Décrire un mouvement : vecteurs vitesse et variation

Exercices corrigés

1. Une voiture roule à 90 km/h. Quelle est sa vitesse en mètres par seconde ?

   • A.25 m/sBonne réponse
   • B.32 m/s
   • C.324 m/s
   • D.1,5 m/s

   Réponse : A — 25 m/s

   Pour passer des km/h aux m/s, on divise par 3,6 : 90 / 3,6 = 25 m/s. Vérifions dans l'autre sens : 25 × 3,6 = 90 km/h, c'est cohérent. Répondre 324 m/s, c'est avoir multiplié par 3,6 au lieu de diviser. Répondre 1,5 m/s revient à diviser par 60 (comme si l'on passait des heures aux minutes seulement), en oubliant les mètres.

2. Sur une chronophotographie de pas de temps τ, comment estime-t-on la valeur de la vitesse au point M2 ?

   • A.v2 = M1M2 / (2τ)
   • B.v2 = M2M3 × τ
   • C.v2 = M1M3 / (2τ)Bonne réponse
   • D.v2 = M1M3 / τ

   Réponse : C — v2 = M1M3 / (2τ)

   On encadre le point M2 par ses deux voisins M1 et M3 : le déplacement M1M3 s'effectue pendant deux intervalles de temps, soit une durée de 2τ. D'où v2 = M1M3 / (2τ). Diviser M1M3 par τ seulement donne une vitesse deux fois trop grande, c'est l'erreur la plus fréquente. Et multiplier une distance par une durée ne peut pas donner une vitesse : vérifie toujours l'homogénéité, une vitesse est une longueur DIVISÉE par une durée.

3. Sur une chronophotographie, les positions sont enregistrées toutes les τ = 40 ms. La distance réelle M1M3 vaut 4,8 cm. Quelle est la valeur de la vitesse au point M2 ?

   • A.0,60 m/sBonne réponse
   • B.1,2 m/s
   • C.0,12 m/s
   • D.0,19 m/s

   Réponse : A — 0,60 m/s

   On convertit d'abord : M1M3 = 4,8 cm = 0,048 m et 2τ = 80 ms = 0,080 s. Puis v2 = 0,048 / 0,080 = 0,60 m/s. Contrôle : 0,60 × 0,080 = 0,048 m, on retombe bien sur la distance. Répondre 1,2 m/s, c'est avoir divisé par τ = 0,040 s au lieu de 2τ. Répondre 0,12 m/s vient d'une conversion ratée (4,8 mm au lieu de 4,8 cm), et 0,19 m/s d'un calcul avec 4 intervalles.

4. Les positions d'une bille sont relevées toutes les 20 ms. On mesure M2M4 = 3,0 cm. Quelle est la valeur de la vitesse au point M3 ?

   • A.0,15 m/s
   • B.1,5 m/s
   • C.0,060 m/s
   • D.0,75 m/sBonne réponse

   Réponse : D — 0,75 m/s

   Le point M3 est encadré par M2 et M4, donc la durée du déplacement vaut 2τ = 2 × 20 ms = 40 ms = 0,040 s. La distance vaut 3,0 cm = 0,030 m. Ainsi v3 = 0,030 / 0,040 = 0,75 m/s. Vérification : 0,75 × 0,040 = 0,030 m. Répondre 1,5 m/s, c'est diviser par τ au lieu de 2τ. Répondre 0,75 exige de bien voir que 3 divisé par 4 vaut 0,75 — n'hésite pas à écrire la division posée.

5. Une nacelle de manège décrit un cercle de rayon R = 2,0 m en une durée T = 4,0 s, à vitesse de valeur constante. Quelle est cette valeur ?

   • A.0,50 m/s
   • B.3,1 m/sBonne réponse
   • C.6,3 m/s
   • D.1,6 m/s

   Réponse : B — 3,1 m/s

   En un tour, la nacelle parcourt le périmètre du cercle : 2πR = 2 × π × 2,0 ≈ 12,6 m. La vitesse vaut donc v = 12,6 / 4,0 ≈ 3,1 m/s. Répondre 0,50 m/s, c'est calculer R/T en oubliant que la trajectoire est un cercle et non un segment de longueur R. Répondre 6,3 m/s revient à utiliser 2πR sans diviser par 4 correctement (c'est 2πR/T avec T = 2 s), et 1,6 m/s à utiliser πR/T… en oubliant le facteur 2 du périmètre.

6. Dans un mouvement circulaire uniforme, quelle est la direction du vecteur variation de vitesse Δv ?

   • A.Il est nul, car la vitesse ne change pas
   • B.Tangent au cercle, dans le sens du mouvement
   • C.Dirigé vers le centre du cercleBonne réponse
   • D.Dirigé vers l'extérieur du cercle

   Réponse : C — Dirigé vers le centre du cercle

   Même si la NORME de la vitesse reste constante, sa DIRECTION tourne sans arrêt : le vecteur vitesse change donc, et Δv n'est pas nul. En construisant Δv = v(i+1) − v(i−1) sur un cercle, on obtient une flèche dirigée vers le centre. C'est cohérent avec les forces : c'est bien une force centripète (la tension d'un fil, la réaction d'un rail) qui maintient le mobile sur son cercle. L'idée de « force centrifuge » vers l'extérieur est une illusion liée au référentiel du mobile.

7. Une moto accélère en ligne droite. Que peut-on dire du vecteur Δv entre deux instants ?

   • A.Il a la même direction et le même sens que le mouvementBonne réponse
   • B.Il a la même direction que le mouvement, mais le sens opposé
   • C.Il est perpendiculaire à la trajectoire
   • D.Il est nul puisque la trajectoire est une droite

   Réponse : A — Il a la même direction et le même sens que le mouvement

   Le mouvement est rectiligne : tous les vecteurs vitesse ont la même direction et le même sens. Comme la moto accélère, la norme augmente, donc v(i+1) est plus long que v(i−1) : leur différence pointe dans le même sens que le mouvement. Si la moto freinait, Δv serait de sens opposé. Une trajectoire rectiligne n'impose pas Δv nul : il faut EN PLUS que la valeur de la vitesse soit constante.

8. Une voiture roulant en ligne droite passe de 10 m/s à 25 m/s. Quelles sont les caractéristiques du vecteur Δv ?

   • A.Norme 35 m/s, sens du mouvement
   • B.Norme 15 m/s, sens opposé au mouvement
   • C.Norme 15 m/s, sens du mouvementBonne réponse
   • D.Norme 2,5 m/s, direction quelconque

   Réponse : C — Norme 15 m/s, sens du mouvement

   Le mouvement est rectiligne : les deux vecteurs vitesse sont colinéaires et de même sens. La soustraction vectorielle se ramène alors à une soustraction de valeurs : 25 − 10 = 15 m/s. Comme la voiture accélère, Δv est orienté dans le sens du mouvement. Répondre 35 m/s, c'est avoir additionné au lieu de soustraire. Le sens opposé correspondrait à un freinage. Enfin, 2,5 m/s serait un quotient (25/10) qui n'a aucun sens ici.

9. Un patineur se déplace à 20 m/s vers l'est, puis, après un virage, à 20 m/s vers le nord. Quelle est la valeur approchée de la norme de Δv entre ces deux instants ?

   • A.28 m/sBonne réponse
   • B.0 m/s
   • C.40 m/s
   • D.20 m/s

   Réponse : A — 28 m/s

   Piège majeur : la NORME de la vitesse n'a pas changé (20 m/s dans les deux cas), mais la DIRECTION oui, donc Δv n'est pas nul. On travaille en coordonnées : v initiale (20 ; 0) et v finale (0 ; 20). Alors Δv = v finale − v initiale = (0 − 20 ; 20 − 0) = (−20 ; 20). Sa norme vaut la racine carrée de 20² + 20² = 800, soit environ 28,3 m/s. Répondre 0 m/s, c'est soustraire les normes au lieu des vecteurs. Répondre 40 m/s, c'est additionner les normes, ce qui ne vaudrait que si le patineur repartait exactement en sens inverse.

10. Une bille se déplace sur un rail rectiligne. Ses abscisses relevées toutes les 50 ms valent : x1 = 0 cm, x2 = 3,0 cm, x3 = 8,0 cm. Quelle est la valeur de la vitesse au point M2 ?

    • A.0,60 m/s
    • B.0,80 m/sBonne réponse
    • C.1,6 m/s
    • D.0,30 m/s

    Réponse : B — 0,80 m/s

    Le point M2 est encadré par M1 et M3 : la distance parcourue vaut x3 − x1 = 8,0 − 0 = 8,0 cm = 0,080 m, pendant 2τ = 2 × 50 ms = 0,100 s. D'où v2 = 0,080 / 0,100 = 0,80 m/s. Vérification : 0,80 × 0,100 = 0,080 m. Répondre 0,60 m/s, c'est n'utiliser que l'intervalle M1M2 (0,030 / 0,050). Répondre 1,6 m/s, c'est diviser par τ au lieu de 2τ. Remarque : la bille accélère, puisque le second intervalle (5,0 cm) est plus grand que le premier (3,0 cm).

11. Dans un repère (O ; x ; y), un drone a pour vecteur vitesse v1 (3,0 ; 0) m/s à l'instant t1, puis v3 (0 ; 4,0) m/s à l'instant t3. Quelle est la norme du vecteur Δv = v3 − v1 ?

    • A.1,0 m/s
    • B.5,0 m/sBonne réponse
    • C.7,0 m/s
    • D.12 m/s

    Réponse : B — 5,0 m/s

    On soustrait coordonnée par coordonnée : Δv a pour coordonnées (0 − 3,0 ; 4,0 − 0) = (−3,0 ; 4,0). Sa norme vaut la racine carrée de (−3,0)² + (4,0)² = 9,0 + 16 = 25, soit 5,0 m/s. C'est le triangle rectangle 3-4-5, à repérer d'un coup d'œil. Répondre 1,0 m/s, c'est soustraire les normes (4 − 3), ce qui ignore les directions. Répondre 7,0 m/s, c'est les additionner. Et 12 m/s serait un produit, sans signification ici. Attention aussi au sens de la soustraction : Δv part de l'état initial vers l'état final, donc v3 − v1 et non l'inverse.

12. Qu'appelle-t-on un référentiel en mécanique ?

    • A.L'ensemble des forces qui s'exercent sur le système étudié
    • B.Un solide de référence auquel on associe un repère d'espace et une horlogeBonne réponse
    • C.La trajectoire suivie par le point mobile
    • D.L'échelle utilisée pour tracer les vecteurs vitesse

    Réponse : B — Un solide de référence auquel on associe un repère d'espace et une horloge

    Un référentiel, c'est un solide de référence (le sol, un train, le centre du Soleil…) auquel on associe un repère d'espace pour situer les positions et une horloge pour dater les événements. Sans référentiel, parler de trajectoire ou de vitesse n'a aucun sens : c'est pour cela qu'un passager de TGV est immobile dans le référentiel du train et rapide dans le référentiel terrestre. Les forces, la trajectoire et l'échelle de tracé sont d'autres notions, elles ne définissent pas le référentiel.