La dérivation
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Analyse
Nombre dérivé et tangente
La dérivation répond à une question simple : à quelle vitesse une fonction varie-t-elle en un point précis ? Sur un graphique, cela revient à mesurer la pente de la courbe à cet endroit. C'est la notion la plus importante du programme de Première : elle ouvre l'étude des variations, les problèmes d'optimisation, et toute l'analyse de Terminale.
Du taux de variation au nombre dérivé
Entre deux points d'abscisses a et b, le taux de variation de f vaut (f(b) − f(a))/(b − a) : c'est le coefficient directeur de la droite qui relie les deux points de la courbe, appelée sécante. Si on rapproche b de a, cette sécante bascule peu à peu et vient se coller à la courbe : sa position limite est la tangente, et son coefficient directeur est le nombre dérivé.
Analyse
Fonction dérivée : formules et opérations
Calculer une limite de taux de variation à chaque fois serait épuisant. Heureusement, on démontre une fois pour toutes des formules qui donnent la dérivée des fonctions usuelles, et des règles pour dériver leurs sommes, produits et quotients. À partir de là, la dérivation devient mécanique : c'est un jeu de reconnaissance de formes. Chaque formule du tableau ci-dessous a été démontrée une seule fois, à partir de cette même définition du nombre dérivé ; il ne reste ensuite qu'à la reconnaître et l'appliquer. Les règles de calcul, elles, reposent sur cette démonstration appliquée non plus à une fonction isolée mais à une somme, un produit ou un quotient de deux fonctions.
Les dérivées à connaître par cœur
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) | Valable sur |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | ℝ |
| x | 1 | ℝ |
| x² | 2x | ℝ |
| x³ | 3x² | ℝ |
| xⁿ (n entier, n ≥ 1) | n × x^(n−1) | ℝ |
| 1/x | −1/x² | ]−∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[ |
| √x | 1/(2√x) | ]0 ; +∞[ (pas en 0 !) |
Les règles de calcul
- Somme : (u + v)' = u' + v'. La dérivée d'une somme est la somme des dérivées.
- Produit par un réel : (k × u)' = k × u'. Le coefficient reste devant.
- Produit : (u × v)' = u'v + uv'. Ce n'est PAS u' × v'.
- Inverse : (1/v)' = −v'/v², là où v ne s'annule pas.
- Quotient : (u/v)' = (u'v − uv')/v². L'ordre du numérateur compte, c'est une soustraction.
Exercices corrigés
Quelle est la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x² ?
- A.f'(x) = 2xBonne réponse
- B.f'(x) = x
- C.f'(x) = 2
- D.f'(x) = x³/3
Réponse : A — f'(x) = 2x
On applique la formule (xⁿ)' = n x^(n−1) avec n = 2 : l'exposant 2 descend devant et diminue de 1, ce qui donne 2x¹ = 2x. Répondre 2, c'est dériver deux fois de suite. Répondre x³/3, c'est calculer une primitive (l'opération inverse, vue en Terminale). Contrôle graphique : la parabole a une tangente horizontale en 0, et 2 × 0 = 0 ✔.
Quelle est la dérivée de f(x) = x³ ?
- A.f'(x) = x²
- B.f'(x) = 3x²Bonne réponse
- C.f'(x) = 3x
- D.f'(x) = 2x³
Réponse : B — f'(x) = 3x²
Formule (xⁿ)' = n x^(n−1) avec n = 3 : l'exposant descend en facteur et diminue d'une unité, donc f'(x) = 3x². Répondre 3x, c'est avoir fait descendre l'exposant sans le diminuer correctement (on passerait de x³ à x¹). Répondre x², c'est oublier le facteur 3. Petit contrôle : la fonction cube est croissante, et 3x² ≥ 0 pour tout x ✔.
Quelle est la dérivée de f(x) = 5x − 3 ?
- A.f'(x) = 5x
- B.f'(x) = −3
- C.f'(x) = 5Bonne réponse
- D.f'(x) = 2
Réponse : C — f'(x) = 5
On dérive terme à terme : la dérivée de 5x est 5, celle de la constante −3 est 0. Donc f'(x) = 5. C'est cohérent : f est une fonction affine, sa courbe est une droite de coefficient directeur 5, et la pente d'une droite est la même partout. Répondre 2, c'est avoir calculé 5 − 3 : la constante ne se retranche pas, elle disparaît.
Quelle est la dérivée de la fonction inverse f(x) = 1/x sur ]0 ; +∞[ ?
- A.f'(x) = −1/x²Bonne réponse
- B.f'(x) = 1/x²
- C.f'(x) = −1/(2x²)
- D.f'(x) = 1/(2√x)
Réponse : A — f'(x) = −1/x²
C'est une formule du cours : (1/x)' = −1/x². Le signe moins n'est pas décoratif, il traduit un fait géométrique : la fonction inverse est DÉCROISSANTE sur ]0 ; +∞[, donc sa dérivée doit être négative. Comme x² > 0, l'expression −1/x² est bien négative ✔. La formule 1/(2√x) est celle de la dérivée de la racine carrée, à ne pas confondre.
Quelle est la dérivée de la fonction racine carrée f(x) = √x sur ]0 ; +∞[ ?
- A.f'(x) = √x/2
- B.f'(x) = 2√x
- C.f'(x) = 1/√x
- D.f'(x) = 1/(2√x)Bonne réponse
Réponse : D — f'(x) = 1/(2√x)
C'est une formule à mémoriser : (√x)' = 1/(2√x), valable sur ]0 ; +∞[ seulement, car l'expression n'a pas de sens en 0 (la courbe y admet une tangente verticale). Contrôle de cohérence : la racine carrée est croissante, et 1/(2√x) est bien positif ✔. Autre contrôle : en x = 4, la dérivée vaut 1/(2 × 2) = 1/4, une pente faible, ce qui correspond bien à une courbe qui s'aplatit.
En quels points la courbe de f(x) = x³ − 3x² admet-elle une tangente horizontale ?
- A.En x = 0 uniquement
- B.En x = 0 et en x = 2Bonne réponse
- C.En x = 2 et en x = −2
- D.En x = 3 et en x = 0
Réponse : B — En x = 0 et en x = 2
Une tangente est horizontale quand son coefficient directeur est nul, c'est-à-dire quand f'(x) = 0. Ici f'(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2), produit nul si x = 0 ou si x = 2. Il y a donc deux points à tangente horizontale : (0 ; 0) et (2 ; −4). L'erreur fréquente est de résoudre f(x) = 0 au lieu de f'(x) = 0 : cela donnerait x = 0 et x = 3, ce qui correspond aux points où la courbe coupe l'axe des abscisses, pas où elle est plate.
Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de f(x) = 1/x au point d'abscisse 2 ?
- A.y = −0,25x + 1Bonne réponse
- B.y = −0,25x + 0,5
- C.y = 0,25x + 1
- D.y = −4x + 8,5
Réponse : A — y = −0,25x + 1
f(2) = 1/2 = 0,5 et f'(x) = −1/x², donc f'(2) = −1/4 = −0,25. L'équation est y = −0,25(x − 2) + 0,5 = −0,25x + 0,5 + 0,5 = −0,25x + 1. Vérification indispensable : pour x = 2, −0,25 × 2 + 1 = 0,5 = f(2) ✔. Avec y = −0,25x + 0,5, on obtiendrait 0 : la droite ne passerait pas par le point de contact. Le coefficient est négatif, ce qui est logique pour une fonction décroissante.
En quel point la tangente à la courbe de f(x) = x² est-elle parallèle à la droite d'équation y = 6x − 1 ?
- A.Au point (6 ; 36)
- B.Au point (3 ; 9)Bonne réponse
- C.Au point (3 ; 17)
- D.Au point (−3 ; 9)
Réponse : B — Au point (3 ; 9)
Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. Celui de la droite donnée est 6, il faut donc résoudre f'(x) = 6, soit 2x = 6, donc x = 3. L'ordonnée du point est f(3) = 9 : c'est le point (3 ; 9). Répondre (6 ; 36), c'est avoir pris la pente pour l'abscisse. Répondre (3 ; 17), c'est avoir utilisé l'équation de la droite (6 × 3 − 1 = 17) au lieu de la fonction : le point cherché est sur la PARABOLE, pas sur la droite.
La fonction f est définie sur ℝ par f(x) = 7. Que vaut f'(x) ?
- A.7
- B.7x
- C.0Bonne réponse
- D.1
Réponse : C — 0
Une fonction constante ne varie pas : sa courbe est une droite horizontale, dont le coefficient directeur vaut 0. Donc f'(x) = 0 pour tout x. Répondre 7, c'est confondre f et f' : la valeur de la fonction (7) n'a rien à voir avec sa vitesse de variation (0). Retiens l'image : sur une route parfaitement plate, la pente est nulle, quelle que soit l'altitude.
Que représente graphiquement le nombre dérivé f'(a) ?
- A.L'ordonnée du point de la courbe d'abscisse a
- B.L'aire située sous la courbe jusqu'à a
- C.L'abscisse du sommet de la courbe
- D.Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse aBonne réponse
Réponse : D — Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a
Le nombre dérivé est la limite du taux de variation, c'est-à-dire la pente vers laquelle tendent les sécantes : c'est exactement le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a. L'ordonnée du point, elle, se note f(a) — ne confonds pas la hauteur et la pente. L'aire sous la courbe relève de l'intégrale, une notion de Terminale.
La fonction f est définie par f(x) = 3x² − 5x + 2. Combien vaut f'(2) ?
- A.12
- B.7Bonne réponse
- C.4
- D.1
Réponse : B — 7
On dérive d'abord : f'(x) = 6x − 5. On remplace ensuite x par 2 : f'(2) = 12 − 5 = 7. Répondre 12, c'est avoir oublié le terme −5 en dérivant. Répondre 4, c'est avoir calculé f(2) = 12 − 10 + 2 = 4, donc la valeur de la fonction et non celle de sa dérivée. L'ordre est toujours le même : on dérive, PUIS on remplace.
Quel est le taux de variation de la fonction f(x) = x² entre a = 2 et b = 5 ?
- A.7Bonne réponse
- B.21
- C.3
- D.10
Réponse : A — 7
Le taux de variation vaut (f(5) − f(2))/(5 − 2) = (25 − 4)/3 = 21/3 = 7. Répondre 21, c'est oublier de diviser par l'écart des abscisses : on obtiendrait la variation totale, pas une pente. Répondre 10, c'est probablement avoir calculé f'(5) = 10 : le nombre dérivé donne la pente EN un point, le taux de variation donne la pente MOYENNE entre deux points.
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