre 0 et 1 et ne dépend que de la géométrie de l'empilement, jamais de la taille des atomes. C'est pour cela que tous les métaux à structure CFC ont la même compacité de 0,74.
Une longue histoire de la matière
Cristaux des roches, verres et biominéraux
Les cristaux ne sont pas réservés aux laboratoires : ils constituent l'essentiel des roches et une partie de ton propre corps. Leur taille et leur présence même racontent une histoire — celle de la vitesse à laquelle le magma a refroidi, ou celle du milieu dans lequel un être vivant a construit sa coquille.
Roches magmatiques : la vitesse de refroidissement décide de tout
Un magma qui refroidit lentement, en profondeur, laisse aux atomes le temps de se ranger : de gros cristaux se forment, visibles à l'œil nu. C'est le cas du granite, à texture dite grenue, entièrement cristallisé (quartz, feldspaths, micas).
Un magma qui refroidit rapidement, à la surface après une éruption, ne laisse pas ce temps : les cristaux restent minuscules et sont noyés dans une pâte non cristallisée. C'est le basalte, à texture microlitique.
Un refroidissement brutal (coulée dans l'eau, projection) fige les atomes dans le désordre : aucun cristal ne se forme, on obtient un verre, comme l'obsidienne.
| Roche | Lieu et vitesse de refroidissement | Texture observée | Taille des cristaux |
|---|---|---|---|
| Granite | En profondeur, très lent (milliers d'années) | Grenue, entièrement cristallisée | Grands, visibles à l'œil nu |
| Basalte | En surface, rapide (heures à jours) | Microlitique : petits cristaux dans une pâte vitreuse | Très petits, visibles au microscope |
| Obsidienne | En surface, brutal (trempe) | Vitreuse, aucun ordre | Aucun cristal |
Les cristaux du vivant
De nombreux êtres vivants fabriquent eux-mêmes des cristaux : c'est la biominéralisation. Les coquilles de mollusques et les tests d'oursins sont bâtis en carbonate de calcium (calcite ou aragonite). Le squelette des diatomées est en silice. Tes os et l'émail de tes dents sont faits de cristaux de phosphate de calcium (hydroxyapatite).
Ces cristaux biologiques ne se forment pas au hasard : leur composition et leur forme sont contrôlées par la cellule, ce qui les distingue des cristaux purement géologiques. Ils constituent aussi de précieuses archives : la composition d'une coquille fossile renseigne sur la température de l'eau à l'époque de sa formation.
Exercices corrigés
Qu'est-ce qui caractérise un cristal ?
- A.Une belle forme géométrique visible à l'œil nu, avec des faces planes et des arêtes nettes
- B.Un arrangement ordonné et périodique des entités dans les trois directions de l'espaceBonne réponse
- C.Une transparence parfaite qui laisse passer toute la lumière sans aucune déformation
- D.Une très grande dureté qui permet au matériau de rayer le verre et de résister à toute forme d'usure mécanique
Réponse : B — Un arrangement ordonné et périodique des entités dans les trois directions de l'espace
La définition d'un cristal est microscopique : c'est l'ordre périodique de l'empilement des atomes, ions ou molécules qui compte, pas l'aspect extérieur. Beaucoup de cristaux sont microscopiques, opaques ou tendres — le sel, le graphite ou les microlites d'un basalte en sont de bons exemples.
Combien d'entités contient une maille cubique simple, dont les entités occupent uniquement les huit sommets du cube ?
- A.8
- B.4
- C.1Bonne réponse
- D.2
Réponse : C — 1
Chaque entité placée sur un sommet est partagée entre 8 mailles voisines : elle ne compte donc que pour 1/8. Le calcul donne 8 × 1/8 = 1 entité par maille. Répondre 8 revient à oublier la règle du partage, qui est le réflexe fondamental de tout décompte de maille.
Le granite présente de gros cristaux bien visibles à l'œil nu. Que peut-on en déduire sur sa formation ?
- A.Le magma a refroidi lentement, en profondeurBonne réponse
- B.Le magma a refroidi très rapidement, au contact de l'eau
- C.La roche s'est formée par dépôt de sédiments
- D.Le magma était particulièrement pauvre en silice
Réponse : A — Le magma a refroidi lentement, en profondeur
Plus le refroidissement est lent, plus les atomes ont le temps de se ranger et plus les cristaux grossissent. Un granite, formé en profondeur sur des milliers d'années, présente donc une texture grenue à gros cristaux. À l'inverse, un refroidissement rapide en surface donne le basalte, aux cristaux minuscules.
Que vaut approximativement la compacité d'une structure cubique à faces centrées ?
- A.0,74Bonne réponse
- B.0,52
- C.1,00
- D.0,26
Réponse : A — 0,74
La structure cubique à faces centrées est l'un des empilements les plus compacts possibles : environ 74 % du volume de la maille est occupé par la matière, les 26 % restants étant du vide entre les sphères. La cubique simple, beaucoup moins efficace, ne remplit que 52 % du volume. Une compacité de 1,00 est impossible : des sphères ne peuvent jamais remplir tout l'espace.
Quelle expression permet de calculer la masse volumique d'un cristal cubique d'arête a, contenant n entités de masse molaire M par maille ?
- A.n × M × NA / a puissance 3
- B.M / (n × NA × a puissance 3)
- C.n × M / (NA × a puissance 3)Bonne réponse
- D.n × NA / (M × a puissance 3)
Réponse : C — n × M / (NA × a puissance 3)
La masse volumique est le rapport masse sur volume. La masse d'une entité vaut M / NA, donc la maille pèse n × M / NA. Son volume est a puissance 3. En divisant, on obtient bien n × M / (NA × a puissance 3). Multiplier par NA au lieu de diviser donnerait un résultat absurde, de l'ordre de 10 puissance 47.
Un métal cristallise dans une maille cubique simple d'arête a = 2,00 × 10 puissance -10 m et sa masse molaire vaut M = 24,0 g/mol. Quelle est sa masse volumique ? (NA = 6,02 × 10 puissance 23 /mol)
- A.0,50 g/cm3
- B.40 g/cm3
- C.5,0 g/cm3Bonne réponse
- D.20 g/cm3
Réponse : C — 5,0 g/cm3
La maille cubique simple contient n = 1 entité, donc m = 24,0 / (6,02 × 10 puissance 23) = 3,99 × 10 puissance -23 g. Convertis l'arête : a = 2,00 × 10 puissance -8 cm, d'où V = (2,00 × 10 puissance -8) puissance 3 = 8,00 × 10 puissance -24 cm3. La masse volumique vaut 3,99 × 10 puissance -23 / 8,00 × 10 puissance -24 = 5,0 g/cm3 environ. C'est bien l'ordre de grandeur attendu pour un métal léger.
Dans une maille cubique simple d'arête a, les atomes assimilés à des sphères de rayon r se touchent le long d'une arête. Quelle relation lie a et r, et que vaut la compacité ?
- A.a = 4r, et la compacité vaut environ 0,74
- B.a = 2r, et la compacité vaut environ 0,52Bonne réponse
- C.a = r, et la compacité vaut environ 1,00
- D.a = 2r, et la compacité vaut environ 0,74
Réponse : B — a = 2r, et la compacité vaut environ 0,52
Deux sphères tangentes centrées sur deux sommets voisins occupent l'arête sur une longueur de deux rayons : a = 2r. La compacité vaut alors le volume d'une sphère divisé par le volume du cube : (4/3 × pi × r puissance 3) / (2r) puissance 3 = (4/3 × pi × r puissance 3) / (8 r puissance 3) = pi / 6, soit environ 0,52. La valeur 0,74 est celle de la cubique à faces centrées, à ne pas confondre.
Un métal cristallise dans une maille cubique à faces centrées d'arête a = 4,00 × 10 puissance -10 m. Les atomes se touchent le long de la diagonale d'une face. Quel est le rayon atomique r ? (racine de 2 = 1,41)
- A.2,00 × 10 puissance -10 m
- B.2,82 × 10 puissance -10 m
- C.1,00 × 10 puissance -10 m
- D.1,41 × 10 puissance -10 mBonne réponse
Réponse : D — 1,41 × 10 puissance -10 m
Sur la diagonale d'une face, de longueur a × racine de 2, on rencontre successivement un rayon, un diamètre entier (l'atome du centre de face) et un rayon : soit 4r au total. On a donc 4r = a × racine de 2, d'où r = a × racine de 2 / 4 = 4,00 × 10 puissance -10 × 1,41 / 4 = 1,41 × 10 puissance -10 m. Répondre 2,00 × 10 puissance -10 m revient à appliquer par erreur la relation a = 2r de la maille cubique simple.
L'aluminium et l'or cristallisent tous deux dans une structure cubique à faces centrées, mais les atomes d'or ont un rayon nettement plus grand. Que peut-on dire de leurs compacités et de leurs masses volumiques ?
- A.Compacités identiques (0,74), mais masses volumiques différentesBonne réponse
- B.L'or est plus compact car ses atomes sont plus gros
- C.Compacités et masses volumiques sont identiques puisque la structure est la même
- D.L'aluminium est plus compact car ses atomes laissent moins de vide
Réponse : A — Compacités identiques (0,74), mais masses volumiques différentes
La compacité est un rapport de volumes qui ne dépend que de la géométrie de l'empilement : le rayon r se simplifie entièrement dans le calcul. Toute structure cubique à faces centrées a donc une compacité de 0,74, quel que soit l'atome. La masse volumique, elle, dépend de la masse molaire et de l'arête a : l'or, bien plus lourd par atome, atteint environ 19 g/cm3 contre 2,7 g/cm3 pour l'aluminium. Compacité et masse volumique sont deux grandeurs à ne surtout pas confondre.
Qu'est-ce qu'un solide amorphe, comme le verre ?
- A.Un solide dont les cristaux sont trop petits pour être vus
- B.Un solide dont les entités sont disposées sans ordre ni périodicitéBonne réponse
- C.Un liquide très visqueux qui n'est pas vraiment solide
- D.Un solide formé d'un seul type d'atome
Réponse : B — Un solide dont les entités sont disposées sans ordre ni périodicité
Dans un solide amorphe, les entités sont bien liées entre elles, mais réparties de façon désordonnée : il n'existe ni motif qui se répète, ni maille. Attention à ne pas confondre avec un solide microcristallin comme le basalte, qui est réellement cristallisé mais à très petite échelle.
Quelle est la différence entre un minéral et une roche ?
- A.Un minéral est naturel, une roche est fabriquée par l'homme
- B.Un minéral est toujours transparent, une roche est toujours opaque
- C.Un minéral contient un seul atome, une roche en contient plusieurs
- D.Un minéral est une espèce chimique associée à une structure ; une roche est un assemblage de minérauxBonne réponse
Réponse : D — Un minéral est une espèce chimique associée à une structure ; une roche est un assemblage de minéraux
Le minéral est le constituant élémentaire : une composition chimique définie associée à une structure cristalline donnée, comme le quartz ou le mica. La roche est l'assemblage de plusieurs minéraux : un granite réunit quartz, feldspaths et micas. Un minéral peut parfaitement contenir plusieurs éléments chimiques (le quartz contient du silicium et de l'oxygène).
De quoi sont principalement constituées les coquilles de mollusques ?
- A.De silice
- B.De carbonate de calciumBonne réponse
- C.De chlorure de sodium
- D.De phosphate de fer
Réponse : B — De carbonate de calcium
Les coquilles de mollusques sont bâties en carbonate de calcium (CaCO3), sous forme de calcite ou d'aragonite selon les espèces et les couches. La silice concerne plutôt les diatomées et les radiolaires, tandis que le phosphate de calcium constitue les os et les dents des vertébrés.
S'entraîner sur ce chapitre
Ce chapitre compte 35 exercices corrigés dans l'application, avec le suivi de ta progression.
Commencer les exercices