Applications de la dérivation : variations et extremums
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Analyse
Signe de la dérivée et sens de variation
Tu sais déjà calculer une dérivée. La question maintenant est : à quoi ça sert ? Réponse : le signe de f' te donne le sens de variation de f. C'est l'outil central de l'analyse en Première, et il transforme une étude de fonction en un simple tableau de signes.
Les dérivées de référence à connaître par cœur
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) | Sur |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | R |
| x | 1 | R |
| x^n (n entier, n ≥ 1) | n × x^(n-1) | R |
| 1/x | -1/x² | R privé de 0 |
| racine de x | 1/(2 × racine de x) | ]0 ; +∞[ |
| u + v | u' + v' | où u et v sont dérivables |
| k × u | k × u' | où u est dérivable |
| u × v | u'v + uv' | où u et v sont dérivables |
| u/v | (u'v - uv')/v² | où v ne s'annule pas |
Le cas des fonctions rationnelles
Quand f = u/v, la dérivée s'écrit f' = (u'v - uv')/v². Bonne nouvelle : le dénominateur v² est toujours strictement positif (v ne s'annule pas sur l'ensemble d'étude). Donc le signe de f' est celui du numérateur u'v - uv' uniquement. C'est un réflexe qui divise le travail par deux.
Analyse
Extremums, tangentes et problèmes d'optimisation
Un extremum, c'est un sommet ou un creux de la courbe. Savoir les localiser, c'est savoir répondre à toutes les questions du type « quelle est la valeur maximale du bénéfice ? », « quelles dimensions donnent l'aire la plus grande ? ». C'est l'application la plus concrète de la dérivation.
Lecture d'un tableau de variation
| Ce que tu vois dans le tableau | Ce que ça signifie |
|---|---|
| f'(x) passe de + à 0 puis à - | f admet un maximum local en ce point |
| f'(x) passe de - à 0 puis à + | f admet un minimum local en ce point |
| f'(x) s'annule sans changer de signe | tangente horizontale, mais pas d'extremum |
| f'(x) garde un signe constant sur I | f est strictement monotone sur I : aucun extremum à l'intérieur |
| f strictement monotone et change de signe sur I | l'équation f(x) = 0 admet exactement une solution sur I |
Tangente et approximation. L'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est y = f'(a)(x - a) + f(a). Deux lectures utiles : si f'(a) = 0 la tangente est horizontale (candidat extremum) ; et près de a, la tangente donne une bonne approximation affine de la courbe.
Exercices corrigés
Soit f(x) = x² - 6x + 5. Quelle est sa dérivée ?
- A.f'(x) = x² - 6
- B.f'(x) = 2x - 6Bonne réponse
- C.f'(x) = 2x - 6x
- D.f'(x) = 2x - 5
Réponse : B — f'(x) = 2x - 6
On dérive terme à terme : la dérivée de x² est 2x, celle de -6x est -6, et celle de la constante 5 est 0. Donc f'(x) = 2x - 6. L'erreur la plus fréquente est de garder le x du terme -6x (option 3) ou de dériver la constante en la recopiant (option 4).
On considère f(x) = x³ sur R. Que peut-on dire de cette fonction ?
- A.f est décroissante sur R
- B.f admet un maximum en 0
- C.f est constante au voisinage de 0
- D.f est strictement croissante sur RBonne réponse
Réponse : D — f est strictement croissante sur R
f'(x) = 3x², qui est positive pour tout réel x et ne s'annule qu'en 0, un point isolé. La fonction cube est donc strictement croissante sur R tout entier. En 0 la tangente est horizontale, mais la courbe continue de monter : ce n'est ni un maximum ni un minimum.
Toujours avec f(x) = x³ - 3x : en quelle valeur f admet-elle un minimum local ?
- A.en x = -1
- B.en x = 0
- C.en x = 1Bonne réponse
- D.en x = 3
Réponse : C — en x = 1
f'(x) = 3(x - 1)(x + 1) passe du négatif au positif en x = 1 : la fonction cesse de descendre et repart vers le haut, c'est donc bien un minimum local, de valeur f(1) = 1 - 3 = -2. En x = -1 le changement se fait dans l'autre sens (de + à -), ce qui donne le maximum local.
En quels points la courbe de f(x) = x³ - 3x² + 2 admet-elle une tangente horizontale ?
- A.en x = 1 et x = 2
- B.en x = 0 et x = 2Bonne réponse
- C.en x = 0 et x = -2
- D.en x = 3 uniquement
Réponse : B — en x = 0 et x = 2
Une tangente est horizontale là où la dérivée s'annule. Ici f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2), qui s'annule pour x = 0 et pour x = 2. Attention à ne pas résoudre 3x(x - 2) = 0 en écrivant x = 0 et x = -2 : le facteur x - 2 s'annule quand x vaut +2.
Un rectangle a un périmètre de 20 cm. Quelle est son aire maximale ?
- A.20 cm²
- B.24 cm²
- C.30 cm²
- D.25 cm²Bonne réponse
Réponse : D — 25 cm²
Si x est une longueur, l'autre vaut 10 - x puisque 2(x + y) = 20. L'aire s'écrit A(x) = x(10 - x) = 10x - x², avec x dans ]0 ; 10[. Alors A'(x) = 10 - 2x, qui s'annule en x = 5 en passant du positif au négatif : c'est bien un maximum. A(5) = 5 × 5 = 25 cm². Le rectangle optimal est donc le carré de côté 5 cm.
On découpe quatre carrés de côté x aux coins d'un carton carré de 12 cm de côté, puis on relève les bords pour former une boîte. Pour quelle valeur de x le volume est-il maximal ?
- A.x = 1 cm
- B.x = 3 cm
- C.x = 2 cmBonne réponse
- D.x = 6 cm
Réponse : C — x = 2 cm
Le volume vaut V(x) = x(12 - 2x)² pour x dans ]0 ; 6[. En dérivant le produit : V'(x) = (12 - 2x)² + x × 2(12 - 2x)(-2) = (12 - 2x)[(12 - 2x) - 4x] = (12 - 2x)(12 - 6x). Sur ]0 ; 6[, le facteur 12 - 2x est strictement positif, donc le signe de V' est celui de 12 - 6x : positif si x < 2, négatif si x > 2. Le volume est maximal en x = 2, et vaut alors 2 × 8² = 128 cm³. L'option x = 6 annule le volume : c'est une borne, pas un optimum.
Sur un intervalle I, f est dérivable et f'(x) > 0 pour tout x de I. Que peut-on affirmer ?
- A.f est strictement croissante sur IBonne réponse
- B.f est strictement décroissante sur I
- C.f est positive sur I
- D.f est constante sur I
Réponse : A — f est strictement croissante sur I
Le signe de la dérivée donne le sens de variation : f' strictement positive sur un intervalle signifie que f y est strictement croissante. Attention au piège classique : cela ne dit rien sur le signe de f elle-même. Une fonction peut très bien être négative tout en montant, par exemple f(x) = x - 10 sur [0 ; 5].
f est dérivable sur un intervalle ouvert I et admet un maximum local en a. Que peut-on en déduire ?
- A.f'(a) = 0Bonne réponse
- B.f'(a) = 1
- C.f'(a) = a
- D.f'(a) n'existe pas
Réponse : A — f'(a) = 0
Au sommet de la courbe, la tangente est horizontale : son coefficient directeur, qui vaut f'(a), est donc nul. C'est la condition nécessaire d'extremum. Attention, elle n'est pas suffisante : f'(a) = 0 sans changement de signe ne donne pas d'extremum.
Quelles sont les variations de f(x) = x² - 4x + 1 sur R ?
- A.f est croissante sur R
- B.f est croissante sur ]-∞ ; 2] puis décroissante sur [2 ; +∞[
- C.f est décroissante sur ]-∞ ; 2] puis croissante sur [2 ; +∞[Bonne réponse
- D.f est décroissante sur R
Réponse : C — f est décroissante sur ]-∞ ; 2] puis croissante sur [2 ; +∞[
f'(x) = 2x - 4 = 2(x - 2). Cette expression est négative pour x < 2 et positive pour x > 2. Donc f décroît puis croît, avec un minimum en x = 2 valant f(2) = 4 - 8 + 1 = -3. C'est cohérent avec la parabole tournée vers le haut (coefficient de x² positif).
Sur un intervalle I, on a f'(x) = 0 pour tout x de I. Alors :
- A.f est nulle sur I
- B.f est strictement croissante sur I
- C.f change de sens de variation sur I
- D.f est constante sur IBonne réponse
Réponse : D — f est constante sur I
Une dérivée nulle sur tout un intervalle signifie que la courbe a partout une tangente horizontale : elle ne monte ni ne descend, donc f est constante sur I. Ne confonds pas « f' nulle » (la fonction ne bouge pas) et « f nulle » (la fonction vaut 0) : f(x) = 7 a une dérivée nulle sans être la fonction nulle.
Soit f(x) = x³ - 3x sur R. Quelle est la valeur du maximum local de f ?
- A.-2
- B.2Bonne réponse
- C.0
- D.4
Réponse : B — 2
f'(x) = 3x² - 3 = 3(x - 1)(x + 1), qui s'annule en -1 et 1. Comme le coefficient dominant est positif, f' est positive à l'extérieur des racines et négative entre elles : f croît, décroît, puis croît. Le maximum local est donc atteint en x = -1 et vaut f(-1) = (-1)³ - 3 × (-1) = -1 + 3 = 2. L'option -2 est le minimum local, obtenu en x = 1.
Soit f(x) = x + 1/x sur ]0 ; +∞[. Quel est le minimum de f sur cet intervalle ?
- A.0
- B.1
- C.2Bonne réponse
- D.-2
Réponse : C — 2
La dérivée de 1/x est -1/x², donc f'(x) = 1 - 1/x², soit f'(x) = (x² - 1)/x². Sur ]0 ; +∞[, le dénominateur x² est positif : le signe de f' est celui de x² - 1, négatif pour 0 < x < 1 et positif pour x > 1. La fonction atteint donc son minimum en x = 1, et ce minimum vaut f(1) = 1 + 1/1 = 2. Le piège est de répondre 1, qui est l'abscisse et non la valeur du minimum.
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