Probabilités conditionnelles et indépendance

Exercices corrigés

1. Soient A et B deux événements avec P(A) différent de 0. Comment définit-on la probabilité de B sachant A ?

   • A.P_A(B) = P(A inter B) × P(A)
   • B.P_A(B) = P(A) / P(A inter B)
   • C.P_A(B) = P(A inter B) / P(A)Bonne réponse
   • D.P_A(B) = P(A inter B) / P(B)

   Réponse : C — P_A(B) = P(A inter B) / P(A)

   La définition est P_A(B) = P(A inter B) / P(A). L'idée : on réduit l'univers à A, donc on divise par la probabilité de la condition, c'est-à-dire par P(A). Diviser par P(B) donnerait P_B(A), c'est-à-dire l'autre conditionnelle. Retiens le repère : la lettre en indice (ici A) est celle qui apparaît au dénominateur.

2. On sait que P(A) = 0,5 et P_A(B) = 0,2. Que vaut P(A inter B) ?

   • A.0,7
   • B.0,4
   • C.0,25
   • D.0,1Bonne réponse

   Réponse : D — 0,1

   La formule des probabilités composées donne P(A inter B) = P(A) × P_A(B) = 0,5 × 0,2 = 0,1. C'est le produit des probabilités rencontrées le long du chemin A puis B sur l'arbre. Répondre 0,7 revient à additionner, et 0,4 (= 0,2/0,5) ou 0,25 (= 0,5/0,2 tronqué) reviennent à diviser : ici on multiplie.

3. Dans une classe de 100 élèves, 60 sont des filles dont 45 sont demi-pensionnaires ; parmi les 40 garçons, 20 sont demi-pensionnaires. On choisit un élève au hasard. Que vaut P_F(D), probabilité qu'il soit demi-pensionnaire sachant que c'est une fille ?

   • A.0,45
   • B.0,75Bonne réponse
   • C.0,69
   • D.0,60

   Réponse : B — 0,75

   Sachant que l'élève est une fille, l'univers est réduit aux 60 filles. Parmi elles, 45 sont demi-pensionnaires : P_F(D) = 45/60 = 0,75. Attention à 0,45 : c'est P(F inter D) = 45/100, donc la proportion sur l'ensemble de la classe, pas à l'intérieur des filles. Et 0,69 environ correspond à P_D(F) = 45/65, l'autre conditionnelle (65 demi-pensionnaires au total).

4. On donne P(A) = 0,3, P_A(B) = 0,8 et P_A barre(B) = 0,2. Que vaut P(B) ?

   • A.0,38Bonne réponse
   • B.1,0
   • C.0,24
   • D.0,50

   Réponse : A — 0,38

   On applique la formule des probabilités totales : P(B) = P(A) × P_A(B) + P(A barre) × P_A barre(B). Comme P(A barre) = 1 − 0,3 = 0,7, on obtient P(B) = 0,3 × 0,8 + 0,7 × 0,2 = 0,24 + 0,14 = 0,38. Répondre 0,24, c'est n'avoir gardé que le premier chemin (celui qui passe par A) et oublier le second. Répondre 1,0, c'est additionner les deux conditionnelles, ce qui n'a pas de sens : elles ne sont pas issues du même nœud.

5. On donne P(A) = 0,5, P_A(B) = 0,6 et P_A barre(B) = 0,2. Que vaut P_B(A) ?

   • A.0,60
   • B.0,30
   • C.0,40
   • D.0,75Bonne réponse

   Réponse : D — 0,75

   Il faut renverser le conditionnement, donc procéder en deux temps. D'abord les intersections : P(A inter B) = 0,5 × 0,6 = 0,3 et P(A barre inter B) = 0,5 × 0,2 = 0,1. Ensuite les probabilités totales : P(B) = 0,3 + 0,1 = 0,4. Enfin P_B(A) = P(A inter B) / P(B) = 0,3 / 0,4 = 0,75. Répondre 0,6, c'est confondre P_B(A) avec P_A(B) : ce sont deux nombres différents. Répondre 0,3, c'est s'arrêter à l'intersection sans diviser.

6. On donne P(A) = 0,4, P(B) = 0,5 et P(A inter B) = 0,2. Les événements A et B sont-ils indépendants ?

   • A.Non, car P(A inter B) n'est pas nul
   • B.Oui, car P(A) × P(B) = 0,2 = P(A inter B)Bonne réponse
   • C.Non, car P(A) est différent de P(B)
   • D.On ne peut pas conclure sans connaître P(A union B)

   Réponse : B — Oui, car P(A) × P(B) = 0,2 = P(A inter B)

   On compare P(A inter B) au produit P(A) × P(B) = 0,4 × 0,5 = 0,2. L'égalité 0,2 = 0,2 est vérifiée, donc A et B sont bien indépendants. Autre lecture, équivalente : P_A(B) = 0,2/0,4 = 0,5 = P(B), donc savoir que A est réalisé ne change rien à B. Attention : une intersection non nulle n'empêche pas l'indépendance, au contraire c'est plutôt le signe qu'ils ne sont pas incompatibles.

7. A et B sont indépendants avec P(A) = 0,2 et P(B) = 0,5. Que vaut P(A union B) ?

   • A.0,7
   • B.0,6Bonne réponse
   • C.0,1
   • D.0,3

   Réponse : B — 0,6

   On utilise toujours P(A union B) = P(A) + P(B) − P(A inter B). L'indépendance sert à calculer l'intersection : P(A inter B) = 0,2 × 0,5 = 0,1. Donc P(A union B) = 0,2 + 0,5 − 0,1 = 0,6. Répondre 0,7, c'est oublier de retrancher l'intersection : cette addition simple n'est valable que pour des événements incompatibles, ce qui n'est pas le cas ici.

8. Deux urnes indiscernables. On en choisit une au hasard (une chance sur deux), puis on y tire une boule. L'urne 1 contient 3 boules rouges et 2 vertes ; l'urne 2 contient 1 rouge et 4 vertes. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?

   • A.0,4Bonne réponse
   • B.0,8
   • C.0,6
   • D.0,2

   Réponse : A — 0,4

   On construit l'arbre : au premier niveau, le choix de l'urne (0,5 chacune) ; au second, la couleur. Chemin urne 1 puis rouge : 0,5 × 3/5 = 0,5 × 0,6 = 0,3. Chemin urne 2 puis rouge : 0,5 × 1/5 = 0,5 × 0,2 = 0,1. Probabilités totales : P(rouge) = 0,3 + 0,1 = 0,4. Répondre 0,8, c'est additionner les deux conditionnelles 0,6 et 0,2 sans les pondérer par le choix de l'urne. Contrôle : P(verte) = 0,5 × 0,4 + 0,5 × 0,8 = 0,2 + 0,4 = 0,6, et 0,4 + 0,6 = 1.

9. Une urne contient 5 boules : 3 rouges et 2 vertes. On tire deux boules successivement et SANS remise. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?

   • A.9/25
   • B.6/25
   • C.3/10Bonne réponse
   • D.2/5

   Réponse : C — 3/10

   Sans remise, le second tirage dépend du premier : c'est une conditionnelle. Première boule rouge : 3/5. Sachant qu'une rouge est sortie, il reste 4 boules dont 2 rouges, donc 2/4 = 1/2. D'où P = 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10 = 0,3. Répondre 9/25 = 0,36, c'est le calcul AVEC remise (3/5 × 3/5), où les tirages sont indépendants : il est logiquement plus grand, puisque retirer une rouge appauvrit l'urne en rouges.

10. A et B sont indépendants, avec P(A) = 0,3 et P(B) = 0,4. Que vaut P(A barre inter B) ?

    • A.0,12
    • B.0,10
    • C.0,28Bonne réponse
    • D.0,70

    Réponse : C — 0,28

    Si A et B sont indépendants, alors A barre et B le sont aussi : l'indépendance passe au contraire. Donc P(A barre inter B) = P(A barre) × P(B) = (1 − 0,3) × 0,4 = 0,7 × 0,4 = 0,28. On peut vérifier autrement : P(B) = P(A inter B) + P(A barre inter B), soit 0,4 = 0,12 + 0,28, c'est cohérent. Répondre 0,12, c'est donner P(A inter B) au lieu de son complémentaire dans B.

11. Sur 200 clients d'un site, 120 sont des hommes dont 30 ont acheté ; parmi les 80 femmes, 50 ont acheté. Sachant qu'un client choisi au hasard a acheté, quelle est la probabilité que ce soit un homme ?

    • A.0,25
    • B.0,60
    • C.0,15
    • D.0,375Bonne réponse

    Réponse : D — 0,375

    Le nombre total d'acheteurs vaut 30 + 50 = 80. Sachant que le client a acheté, on se restreint à ces 80 personnes, dont 30 sont des hommes : la probabilité vaut 30/80 = 0,375. Répondre 0,25, c'est calculer P_homme(achat) = 30/120, c'est-à-dire la conditionnelle dans l'autre sens. Répondre 0,15, c'est P(homme inter achat) = 30/200, la proportion sur l'ensemble des clients.

12. On donne P(A) = 0,25 et P(A inter B) = 0,10. Que vaut P_A(B barre) ?

    • A.0,60Bonne réponse
    • B.0,40
    • C.0,90
    • D.0,15

    Réponse : A — 0,60

    On calcule d'abord P_A(B) = P(A inter B) / P(A) = 0,10 / 0,25 = 0,4. Or les deux branches issues du nœud A ont pour somme 1, donc P_A(B barre) = 1 − 0,4 = 0,6. Répondre 0,4, c'est oublier le passage au contraire. Répondre 0,9 = 1 − 0,10, c'est passer au contraire l'intersection au lieu de la conditionnelle. Répondre 0,15 = 0,25 − 0,10 donne en réalité P(A inter B barre), une intersection et non une conditionnelle.