Le produit scalaire

Exercices corrigés

1. Deux vecteurs non nuls u et v vérifient u·v = 0. Que peut-on en conclure ?

   • A.ils sont colinéaires
   • B.ils ont la même norme
   • C.ils sont orthogonauxBonne réponse
   • D.ils sont opposés

   Réponse : C — ils sont orthogonaux

   Comme u·v = ||u|| × ||v|| × cos(θ) et que les normes de deux vecteurs non nuls sont strictement positives, un produit scalaire nul impose cos(θ) = 0, donc un angle droit : les vecteurs sont orthogonaux. C'est le critère le plus utilisé du chapitre. Attention, deux vecteurs colinéaires donnent au contraire un produit scalaire maximal en valeur absolue.

2. Deux vecteurs u et v vérifient ||u|| = 3, ||v|| = 4 et u·v = -6. Quelle est la mesure de l'angle entre eux ?

   • A.60°
   • B.90°
   • C.120°Bonne réponse
   • D.150°

   Réponse : C — 120°

   On part de u·v = ||u|| × ||v|| × cos(θ), soit -6 = 3 × 4 × cos(θ) = 12 cos(θ). D'où cos(θ) = -6/12 = -1/2. L'angle dont le cosinus vaut -1/2 est 120°. Le signe négatif du produit scalaire annonçait d'ailleurs un angle obtus : le résultat est cohérent.

3. On donne ||u|| = 3, ||v|| = 4 et u·v = 6. Que vaut ||u + v||² ?

   • A.25
   • B.49
   • C.19
   • D.37Bonne réponse

   Réponse : D — 37

   On développe l'identité remarquable vectorielle : ||u + v||² = ||u||² + 2 u·v + ||v||² = 9 + 12 + 16 = 37. L'option 25 correspond à un oubli du double produit (9 + 16), et 49 à l'erreur qui consiste à additionner d'abord les normes puis à élever au carré : (3 + 4)² = 49, ce qui n'est vrai que si les vecteurs sont colinéaires et de même sens.

4. Un triangle ABC a pour côtés AB = 8, AC = 5 et BC = 7. Quelle est la mesure de l'angle  ?

   • A.60°Bonne réponse
   • B.30°
   • C.45°
   • D.90°

   Réponse : A — 60°

   On isole le cosinus dans Al-Kashi : cos(Â) = (AB² + AC² - BC²)/(2 × AB × AC) = (64 + 25 - 49)/(2 × 8 × 5) = 40/80 = 1/2. L'angle dont le cosinus vaut 1/2 est 60°. Contrôle : le résultat est positif, donc l'angle est aigu, ce qui est cohérent avec un triangle dont le plus grand côté (8) n'est pas opposé à Â.

5. Dans un repère orthonormé, A(1 ; 1), B(5 ; 3) et C(0 ; 3). Quelle est la nature du triangle ABC ?

   • A.rectangle en ABonne réponse
   • B.équilatéral
   • C.isocèle en B
   • D.quelconque

   Réponse : A — rectangle en A

   On teste l'orthogonalité en A : AB a pour coordonnées (4 ; 2) et AC a pour coordonnées (-1 ; 2). Alors AB·AC = 4 × (-1) + 2 × 2 = -4 + 4 = 0. Le produit scalaire est nul, donc les vecteurs sont orthogonaux et le triangle est rectangle en A. Remarque : AB = √20 et AC = √5, deux longueurs différentes, donc il n'est pas isocèle en A.

6. Dans un repère orthonormé, u a pour coordonnées (3 ; 2) et v a pour coordonnées (1 ; 4). Que vaut u·v ?

   • A.5
   • B.11Bonne réponse
   • C.14
   • D.7

   Réponse : B — 11

   On applique la formule analytique : u·v = x x' + y y' = 3 × 1 + 2 × 4 = 3 + 8 = 11. L'erreur classique est de multiplier les deux produits au lieu de les additionner (ce qui donnerait 24), ou d'additionner les coordonnées entre elles (3 + 2 = 5, option 1).

7. Le vecteur u a pour coordonnées (3 ; 4) dans un repère orthonormé. Que vaut u·u ?

   • A.25Bonne réponse
   • B.5
   • C.7
   • D.12

   Réponse : A — 25

   Le carré scalaire vaut u·u = 3 × 3 + 4 × 4 = 9 + 16 = 25. C'est aussi le carré de la norme : ||u|| = 5, donc u·u = 5² = 25. L'option 5 est justement la norme elle-même, pas son carré : une confusion très fréquente.

8. Le produit scalaire de deux vecteurs est :

   • A.un vecteur
   • B.un nombre réelBonne réponse
   • C.un angle
   • D.un vecteur unitaire

   Réponse : B — un nombre réel

   Malgré son nom qui contient le mot « produit », cette opération transforme deux vecteurs en un simple nombre — d'où le mot « scalaire », qui signifie justement « nombre ». Écrire un résultat sous forme de couple de coordonnées est donc toujours faux.

9. Deux vecteurs u et v ont pour normes ||u|| = 2 et ||v|| = 3, et forment entre eux un angle de 60°. Que vaut u·v ?

   • A.6
   • B.1
   • C.2√3
   • D.3Bonne réponse

   Réponse : D — 3

   On utilise l'expression avec l'angle : u·v = ||u|| × ||v|| × cos(60°) = 2 × 3 × 1/2 = 3. L'option 6 correspond à l'oubli du cosinus, c'est-à-dire au cas où les vecteurs seraient colinéaires et de même sens (angle 0°).

10. Dans un repère orthonormé, u(-2 ; 5) et v(4 ; 3). Que vaut u·v ?

    • A.7Bonne réponse
    • B.-7
    • C.23
    • D.2

    Réponse : A — 7

    u·v = (-2) × 4 + 5 × 3 = -8 + 15 = 7. Le point de vigilance est le signe du premier produit : -2 multiplié par 4 donne bien -8. Si tu oublies ce signe moins, tu obtiens 8 + 15 = 23, qui est le distracteur proposé.

11. Dans un triangle ABC, AB = 5, AC = 8 et l'angle  mesure 60°. Combien vaut BC ?

    • A.√89
    • B.7Bonne réponse
    • C.9
    • D.13

    Réponse : B — 7

    Al-Kashi donne BC² = AB² + AC² - 2 × AB × AC × cos(Â) = 25 + 64 - 2 × 5 × 8 × 1/2 = 89 - 40 = 49, donc BC = 7. L'option √89 correspond à l'oubli complet du troisième terme (ce serait le cas d'un angle droit), et 13 à l'addition naïve 5 + 8.

12. Deux vecteurs u et v de normes 4 et 3 sont colinéaires et de sens contraires. Que vaut u·v ?

    • A.12
    • B.0
    • C.-12Bonne réponse
    • D.7

    Réponse : C — -12

    Colinéaires et de sens contraires signifie que l'angle entre eux mesure 180°, et cos(180°) = -1. Donc u·v = 4 × 3 × (-1) = -12. Le produit scalaire atteint ici sa valeur minimale possible : pour des normes fixées, il varie entre -||u|| × ||v|| et +||u|| × ||v||.