La fonction exponentielle

Exercices corrigés

1. Pour tous réels a et b, à quoi est égal e^a × e^b ?

   • A.e^(a × b)
   • B.e^(a + b)Bonne réponse
   • C.e^a + e^b
   • D.2 e^(a + b)

   Réponse : B — e^(a + b)

   C'est la relation fonctionnelle, le cœur du chapitre : e^(a+b) = e^a × e^b. Dans un PRODUIT d'exponentielles, on ADDITIONNE les exposants, exactement comme avec les puissances (2^3 × 2^4 = 2^7). Multiplier les exposants (option 1) est l'erreur la plus fréquente : elle correspondrait à (e^a)^b. Quant à e^a + e^b, c'est une somme d'exponentielles, qui ne se simplifie pas.

2. Quelle est une valeur approchée du nombre e ?

   • A.1,618
   • B.3,142
   • C.2,303
   • D.2,718Bonne réponse

   Réponse : D — 2,718

   Le nombre e = exp(1) vaut environ 2,718 (un peu plus précisément 2,71828). C'est un nombre irrationnel, comme π. Attention aux confusions classiques : 1,618 est le nombre d'or, 3,142 est une valeur approchée de π, et 2,303 correspond à ln(10), un nombre que tu croiseras en terminale.

3. Simplifie l'expression (e^2)^3.

   • A.e^5
   • B.e^6Bonne réponse
   • C.e^8
   • D.e^9

   Réponse : B — e^6

   Une puissance de puissance : on MULTIPLIE les exposants, donc (e^2)^3 = e^(2×3) = e^6. On peut aussi le vérifier avec la relation fonctionnelle : (e^2)^3 = e^2 × e^2 × e^2 = e^(2+2+2) = e^6. L'option e^5 vient d'une addition des exposants (règle du produit, pas de la puissance), et e^8 ou e^9 de confusions avec 2^3 ou 3².

4. Résous dans R l'équation e^(3x) = e^12.

   • A.x = 4Bonne réponse
   • B.x = 36
   • C.x = 9
   • D.x = 15

   Réponse : A — x = 4

   La fonction exponentielle étant strictement croissante, elle ne prend jamais deux fois la même valeur : e^a = e^b équivaut à a = b. On peut donc « enlever les exponentielles » : 3x = 12, d'où x = 12/3 = 4. Vérification : e^(3×4) = e^12, parfait. Les autres réponses viennent d'un mauvais traitement du 3 : multiplication (3 × 12 = 36), soustraction (12 − 3 = 9) ou addition (12 + 3 = 15).

5. Résous dans R l'équation e^(2x) = e^(x + 3).

   • A.x = 1
   • B.x = −3
   • C.x = 1,5
   • D.x = 3Bonne réponse

   Réponse : D — x = 3

   Comme e^a = e^b équivaut à a = b, on obtient 2x = x + 3. On regroupe les x : 2x − x = 3, donc x = 3. Vérification : à gauche e^(2×3) = e^6, à droite e^(3+3) = e^6. C'est bien égal ! L'option x = 1,5 vient d'un oubli du x du membre de droite (2x = 3), et x = −3 d'une erreur de signe lors du regroupement.

6. Résous dans R l'inéquation e^(2x − 6) ≤ 1.

   • A.x ≥ 3
   • B.x ≤ 6
   • C.x ≤ 3Bonne réponse
   • D.x ≥ 6

   Réponse : C — x ≤ 3

   Astuce indispensable : on écrit 1 sous la forme e^0. L'inéquation devient e^(2x−6) ≤ e^0. Comme l'exponentielle est strictement croissante, l'inégalité sur les exponentielles équivaut à la même inégalité sur les exposants, DANS LE MÊME SENS : 2x − 6 ≤ 0, donc 2x ≤ 6, soit x ≤ 3. Vérification avec x = 0 : e^(−6) ≈ 0,0025, bien inférieur à 1. Le piège est d'inverser le sens de l'inégalité : c'est inutile ici, puisqu'on ne multiplie par aucun nombre négatif.

7. Soit f définie sur R par f(x) = (x² − 2x)e^x. Quelle est sa dérivée sous forme factorisée ?

   • A.f'(x) = (2x − 2)e^x
   • B.f'(x) = (x² − 2)e^xBonne réponse
   • C.f'(x) = (x² − 2x)e^x
   • D.f'(x) = (x² + 2x − 2)e^x

   Réponse : B — f'(x) = (x² − 2)e^x

   Produit : u(x) = x² − 2x (donc u' = 2x − 2) et v(x) = e^x (donc v' = e^x). Alors f' = u'v + uv' = (2x − 2)e^x + (x² − 2x)e^x. On factorise par e^x et on réduit l'intérieur : 2x − 2 + x² − 2x = x² − 2. Donc f'(x) = (x² − 2)e^x. Les termes en 2x se sont éliminés, c'est ce qui rend l'exercice piégeux ! L'option (2x − 2)e^x oublie le terme uv', et (x² + 2x − 2)e^x se trompe de signe en réduisant.

8. Que vaut exp(0) ?

   • A.0
   • B.1Bonne réponse
   • C.e
   • D.L'expression n'est pas définie

   Réponse : B — 1

   C'est l'une des deux conditions qui définissent la fonction exponentielle : f' = f et f(0) = 1. Donc exp(0) = 1, autrement dit e^0 = 1. C'est cohérent avec les puissances que tu connais : un nombre non nul élevé à la puissance 0 vaut toujours 1. Attention à ne pas confondre avec exp(1), qui vaut e ≈ 2,718.

9. Quelle affirmation est vraie pour tout réel x ?

   • A.e^x > 0Bonne réponse
   • B.e^x ≥ 0, et e^x = 0 lorsque x = 0
   • C.e^x > 0 uniquement lorsque x > 0
   • D.e^x est négatif lorsque x est négatif

   Réponse : A — e^x > 0

   La fonction exponentielle est STRICTEMENT positive sur R tout entier : sa courbe est toujours au-dessus de l'axe des abscisses, sans jamais le toucher. Même pour x très négatif, e^x reste positif : par exemple e^(−2) = 1/e² ≈ 0,14, c'est petit mais bien positif. Le piège classique est de croire qu'un exposant négatif donne un résultat négatif : un exposant négatif donne un INVERSE, pas un opposé.

10. Quelle est la dérivée de la fonction f définie sur R par f(x) = e^x ?

    • A.f'(x) = e^xBonne réponse
    • B.f'(x) = x e^(x−1)
    • C.f'(x) = 1
    • D.f'(x) = e

    Réponse : A — f'(x) = e^x

    La fonction exponentielle est LA fonction qui est égale à sa propre dérivée : c'est même sa définition (f' = f avec f(0) = 1). Donc f'(x) = e^x. L'option x·e^(x−1) applique par erreur la formule (x^n)' = n·x^(n−1) : mais ici la variable est à l'EXPOSANT, pas à la base, donc cette formule ne s'applique pas du tout.

11. Pour tout réel x, à quoi est égal e^(−x) ?

    • A.−e^x
    • B.e^(1/x)
    • C.1/e^xBonne réponse
    • D.1 − e^x

    Réponse : C — 1/e^x

    Un exposant opposé donne l'INVERSE : e^(−x) = 1/e^x. On le démontre avec la relation fonctionnelle : e^x × e^(−x) = e^(x + (−x)) = e^0 = 1, donc e^(−x) est bien l'inverse de e^x. La réponse −e^x est le piège numéro un : elle donnerait un nombre négatif, ce qui est impossible puisque l'exponentielle est toujours strictement positive.

12. Simplifie l'expression e^5 × e^(−3).

    • A.e^(−15)
    • B.e^(5/3)
    • C.e^2Bonne réponse
    • D.e^8

    Réponse : C — e^2

    Dans un produit, on additionne les exposants : e^5 × e^(−3) = e^(5 + (−3)) = e^2. L'option e^(−15) vient d'une multiplication des exposants (5 × (−3)), l'option e^8 d'une addition qui oublie le signe moins (5 + 3), et e^(5/3) d'une division. Le seul réflexe correct : PRODUIT d'exponentielles = SOMME des exposants, signes compris.