Le second degré
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Algèbre
Trinôme, forme canonique et résolution
Le second degré est le chapitre outil de la Première : on le retrouve dans les problèmes d'optimisation, en géométrie, en physique (trajectoire d'un projectile) et surtout dans les études de fonctions de Terminale. Tout tient dans trois écritures d'un même objet : la forme développée, la forme canonique et la forme factorisée.
La forme canonique : lire le sommet directement
Tout trinôme peut s'écrire f(x) = a(x − α)² + β, où α = −b/(2a) et β = f(α). Le point S de coordonnées (α ; β) est le sommet de la parabole, et la droite d'équation x = α est son axe de symétrie. C'est en α que f atteint son extremum, et cet extremum vaut β.
Algèbre
Factorisation, signe du trinôme et inéquations
Savoir résoudre une équation du second degré, c'est bien. Savoir dire quand un trinôme est positif ou négatif, c'est ce qui te servira vraiment : inéquations, positions relatives de courbes, tableaux de signes, et plus tard études de fonctions.
Le signe d'un trinôme
La règle tient en une phrase à retenir par cœur : un trinôme est du signe de a partout, sauf entre les racines (quand il y en a deux, où il est du signe contraire). Si tu hésites, fais un dessin rapide de la parabole : orientée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0, coupant l'axe des abscisses aux racines.
Cette règle se lit directement dans la forme factorisée : quand Δ > 0, ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) avec x₁ < x₂ — on appelle toujours x₁ la plus petite des deux racines, quitte à échanger les noms que donne la formule, ce qui arrive dès que a est négatif. Pour x compris entre x₁ et x₂, le facteur (x − x₁) est positif et (x − x₂) est négatif, donc leur produit est négatif : le trinôme prend alors le signe de −a. En dehors de cet intervalle, les deux facteurs ont le même signe, leur produit est positif, et le trinôme retrouve le signe de a. C'est cette même forme factorisée qui explique pourquoi, quand Δ = 0, le trinôme ne change jamais de signe : (x − x₀)² est un carré, donc toujours positif ou nul.
| Cas | Racines | Signe de ax² + bx + c | Position de la parabole |
|---|---|---|---|
| Δ > 0 | x₁ < x₂ | du signe de a à l'extérieur de [x₁ ; x₂], du signe de −a à l'intérieur | elle traverse l'axe des abscisses en deux points |
| Δ = 0 | une racine double x₀ | du signe de a partout, et nul en x₀ | elle touche l'axe des abscisses sans le traverser |
| Δ < 0 | aucune | du signe de a pour tout réel x, jamais nul | elle ne coupe jamais l'axe des abscisses |
Somme, produit et problèmes d'optimisation
- Si x₁ et x₂ sont les racines de ax² + bx + c : x₁ + x₂ = −b/a et x₁ × x₂ = c/a. Pratique pour vérifier un calcul ou deviner des racines entières.
- Deux nombres de somme S et de produit P sont les racines de x² − Sx + P = 0. Exemple : somme 5 et produit 6 donnent x² − 5x + 6 = 0, soit 2 et 3.
- Optimisation : traduis la grandeur à optimiser par un trinôme, puis lis l'extremum grâce à la forme canonique (α = −b/(2a)).
- Un rectangle de périmètre fixé a une aire maximale quand c'est un carré ; c'est une conséquence directe de la forme canonique.
Exercices corrigés
Une équation du second degré a un discriminant Δ = −7. Que peut-on conclure ?
- A.Elle a deux solutions distinctes
- B.Elle a une solution double
- C.Elle n'a aucune solution réelleBonne réponse
- D.Elle a une infinité de solutions
Réponse : C — Elle n'a aucune solution réelle
La formule des racines fait intervenir √Δ, or la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans les réels : quand Δ < 0, l'équation n'a aucune solution réelle. Graphiquement, la parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses : elle reste entièrement au-dessus (si a > 0) ou entièrement en dessous (si a < 0). Une solution double correspondrait à Δ = 0, et deux solutions distinctes à Δ > 0.
La fonction f est définie par f(x) = (x − 2)² + 3. Quelles sont les coordonnées du sommet de sa parabole ?
- A.(−2 ; 3)
- B.(2 ; 3)Bonne réponse
- C.(2 ; −3)
- D.(3 ; 2)
Réponse : B — (2 ; 3)
La forme canonique f(x) = a(x − α)² + β se lit directement : le sommet a pour coordonnées (α ; β). Ici α = 2 (attention, c'est bien +2 : il y a un signe moins DANS la parenthèse) et β = 3, donc S(2 ; 3). Répondre (−2 ; 3) est le piège de signe le plus fréquent. Répondre (3 ; 2), c'est intervertir abscisse et ordonnée.
Que peut-on dire de la parabole d'équation y = 2x² − 3x + 1 ?
- A.Elle est tournée vers le bas, la fonction admet un maximum
- B.C'est une droite de coefficient directeur 2
- C.Elle est tournée vers le bas, la fonction admet un minimum
- D.Elle est tournée vers le haut, la fonction admet un minimumBonne réponse
Réponse : D — Elle est tournée vers le haut, la fonction admet un minimum
C'est le coefficient a du terme en x² qui décide, et lui seul : ici a = 2 > 0, donc la parabole est tournée vers le haut (comme un sourire) et la fonction admet un minimum, atteint au sommet. Les coefficients b et c déplacent la parabole mais ne changent pas son orientation. Retiens la logique : vers le haut, la courbe descend puis remonte — le point le plus bas est un minimum.
Quelles sont les solutions de l'équation x² − 5x + 6 = 0 ?
- A.{−2 ; −3}
- B.{1 ; 6}
- C.{2 ; 3}Bonne réponse
- D.{5 ; 6}
Réponse : C — {2 ; 3}
Δ = 25 − 24 = 1, donc √Δ = 1 et les racines sont (5 − 1)/2 = 2 et (5 + 1)/2 = 3. Vérifions : 2² − 5 × 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0 ✔ et 3² − 5 × 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 ✔. On aurait pu deviner en cherchant deux nombres de somme 5 et de produit 6. Répondre {−2 ; −3} inverse les signes : leur somme vaut −5, pas 5. Et 1 et 6 ont bien pour produit 6, mais leur somme fait 7.
Parmi ces expressions, laquelle n'est PAS un trinôme du second degré ?
- A.3x − 7Bonne réponse
- B.x² − 1
- C.−2x² + x
- D.x(x + 4)
Réponse : A — 3x − 7
Un trinôme du second degré s'écrit ax² + bx + c avec a ≠ 0 : il doit contenir un terme en x². L'expression 3x − 7 est du premier degré (une fonction affine, sa courbe est une droite). En revanche x² − 1 (a = 1, b = 0, c = −1), −2x² + x (a = −2) et x(x + 4) = x² + 4x sont bien du second degré : le fait qu'il manque un coefficient ou que l'expression soit factorisée n'y change rien.
Quelles sont les solutions de 2x² − 3x − 2 = 0 ?
- A.{−2 ; 1/2}
- B.{2 ; −1/2}Bonne réponse
- C.{2 ; 1/2}
- D.{−2 ; −1/2}
Réponse : B — {2 ; −1/2}
a = 2, b = −3, c = −2, donc Δ = (−3)² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25 (attention : −4ac devient positif car c est négatif). √Δ = 5, donc x₁ = (3 − 5)/4 = −1/2 et x₂ = (3 + 5)/4 = 2. Vérification : 2 × (−1/2)² − 3 × (−1/2) − 2 = 0,5 + 1,5 − 2 = 0 ✔. Contrôle par le produit : x₁ × x₂ = −1 et c/a = −2/2 = −1 ✔ — les autres propositions donnent un produit de +1 ou −1 avec une somme fausse.
Le trinôme x² − 7x + 12 admet deux racines. Que valent leur somme S et leur produit P ?
- A.S = 7 et P = 12Bonne réponse
- B.S = −7 et P = 12
- C.S = 12 et P = 7
- D.S = 7 et P = −12
Réponse : A — S = 7 et P = 12
Les formules sont S = −b/a et P = c/a. Ici a = 1, b = −7, c = 12, donc S = 7/1 = 7 et P = 12/1 = 12. Le signe moins de la formule et le signe moins de b s'annulent : c'est là que beaucoup se trompent en répondant −7. Vérification : les racines sont 3 et 4 (Δ = 49 − 48 = 1), et effectivement 3 + 4 = 7 et 3 × 4 = 12.
Quelle est la forme canonique de f(x) = x² − 4x + 7 ?
- A.(x − 2)² − 3
- B.(x − 2)² + 3Bonne réponse
- C.(x + 2)² + 3
- D.(x − 4)² + 7
Réponse : B — (x − 2)² + 3
On calcule α = −b/(2a) = 4/2 = 2, puis β = f(2) = 4 − 8 + 7 = 3, d'où f(x) = (x − 2)² + 3. Le contrôle est immédiat en développant : (x − 2)² + 3 = x² − 4x + 4 + 3 = x² − 4x + 7 ✔. Développer (x − 2)² − 3 donnerait x² − 4x + 1, et (x + 2)² + 3 donnerait x² + 4x + 7 : le signe dans la parenthèse est l'opposé de celui de b.
Quelle est la forme factorisée de 2x² − 8x + 6 ?
- A.(x − 1)(x − 3)
- B.2(x + 1)(x + 3)
- C.(2x − 1)(x − 6)
- D.2(x − 1)(x − 3)Bonne réponse
Réponse : D — 2(x − 1)(x − 3)
Δ = (−8)² − 4 × 2 × 6 = 64 − 48 = 16, √Δ = 4, donc les racines sont (8 − 4)/4 = 1 et (8 + 4)/4 = 3. La factorisation est a(x − x₁)(x − x₂) = 2(x − 1)(x − 3). L'erreur numéro un est d'oublier le facteur a : (x − 1)(x − 3) = x² − 4x + 3, soit la moitié du trinôme de départ. Développe toujours pour vérifier : 2(x² − 4x + 3) = 2x² − 8x + 6 ✔.
La fonction f est définie par f(x) = x² − 6x + 5. Quel est son extremum ?
- A.Un minimum égal à −4, atteint en x = 3Bonne réponse
- B.Un maximum égal à −4, atteint en x = 3
- C.Un minimum égal à 3, atteint en x = −4
- D.Un minimum égal à 5, atteint en x = 0
Réponse : A — Un minimum égal à −4, atteint en x = 3
Comme a = 1 > 0, la parabole est tournée vers le haut : f admet un minimum. Il est atteint en α = −b/(2a) = 6/2 = 3, et vaut f(3) = 9 − 18 + 5 = −4. Ne confonds pas l'abscisse de l'extremum (x = 3) et sa valeur (−4) : la question porte sur les deux. Répondre 5 en x = 0, c'est confondre l'extremum avec l'ordonnée à l'origine f(0) = 5.
Pour quelles valeurs du réel m l'équation x² − 4x + m = 0 admet-elle deux solutions distinctes ?
- A.m > 4
- B.m < 4Bonne réponse
- C.m < −4
- D.m = 4
Réponse : B — m < 4
Deux solutions distinctes signifie Δ > 0. Ici Δ = (−4)² − 4 × 1 × m = 16 − 4m. On résout 16 − 4m > 0, soit 16 > 4m, soit m < 4. Attention en divisant par −4 : si tu écris −4m > −16, il faut inverser le sens de l'inégalité pour obtenir m < 4. Vérifions : pour m = 0, l'équation x² − 4x = 0 a bien deux solutions (0 et 4) ; pour m = 5, Δ = −4 < 0, aucune solution.
Quels sont les deux nombres dont la somme vaut 5 et le produit vaut 6 ?
- A.1 et 6
- B.−2 et −3
- C.5 et 6
- D.2 et 3Bonne réponse
Réponse : D — 2 et 3
Deux nombres de somme S et de produit P sont les racines de x² − Sx + P = 0, ici x² − 5x + 6 = 0. Δ = 25 − 24 = 1, donc les racines sont 2 et 3. Contrôle : 2 + 3 = 5 ✔ et 2 × 3 = 6 ✔. Les distracteurs échouent sur l'une des deux conditions : 1 et 6 ont bien pour produit 6 mais pour somme 7 ; −2 et −3 ont bien pour produit 6 mais pour somme −5.
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