Les suites numériques
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Algèbre
Généralités : définir et étudier une suite
Une suite, c'est une liste ordonnée de nombres : le premier, le deuxième, le troisième… Chaque nombre porte un numéro appelé indice. On note la suite (uₙ) et son terme d'indice n s'écrit uₙ (lire « u indice n »). Les suites servent à modéliser tout ce qui évolue étape par étape : une population année après année, un capital placé, un remboursement mensuel.
Deux façons de définir une suite
1. Par une formule explicite : uₙ = f(n). On calcule directement n'importe quel terme sans connaître les précédents. Exemple : uₙ = 3n + 2 donne u₀ = 2, u₁ = 5, u₁₀ = 32.
2. Par récurrence : on donne le premier terme et une relation qui fait passer d'un terme au suivant, uₙ₊₁ = f(uₙ). Exemple : u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 2uₙ + 3 donne u₁ = 5, u₂ = 13, u₃ = 29. Ici, pour obtenir u₁₀, il faut calculer tous les termes avant lui.
| Formule explicite | Relation de récurrence | |
|---|---|---|
| Écriture | uₙ = f(n) | u₀ donné et uₙ₊₁ = f(uₙ) |
| Calcul de u₅₀ | immédiat : on remplace n par 50 | il faut calculer u₁, u₂, …, u₄₉ avant |
| Exemple | uₙ = n² − 4n | u₀ = 3 et uₙ₊₁ = 0,5uₙ + 1 |
| Bien adapté à | étudier les variations, prévoir un terme lointain | modéliser une évolution d'une étape à la suivante |
Algèbre
Suites arithmétiques et suites géométriques
Deux familles de suites reviennent partout au lycée : celles où l'on ajoute toujours la même chose (arithmétiques, évolution linéaire) et celles où l'on multiplie toujours par la même chose (géométriques, évolution exponentielle, typiquement les pourcentages).
Reconnaître la nature d'une suite
- Arithmétique : la différence uₙ₊₁ − uₙ est constante. Cette constante est la raison r.
- Géométrique : le quotient uₙ₊₁/uₙ est constant (avec des termes non nuls). Cette constante est la raison q.
- Une hausse de t % correspond à une suite géométrique de raison q = 1 + t/100 ; une baisse de t % à q = 1 − t/100.
- Attention : une suite peut n'être ni arithmétique ni géométrique, c'est même le cas le plus fréquent.
| Arithmétique (raison r) | Géométrique (raison q, q > 0) | |
|---|---|---|
| Passage au suivant | on ajoute r | on multiplie par q |
| Terme général | uₙ = u₀ + n r | uₙ = u₀ × qⁿ |
| Croissante si | r > 0 | q > 1 (avec u₀ > 0) |
| Décroissante si | r < 0 | 0 < q < 1 (avec u₀ > 0) |
| Constante si | r = 0 | q = 1 |
| Somme des termes de rang 0 à n | (n + 1) × (u₀ + uₙ)/2 | u₀ × (1 − q^(n+1))/(1 − q), pour q ≠ 1 |
Exercices corrigés
La suite (uₙ) est définie pour tout entier n par uₙ = 3n + 2. Combien vaut u₅ ?
- A.15
- B.17Bonne réponse
- C.11
- D.25
Réponse : B — 17
Il suffit de remplacer n par 5 : u₅ = 3 × 5 + 2 = 15 + 2 = 17. Répondre 15, c'est oublier le « + 2 ». Répondre 11, c'est avoir calculé u₃ (3 × 3 + 2). Répondre 25, c'est avoir calculé 3 × (5 + 2) + 4 ou mal placé les parenthèses : la multiplication se fait avant l'addition.
Quelle relation caractérise une suite arithmétique de raison r ?
- A.uₙ₊₁ = uₙ × r
- B.uₙ = u₀ × rⁿ
- C.uₙ₊₁ = uₙ + rBonne réponse
- D.uₙ₊₁ = r × n
Réponse : C — uₙ₊₁ = uₙ + r
Dans une suite arithmétique, on passe d'un terme au suivant en AJOUTANT toujours le même nombre r : uₙ₊₁ = uₙ + r. Les deux premières propositions décrivent une suite géométrique (on multiplie par la raison). La dernière n'est ni l'une ni l'autre : elle donnerait une formule explicite, pas une relation de récurrence.
(uₙ) est géométrique de premier terme u₀ = 5 et de raison q = 2. Combien vaut u₃ ?
- A.40Bonne réponse
- B.30
- C.20
- D.11
Réponse : A — 40
On applique uₙ = u₀ × qⁿ : u₃ = 5 × 2³ = 5 × 8 = 40. On peut aussi dérouler : u₁ = 10, u₂ = 20, u₃ = 40. Répondre 30, c'est avoir calculé 5 × 2 × 3 (on multiplie par q trois fois, on ne multiplie pas par 3). Répondre 20, c'est s'être arrêté à u₂ : attention, u₃ est le quatrième terme. Répondre 11, c'est avoir ajouté 2 trois fois, ce qui correspondrait à une suite arithmétique.
La suite (uₙ) est définie par u₀ = 4 et, pour tout n, uₙ₊₁ = 3uₙ − 2. Combien vaut u₂ ?
- A.10
- B.28Bonne réponse
- C.22
- D.16
Réponse : B — 28
On calcule de proche en proche : u₁ = 3 × 4 − 2 = 12 − 2 = 10, puis u₂ = 3 × 10 − 2 = 30 − 2 = 28. Répondre 10, c'est s'être arrêté à u₁. Répondre 22, c'est avoir appliqué la formule à u₀ deux fois de suite sans réutiliser le résultat. Avec une définition par récurrence, on ne peut pas sauter d'étape : il faut calculer tous les termes intermédiaires.
(uₙ) est géométrique à termes positifs, avec u₂ = 12 et u₅ = 96. Quelle est sa raison q ?
- A.8
- B.4
- C.2Bonne réponse
- D.3
Réponse : C — 2
Entre le rang 2 et le rang 5, il y a 3 pas : u₅ = u₂ × q³, donc 96 = 12 × q³, soit q³ = 96/12 = 8. Le nombre positif dont le cube vaut 8 est 2, donc q = 2. Répondre 8, c'est s'arrêter à q³ sans extraire la racine. Répondre 4, c'est faire 96/12 puis diviser par 2 au hasard. Vérification : 12, 24, 48, 96 — on retombe bien sur u₅ = 96.
Combien vaut la somme 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2¹⁰ (toutes les puissances de 2 de 2⁰ à 2¹⁰) ?
- A.2 048
- B.1 023
- C.1 024
- D.2 047Bonne réponse
Réponse : D — 2 047
C'est une somme géométrique de raison q = 2 avec 11 termes (de 2⁰ à 2¹⁰) : S = (1 − 2¹¹)/(1 − 2) = (1 − 2 048)/(−1) = 2 047. Autre façon de le retenir : 1 + 2 + … + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ − 1. Répondre 1 023, c'est avoir compté 10 termes au lieu de 11 (2¹⁰ − 1). Répondre 2 048, c'est oublier le « − 1 ». Le piège du chapitre : de rang 0 à rang 10, il y a 11 termes.
Une population diminue de 20 % par an. Quelle est la raison de la suite géométrique qui la modélise ?
- A.q = 0,8Bonne réponse
- B.q = −0,2
- C.q = 0,2
- D.q = 1,8
Réponse : A — q = 0,8
Une baisse de t % correspond au coefficient multiplicateur q = 1 − t/100 = 1 − 0,20 = 0,8. Une population de 1 000 devient bien 800 après un an. Répondre −0,2 est impossible : une raison négative ferait alterner le signe des termes, une population ne peut pas devenir négative. Répondre 0,2 reviendrait à une baisse de 80 %. Répondre 1,8 correspondrait à une hausse de 80 %.
(uₙ) est définie par uₙ = n² − 4n. Quelle est l'expression de uₙ₊₁ − uₙ ?
- A.2n + 1
- B.n² − 4
- C.2n − 3Bonne réponse
- D.2n − 4
Réponse : C — 2n − 3
On développe soigneusement : uₙ₊₁ = (n + 1)² − 4(n + 1) = n² + 2n + 1 − 4n − 4 = n² − 2n − 3. Donc uₙ₊₁ − uₙ = (n² − 2n − 3) − (n² − 4n) = 2n − 3. Le piège : oublier les parenthèses en soustrayant uₙ, ce qui donne 2n − 4 ou 2n + 1. Vérifie sur un cas : u₀ = 0 et u₁ = −3, donc u₁ − u₀ = −3, et 2 × 0 − 3 = −3. Ça colle !
Quelle affirmation est FAUSSE à propos d'une suite définie par récurrence uₙ₊₁ = f(uₙ) ?
- A.On peut calculer u₅₀ directement sans calculer les termes précédentsBonne réponse
- B.Il faut connaître le premier terme pour pouvoir calculer les suivants
- C.Elle peut n'être ni arithmétique ni géométrique
- D.Elle peut se représenter graphiquement par des points d'abscisses entières
Réponse : A — On peut calculer u₅₀ directement sans calculer les termes précédents
C'est justement la limite d'une définition par récurrence : chaque terme se déduit du précédent, donc pour atteindre u₅₀ il faut passer par les 50 termes antérieurs (d'où l'intérêt des algorithmes et des tableurs). Les trois autres affirmations sont vraies : sans premier terme la suite n'est pas définie, la plupart des suites ne sont ni arithmétiques ni géométriques, et toute suite se représente par des points isolés (n ; uₙ) qu'on ne relie pas.
On place 1 000 € à 4 % d'intérêts composés par an. Quel est le capital au bout de 2 ans ?
- A.1 080 €
- B.1 040 €
- C.1 160 €
- D.1 081,60 €Bonne réponse
Réponse : D — 1 081,60 €
Chaque année le capital est multiplié par 1,04 : C₂ = 1 000 × 1,04² = 1 000 × 1,0816 = 1 081,60 €. Répondre 1 080 €, c'est appliquer deux fois 40 € d'intérêts, comme si les intérêts ne rapportaient rien eux-mêmes : c'est le calcul d'intérêts SIMPLES. La différence, 1,60 €, ce sont les intérêts produits par les 40 € de la première année. Répondre 1 040 €, c'est s'arrêter à un an.
Combien vaut la somme 3 + 6 + 12 + 24 + … + 384 (8 termes d'une suite géométrique de raison 2) ?
- A.765Bonne réponse
- B.768
- C.762
- D.381
Réponse : A — 765
On factorise par le premier terme : S = 3 × (1 + 2 + 4 + … + 2⁷) = 3 × (2⁸ − 1) = 3 × (256 − 1) = 3 × 255 = 765. On peut aussi utiliser S = 3 × (1 − 2⁸)/(1 − 2) = 3 × 255 = 765. Répondre 768, c'est avoir écrit 3 × 2⁸ en oubliant le « − 1 ». Répondre 381, c'est n'avoir compté que 7 termes (3 × 127). Contrôle rapide : le dernier terme vaut 384, la somme doit être un peu moins du double, ce qui est cohérent avec 765.
Une machine perd 20 % de sa valeur chaque année. Elle vaut 500 € neuve. À partir de quelle année sa valeur devient-elle strictement inférieure à 200 € ?
- A.au bout de 3 ans
- B.au bout de 4 ans
- C.au bout de 5 ansBonne réponse
- D.au bout de 6 ans
Réponse : C — au bout de 5 ans
La valeur suit Vₙ = 500 × 0,8ⁿ. On calcule : V₁ = 400, V₂ = 320, V₃ = 256, V₄ = 204,80 et V₅ = 163,84. C'est donc au bout de 5 ans que la valeur passe sous 200 €. Le piège est V₄ = 204,80 € : c'est encore supérieur à 200 €, même si on en est très proche. Quand une inéquation est serrée, il faut poser le calcul plutôt que de se fier à une impression.
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