Les fonctions trigonométriques

Exercices corrigés

1. Pour tout réel x, à quoi est égal cos(-x) ?

   • A.-cos x
   • B.sin x
   • C.cos xBonne réponse
   • D.-sin x

   Réponse : C — cos x

   Les points associés à x et à -x sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses : ils ont donc la même abscisse et des ordonnées opposées. D'où cos(-x) = cos x (la fonction cosinus est paire) et sin(-x) = -sin x (la fonction sinus est impaire).

2. À combien de radians correspond un angle de 60° ?

   • A.π/3Bonne réponse
   • B.π/6
   • C.π/4
   • D.π/2

   Réponse : A — π/3

   On applique la conversion : 60 × π/180 = π × 60/180 = π/3. Autre façon de voir : 60° est le tiers de 180°, donc l'angle vaut le tiers de π. Attention à ne pas confondre avec π/6, qui correspond à 30°.

3. Quelle est la mesure en radians d'un angle de 135° ?

   • A.2π/3
   • B.3π/4Bonne réponse
   • C.5π/6
   • D.4π/3

   Réponse : B — 3π/4

   On calcule 135 × π/180. En simplifiant la fraction 135/180 par 45, on obtient 3/4, donc l'angle vaut 3π/4. Vérification de bon sens : 135° est compris entre 90° (π/2) et 180° (π), et 3π/4 est bien entre les deux. L'option 4π/3 dépasse π : elle correspondrait à 240°.

4. La fonction sinus est impaire. Par rapport à quoi sa courbe représentative est-elle symétrique ?

   • A.l'axe des abscisses
   • B.l'axe des ordonnées
   • C.la droite d'équation y = x
   • D.l'origine du repèreBonne réponse

   Réponse : D — l'origine du repère

   Une fonction impaire vérifie f(-x) = -f(x) : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère. C'est le cas du sinus. La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées caractérise au contraire les fonctions paires, comme le cosinus : ne mélange pas les deux.

5. Pour tout réel x, à quoi est égal sin(π - x) ?

   • A.sin xBonne réponse
   • B.-sin x
   • C.cos x
   • D.-cos x

   Réponse : A — sin x

   Les points associés à x et à π - x sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées : leurs ordonnées sont donc égales, et leurs abscisses opposées. D'où sin(π - x) = sin x et cos(π - x) = -cos x. C'est le couple de formules dont le signe se trompe le plus souvent : le sinus garde son signe, le cosinus le change.

6. Dans quel quadrant se situe le point du cercle trigonométrique associé au réel 7π/4 ?

   • A.le premier (cos > 0 et sin > 0)
   • B.le deuxième (cos < 0 et sin > 0)
   • C.le troisième (cos < 0 et sin < 0)
   • D.le quatrième (cos > 0 et sin < 0)Bonne réponse

   Réponse : D — le quatrième (cos > 0 et sin < 0)

   7π/4 correspond à 7 × 45 = 315°, c'est-à-dire un tour presque complet : le point est juste avant de revenir au point de départ, donc en bas à droite. Son abscisse est positive (cos = √2/2) et son ordonnée négative (sin = -√2/2) : c'est le quatrième quadrant. Autre façon de voir : 7π/4 = 2π - π/4, symétrique de π/4 par rapport à l'axe des abscisses.

7. Quelles sont les solutions de l'équation cos x = 1/2 sur l'intervalle [-π ; π] ?

   • A.x = π/3 uniquement
   • B.x = π/3 et x = -π/3Bonne réponse
   • C.x = π/6 et x = -π/6
   • D.x = π/3 et x = 2π/3

   Réponse : B — x = π/3 et x = -π/3

   La droite verticale d'abscisse 1/2 coupe le cercle en deux points, symétriques par rapport à l'axe des abscisses : leurs réels associés sont opposés. Comme cos(π/3) = 1/2, les solutions dans [-π ; π] sont π/3 et -π/3. L'option 2π/3 est fausse car cos(2π/3) = -1/2, et π/6 correspondrait à cos = √3/2.

8. Quelles sont les solutions de l'équation sin x = √2/2 sur l'intervalle [0 ; 2π] ?

   • A.π/4 et 5π/4
   • B.π/4 et 7π/4
   • C.π/4 et 3π/4Bonne réponse
   • D.π/3 et 2π/3

   Réponse : C — π/4 et 3π/4

   Pour un sinus, on trace la droite horizontale d'ordonnée √2/2 : elle coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à l'axe des ordonnées, donc de la forme t et π - t. Comme sin(π/4) = √2/2, les solutions sont π/4 et π - π/4 = 3π/4. Les options 5π/4 et 7π/4 correspondent à des points situés sous l'axe des abscisses, donc à des sinus négatifs.

9. Quelle est la mesure principale du réel 25π/4 ?

   • A.π/4Bonne réponse
   • B.3π/4
   • C.-π/4
   • D.5π/4

   Réponse : A — π/4

   La mesure principale est l'unique mesure appartenant à ]-π ; π]. On retranche des tours complets, c'est-à-dire des multiples de 2π = 8π/4. On calcule 25π/4 - 24π/4 = π/4, en ayant retiré trois tours (3 × 8π/4 = 24π/4). Comme π/4 est bien dans ]-π ; π], c'est la mesure principale.

10. On cherche un réel x de [0 ; 2π] tel que cos x = -1/2 et sin x > 0. Quel est ce réel ?

    • A.π/3
    • B.4π/3
    • C.5π/6
    • D.2π/3Bonne réponse

    Réponse : D — 2π/3

    cos x = -1/2 donne deux points sur le cercle : 2π/3 et 4π/3. La condition sin x > 0 impose que le point soit au-dessus de l'axe des abscisses, ce qui élimine 4π/3 (dont le sinus vaut -√3/2). Reste x = 2π/3, pour lequel sin = √3/2 > 0. L'option 5π/6 a bien un sinus positif, mais son cosinus vaut -√3/2, pas -1/2.

11. À combien de radians correspond un angle de 180° ?

    • A.π/2
    • B.πBonne réponse
    • C.2π
    • D.π/4

    Réponse : B — π

    Le tour complet du cercle trigonométrique mesure 2π radians et correspond à 360°. Un demi-tour, soit 180°, vaut donc la moitié : π radians. C'est l'égalité de référence 180° = π à partir de laquelle toutes les autres conversions se retrouvent.

12. Quelle est la valeur de cos(π/3) ?

    • A.√3/2
    • B.1/2Bonne réponse
    • C.0
    • D.-1/2

    Réponse : B — 1/2

    π/3 correspond à 60°. Pour cet angle, cos vaut 1/2 et sin vaut √3/2. L'erreur la plus fréquente est d'intervertir avec π/6 (30°), pour lequel c'est l'inverse : cos(π/6) = √3/2 et sin(π/6) = 1/2. Moyen mnémotechnique : plus l'angle grandit de 0 à π/2, plus le cosinus diminue.