Géométrie repérée : équations de droites et cercles

Exercices corrigés

1. La droite d a pour équation 2x - 3y + 6 = 0. Quel est un vecteur directeur de d ?

   • A.u(2 ; -3)
   • B.u(3 ; 2)Bonne réponse
   • C.u(-3 ; -2)
   • D.u(2 ; 3)

   Réponse : B — u(3 ; 2)

   Pour une droite d'équation ax + by + c = 0, un vecteur directeur est u(-b ; a). Ici a = 2 et b = -3, donc u(3 ; 2). L'option (2 ; -3) est le piège majeur : c'est le vecteur normal, orthogonal à la droite, pas son directeur.

2. Toujours pour la droite d d'équation 2x - 3y + 6 = 0, quel est un vecteur normal ?

   • A.n(3 ; 2)
   • B.n(2 ; -3)Bonne réponse
   • C.n(-3 ; -2)
   • D.n(3 ; -2)

   Réponse : B — n(2 ; -3)

   Le vecteur normal se lit directement dans l'équation : n(a ; b) = (2 ; -3). Vérification : le produit scalaire avec le vecteur directeur (3 ; 2) vaut 3 × 2 + 2 × (-3) = 6 - 6 = 0, ils sont bien orthogonaux. Les options (3 ; 2) et (-3 ; -2) sont des vecteurs directeurs, pas normaux.

3. Quelle est l'équation du cercle de centre Ω(2 ; -1) et de rayon 3 ?

   • A.(x - 2)² + (y + 1)² = 9Bonne réponse
   • B.(x + 2)² + (y - 1)² = 9
   • C.(x - 2)² + (y + 1)² = 3
   • D.(x - 2)² + (y - 1)² = 9

   Réponse : A — (x - 2)² + (y + 1)² = 9

   La formule est (x - a)² + (y - b)² = r² avec a = 2 et b = -1. Le second terme s'écrit donc (y - (-1))², c'est-à-dire (y + 1)². Et le second membre vaut r² = 3² = 9, et non le rayon lui-même. Deux signes et un carré : ce sont les trois points où l'on se trompe.

4. On considère l'équation (x - 3)² + (y + 2)² = 25. Quels sont le centre et le rayon de ce cercle ?

   • A.centre (-3 ; 2) et rayon 5
   • B.centre (3 ; -2) et rayon 25
   • C.centre (3 ; -2) et rayon 5Bonne réponse
   • D.centre (3 ; 2) et rayon 5

   Réponse : C — centre (3 ; -2) et rayon 5

   On identifie avec (x - a)² + (y - b)² = r². Le terme (y + 2)² s'écrit (y - (-2))², donc b = -2 : le centre est (3 ; -2). Et r² = 25 donne r = 5. Le double piège tient donc à l'inversion des signes du centre et à l'oubli de la racine carrée pour le rayon.

5. Quelle est une équation cartésienne de la droite passant par A(1 ; 2) et de vecteur directeur u(3 ; -1) ?

   • A.x + 3y - 7 = 0Bonne réponse
   • B.3x - y - 1 = 0
   • C.x - 3y + 5 = 0
   • D.3x + y - 5 = 0

   Réponse : A — x + 3y - 7 = 0

   Le directeur étant u(3 ; -1), un vecteur normal est n(1 ; 3) (on échange et on change un signe). L'équation s'écrit 1(x - 1) + 3(y - 2) = 0, soit x - 1 + 3y - 6 = 0, c'est-à-dire x + 3y - 7 = 0. Double vérification : A donne 1 + 6 - 7 = 0, et le directeur de cette équation est (-3 ; 1), colinéaire à (3 ; -1). L'option 3x - y - 1 = 0 passe aussi par A, mais avec la mauvaise direction.

6. Quelle est une équation cartésienne de la droite (AB) avec A(2 ; 1) et B(5 ; 7) ?

   • A.x - 2y = 0
   • B.2x + y - 5 = 0
   • C.2x - y - 3 = 0Bonne réponse
   • D.x + 2y - 4 = 0

   Réponse : C — 2x - y - 3 = 0

   Le vecteur AB a pour coordonnées (3 ; 6), que l'on simplifie en u(1 ; 2). Un vecteur normal est donc n(2 ; -1), d'où l'équation 2(x - 2) - (y - 1) = 0, soit 2x - y - 3 = 0. On vérifie avec les deux points : pour A, 4 - 1 - 3 = 0 ; pour B, 10 - 7 - 3 = 0. Les deux conditions sont satisfaites.

7. Le point B(4 ; 1) appartient-il au cercle d'équation (x - 1)² + (y + 3)² = 25 ?

   • A.oui, car on obtient 25Bonne réponse
   • B.non, car on obtient 4
   • C.non, car on obtient 6
   • D.on ne peut pas le savoir

   Réponse : A — oui, car on obtient 25

   On remplace : (4 - 1)² + (1 + 3)² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Le résultat est exactement égal au second membre, donc B est sur le cercle. Géométriquement, la distance entre le centre (1 ; -3) et B vaut 5, qui est bien le rayon.

8. Quelles sont les coordonnées du milieu du segment [AB] avec A(-1 ; 4) et B(5 ; 2) ?

   • A.(4 ; 6)
   • B.(3 ; 2)
   • C.(2 ; 3)Bonne réponse
   • D.(2 ; -1)

   Réponse : C — (2 ; 3)

   Le milieu a pour coordonnées la moyenne de celles des extrémités : ((-1 + 5)/2 ; (4 + 2)/2) = (4/2 ; 6/2) = (2 ; 3). L'option (4 ; 6) correspond à la somme non divisée par 2, une étourderie classique quand on enchaîne les calculs.

9. Quelle est l'équation du cercle de diamètre [AB], avec A(1 ; 2) et B(5 ; 4) ?

   • A.(x - 3)² + (y - 3)² = 5Bonne réponse
   • B.(x - 3)² + (y - 3)² = 20
   • C.(x - 3)² + (y - 3)² = √5
   • D.(x - 6)² + (y - 6)² = 5

   Réponse : A — (x - 3)² + (y - 3)² = 5

   Le centre est le milieu de [AB] : ((1 + 5)/2 ; (2 + 4)/2) = (3 ; 3). Le vecteur AB a pour coordonnées (4 ; 2), donc AB² = 16 + 4 = 20. Le rayon vaut AB/2, donc r² = AB²/4 = 20/4 = 5. L'équation est (x - 3)² + (y - 3)² = 5. L'option avec 20 confond AB² et r² : c'est l'erreur de l'oubli de la division par 4.

10. L'équation x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0 décrit un cercle. Quels sont son centre et son rayon ?

    • A.centre (-2 ; 3) et rayon 4
    • B.centre (2 ; -3) et rayon 4Bonne réponse
    • C.centre (2 ; -3) et rayon 16
    • D.centre (4 ; -6) et rayon 3

    Réponse : B — centre (2 ; -3) et rayon 4

    On complète les carrés. Pour x : x² - 4x = (x - 2)² - 4. Pour y : y² + 6y = (y + 3)² - 9. L'équation devient (x - 2)² - 4 + (y + 3)² - 9 - 3 = 0, soit (x - 2)² + (y + 3)² = 16. Le centre est donc (2 ; -3) et le rayon vaut 4, car 16 = 4². Attention : le centre s'obtient en prenant la moitié des coefficients de x et de y avec le signe opposé, pas les coefficients eux-mêmes.

11. Quelles sont les coordonnées du point d'intersection des droites d : 2x - y - 3 = 0 et d' : x + y - 6 = 0 ?

    • A.(2 ; 4)
    • B.(1 ; 5)
    • C.(3 ; 3)Bonne réponse
    • D.(3 ; -3)

    Réponse : C — (3 ; 3)

    On additionne les deux équations membre à membre : (2x - y - 3) + (x + y - 6) = 0 donne 3x - 9 = 0, donc x = 3. En reportant dans la seconde équation : 3 + y - 6 = 0, donc y = 3. Le point est (3 ; 3). Vérification dans la première : 2 × 3 - 3 - 3 = 0. Correct.

12. Quelle est l'équation de la droite passant par A(2 ; -1) et perpendiculaire à la droite d : 3x - 4y + 1 = 0 ?

    • A.3x - 4y - 10 = 0
    • B.4x + 3y - 5 = 0Bonne réponse
    • C.3x + 4y - 2 = 0
    • D.4x - 3y - 11 = 0

    Réponse : B — 4x + 3y - 5 = 0

    Le vecteur normal de d est n(3 ; -4). Pour la droite cherchée, ce vecteur devient un vecteur directeur, puisqu'elle est perpendiculaire à d. Son propre normal est donc (4 ; 3), et son équation s'écrit 4(x - 2) + 3(y + 1) = 0, soit 4x - 8 + 3y + 3 = 0, c'est-à-dire 4x + 3y - 5 = 0. Vérification avec A : 8 - 3 - 5 = 0. L'option 3x - 4y - 10 = 0 passe bien par A, mais elle est parallèle à d, pas perpendiculaire : c'est le distracteur le plus tentant.