La forme de la Terre et sa mesure
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La Terre, un astre singulier
De la sphéricité à la mesure de la Terre
Contrairement à une idée reçue tenace, la sphéricité de la Terre n'a pas été découverte par Christophe Colomb : elle est admise par les savants grecs dès le Ve siècle avant J.-C., sur la base d'observations. Et dès le IIIe siècle avant J.-C., un savant nommé Ératosthène parvient à en mesurer la circonférence avec une précision remarquable, sans jamais quitter l'Égypte.
Les arguments antiques en faveur d'une Terre sphérique
- Lors d'une éclipse de Lune, l'ombre portée par la Terre sur la Lune est toujours circulaire, quelle que soit l'heure ou la saison : seule une sphère projette toujours une ombre ronde.
- Un navire qui s'éloigne disparaît par la coque avant le mât : l'horizon est courbe.
- En se déplaçant vers le nord ou le sud, on voit changer la hauteur des étoiles au-dessus de l'horizon, et certaines constellations disparaissent.
- À une même date et à une même heure, l'ombre d'un bâton vertical n'a pas la même longueur selon le lieu.
La mesure d'Ératosthène (vers 240 avant J.-C.). Ératosthène sait qu'à Syène (aujourd'hui Assouan), le jour du solstice d'été à midi, le Soleil est exactement à la verticale : un bâton planté droit ne projette aucune ombre, et le fond des puits est éclairé. Le même jour, à la même heure, à Alexandrie située environ 5000 stades plus au nord sur le même méridien, un bâton vertical projette une ombre correspondant à un angle de 7,2°.
Comme les rayons du Soleil arrivent parallèles (le Soleil est très loin), cet angle est aussi l'angle au centre de la Terre entre les deux villes.
| Savant | Époque | Méthode | Résultat |
|---|---|---|---|
| Ératosthène | vers −240 | Comparaison de l'ombre d'un gnomon entre Syène et Alexandrie | 250 000 stades, soit environ 39 400 km |
| Al-Biruni | vers 1030 | Mesure de l'angle de dépression de l'horizon depuis le sommet d'une montagne de hauteur connue | Rayon terrestre à quelques pour cent près |
| Delambre et Méchain | 1792-1799 | Triangulation de la méridienne de Dunkerque à Barcelone | Définition du mètre : 1/10 000 000 du quart de méridien |
| Satellites (géodésie actuelle) | depuis 1960 | Suivi des orbites et mesures laser ou GNSS | Circonférence équatoriale 40 075 km, au mètre près |
La Terre, un astre singulier
Un ellipsoïde, et des distances sur le globe
À la fin du XVIIe siècle, une question divise l'Académie des sciences : la Terre est-elle allongée aux pôles, comme un ballon de rugby, ou aplatie ? Newton, à partir de sa théorie de la gravitation et de la rotation terrestre, prédit un aplatissement aux pôles : la force centrifuge, maximale à l'équateur, doit y renfler la planète. Les Cassini, à partir de mesures françaises, penchent pour l'inverse.
Pour trancher, l'Académie envoie deux expéditions dans les années 1730 : l'une en Laponie (vers le pôle), l'autre au Pérou (vers l'équateur). Chacune mesure la longueur d'un degré de méridien. Verdict : le degré est plus long près des pôles qu'à l'équateur. La courbure y est donc plus faible, autrement dit la Terre y est aplatie : Newton avait raison.
Du méridien au mètre
En 1791, la Révolution française décide de fonder l'unité de longueur sur une grandeur universelle plutôt que sur le corps d'un roi : le mètre est défini comme la dix-millionième partie du quart de méridien terrestre. Delambre et Méchain mesurent alors, par triangulation, l'arc de méridien allant de Dunkerque à Barcelone, pendant sept années difficiles. C'est de cette définition que vient le chiffre familier : un quart de méridien vaut 10 000 km, donc le méridien complet 40 000 km.
| Grandeur | Valeur | D'où elle vient |
|---|---|---|
| Circonférence d'un méridien | environ 40 000 km | Définition historique du mètre |
| 1 degré de méridien | 40 000 / 360 = 111 km environ | Un tour compte 360 degrés |
| 1 minute d'arc de méridien | 111 / 60 = 1,852 km | C'est la définition du mille marin |
| Rayon moyen de la Terre | 40 000 / (2 pi) = 6366 km, arrondi à 6371 km | Passage de la circonférence au rayon |
Exercices corrigés
Comment le mètre a-t-il été défini en 1791 ?
- A.Comme la longueur d'un pendule battant la seconde
- B.Comme la dix-millionième partie du quart du méridien terrestreBonne réponse
- C.Comme la longueur du pied du roi divisée par trois
- D.Comme la millionième partie du rayon terrestre
Réponse : B — Comme la dix-millionième partie du quart du méridien terrestre
Les révolutionnaires voulaient une unité fondée sur la nature plutôt que sur une autorité humaine : le mètre a donc été défini comme un dix-millionième du quart de méridien, ce qui donne un quart de méridien de 10 000 km et un méridien complet de 40 000 km. C'est de là que vient ce chiffre rond, si commode. Le pendule battant la seconde avait bien été envisagé comme alternative, mais il a été écarté car sa période dépend de la latitude.
Quelle est la circonférence approximative de la Terre ?
- A.4 000 km
- B.6 371 km
- C.40 000 kmBonne réponse
- D.400 000 km
Réponse : C — 40 000 km
La circonférence terrestre vaut environ 40 000 km, ce qui découle directement de la définition du mètre. La valeur 6371 km est le rayon moyen, à ne pas confondre : la circonférence vaut 2 pi fois le rayon, soit environ 6,3 fois plus. Les 400 000 km correspondraient plutôt à la distance Terre-Lune, qui est d'environ 384 000 km.
Ératosthène mesure un angle de 7,2° entre les deux villes. Quelle fraction de la circonférence terrestre l'arc Syène-Alexandrie représente-t-il ?
- A.1/50Bonne réponse
- B.1/72
- C.1/7,2
- D.1/360
Réponse : A — 1/50
Un tour complet fait 360°, donc la fraction cherchée est 7,2/360. Pour la calculer sans calculatrice, remarque que 7,2 × 50 = 360, ce qui donne directement 1/50. C'est cette fraction qui permet de conclure que la circonférence vaut 50 fois la distance entre les deux villes. L'erreur classique consiste à écrire 1/7,2 en inversant le rapport, ou 1/72 en se trompant d'un facteur 10.
La distance Syène-Alexandrie vaut 5000 stades et l'arc correspond à 1/50 de la circonférence. Quelle circonférence Ératosthène obtient-il ?
- A.100 stades
- B.5 050 stades
- C.36 000 stades
- D.250 000 stadesBonne réponse
Réponse : D — 250 000 stades
Si 5000 stades correspondent à un cinquantième du tour, alors le tour complet vaut 50 fois plus : 50 × 5000 = 250 000 stades. C'est bien une multiplication, et non une division, puisque la circonférence est nécessairement bien plus grande que la distance entre deux villes voisines. En prenant un stade valant environ 157,5 m, on obtient environ 39 400 km, très proche de la valeur moderne.
Quelle est la longueur approximative d'un degré d'arc de méridien ?
- A.1,852 km
- B.111 kmBonne réponse
- C.360 km
- D.1000 km
Réponse : B — 111 km
Un méridien complet mesure 40 000 km, réparti sur 360 degrés : chaque degré vaut donc 40 000/360, soit environ 111 km. C'est une valeur très utile à mémoriser, car elle permet de calculer de tête une distance nord-sud à partir d'un écart de latitude. Les 1,852 km correspondent à la minute d'arc, c'est-à-dire au soixantième d'un degré : c'est la définition du mille marin.
Sur la surface de la Terre, quel est le plus court chemin entre deux points ?
- A.Le trajet le long d'un parallèle
- B.La ligne droite tracée sur une carte plane
- C.L'arc de grand cercle passant par ces deux pointsBonne réponse
- D.Le trajet passant systématiquement par l'équateur
Réponse : C — L'arc de grand cercle passant par ces deux points
Sur une sphère, la distance la plus courte suit l'arc de grand cercle, c'est-à-dire un cercle dont le centre coïncide avec celui de la Terre : c'est l'orthodromie. C'est pourquoi un vol Paris-New York passe bien plus au nord que ne le suggère une carte plane. Suivre un parallèle, à l'inverse, est presque toujours plus long, car un parallèle est un petit cercle dont le rayon est réduit par le cosinus de la latitude.
Où le rayon terrestre est-il le plus grand ?
- A.Au pôle Nord
- B.Au pôle Sud
- C.À la latitude 45°
- D.À l'équateurBonne réponse
Réponse : D — À l'équateur
La rotation de la Terre engendre un renflement équatorial : le rayon y atteint 6378 km, contre 6357 km aux pôles. C'est la conséquence directe de l'effet centrifuge, maximal là où la vitesse de rotation est la plus grande, c'est-à-dire à l'équateur. C'est aussi pourquoi le sommet le plus éloigné du centre de la Terre n'est pas l'Everest mais le Chimborazo, en Équateur, situé presque sur la ligne équatoriale.
À quoi correspond un mille marin ?
- A.À une minute d'arc de méridien, soit environ 1852 mBonne réponse
- B.À un degré d'arc de méridien, soit environ 111 km
- C.À exactement 1000 m, comme le kilomètre
- D.À la distance parcourue en une heure par un navire
Réponse : A — À une minute d'arc de méridien, soit environ 1852 m
Le mille marin est défini comme la longueur d'une minute d'arc de méridien : on divise les 111 km du degré par 60, ce qui donne 1,852 km. Ce choix rend la navigation très pratique, puisque lire un écart de latitude sur une carte donne immédiatement une distance. Attention à ne pas confondre avec le nœud, qui est une vitesse valant un mille marin par heure — c'est le sens de la dernière option proposée.
Deux points de la surface terrestre sont séparés par un angle au centre de 30°. Quelle distance les sépare, en prenant R = 6371 km ?
- A.1911 km
- B.3336 kmBonne réponse
- C.6371 km
- D.40 030 km
Réponse : B — 3336 km
La circonférence du grand cercle vaut 2 pi R, soit 2 × 3,1416 × 6371, c'est-à-dire environ 40 030 km. Un angle de 30° représente 30/360 = 1/12 du tour, d'où L = 40 030/12, soit environ 3336 km. Un contrôle simple : avec 111 km par degré, on obtient 30 × 111 = 3330 km, ce qui confirme le résultat. La réponse de 1911 km correspond à 30 % du rayon, un raccourci séduisant mais faux : l'angle ne se convertit pas en pourcentage du rayon.
Deux villes situées sur le même méridien ont pour latitudes 44° N et 48° N. Quelle distance les sépare ?
- A.92 km
- B.5 328 km
- C.444 kmBonne réponse
- D.1 776 km
Réponse : C — 444 km
Comme les deux villes partagent le même méridien, l'angle au centre est simplement la différence de latitude : 48 − 44 = 4°. En utilisant 111 km par degré, on obtient 4 × 111 = 444 km. L'erreur la plus fréquente consiste à additionner les latitudes (92 × 111 donnerait 10 212 km) ou à multiplier 48 × 111 sans faire la différence, ce qui donne 5328 km — une distance absurde entre deux villes séparées de quatre degrés seulement.
En prenant une circonférence terrestre de 40 000 km, quel rayon obtient-on ?
- A.6 366 kmBonne réponse
- B.20 000 km
- C.12 732 km
- D.125 664 km
Réponse : A — 6 366 km
La relation entre circonférence et rayon est C = 2 pi R, donc R = C/(2 pi) = 40 000 / 6,2832, ce qui donne environ 6366 km. C'est bien cohérent avec le rayon moyen de 6371 km retenu habituellement, le léger écart provenant de l'arrondi de la circonférence. Répondre 20 000 km revient à diviser par 2 en oubliant pi ; et 125 664 km correspond à une multiplication par 2 pi au lieu d'une division.
On assimile la Terre à une sphère de rayon 6371 km. Quel est le rayon du parallèle situé à la latitude 60° N ?
- A.6371 km
- B.3186 kmBonne réponse
- C.5517 km
- D.106 km
Réponse : B — 3186 km
Le rayon d'un parallèle vaut r = R × cos(latitude). Avec cos(60°) = 0,5, on obtient r = 6371 × 0,5 = 3186 km, soit exactement la moitié du rayon terrestre. Conséquence utile : à 60° de latitude, le tour du monde le long du parallèle ne fait plus que 20 000 km environ, contre 40 000 km à l'équateur. La valeur 5517 km correspondrait au sinus de 60°, c'est-à-dire à une confusion entre les deux fonctions trigonométriques.
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