Variables aléatoires réelles
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Probabilités et statistiques
Variable aléatoire et loi de probabilité
Jusqu'ici, tu calculais la probabilité d'un événement (« obtenir un 6 », « tirer une boule rouge »). La variable aléatoire change de point de vue : elle associe un nombre à chaque issue de l'expérience. On peut alors faire des maths avec ce nombre — le moyenner, mesurer sa dispersion, comparer deux jeux d'argent. C'est le pont entre les probabilités et les statistiques, et c'est un chapitre qui revient chaque année au bac.
Attention au vocabulaire : X (majuscule) désigne la variable aléatoire elle-même, alors que xi (minuscule) désigne une valeur qu'elle peut prendre. Écrire P(X = 3), c'est demander : « quelle est la probabilité que le nombre associé à l'issue tirée soit 3 ? »
La loi de probabilité de X
| Valeur xi | −3 | 0 | 5 |
|---|---|---|---|
| P(X = xi) en fraction | 1/3 | 1/2 | 1/6 |
| P(X = xi) en décimal | environ 0,333 | 0,5 | environ 0,167 |
| Issues correspondantes | 1 ; 2 | 3 ; 4 ; 5 | 6 |
Probabilités et statistiques
Espérance, variance et écart-type
Une loi de probabilité, c'est parfois beaucoup de chiffres. On la résume avec deux indicateurs : l'espérance, qui dit autour de quelle valeur X se situe « en moyenne », et l'écart-type, qui dit à quel point X s'en écarte. Exactement le couple moyenne / écart-type des statistiques de seconde, mais cette fois sur un modèle théorique au lieu d'une série de données.
Transformer une variable aléatoire : Y = aX + b
Changer d'unité, ajouter une prime fixe, doubler les gains : toutes ces situations reviennent à remplacer X par une variable Y = aX + b, où a et b sont deux nombres réels fixés. Les indicateurs se transforment alors selon des règles simples — et c'est une source inépuisable de questions de bac.
| Indicateur | Formule pour Y = aX + b | Le b intervient-il ? | Exemple avec a = 3, b = −2, E(X) = 4, V(X) = 5 |
|---|---|---|---|
| Espérance E(Y) | a × E(X) + b | Oui | 3 × 4 − 2 = 10 |
| Variance V(Y) | a² × V(X) | Non | 3² × 5 = 45 |
| Écart-type σ(Y) | |a| × σ(X) | Non | 3 × racine de 5, soit environ 6,7 |
Exercices corrigés
Qu'est-ce qu'une variable aléatoire réelle définie sur un univers Ω ?
- A.Un nombre tiré au hasard entre 0 et 1
- B.Une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue de ΩBonne réponse
- C.Une probabilité, donc un nombre compris entre 0 et 1
- D.L'ensemble de toutes les issues de l'expérience aléatoire
Réponse : B — Une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue de Ω
Une variable aléatoire est une fonction : elle part de l'univers Ω (les issues) et arrive dans les nombres réels. Par exemple, pour un lancer de dé, X peut associer un gain en euros à chaque face. Ce n'est pas une probabilité (option 3) : X peut valoir −3, 5 ou 1000, alors qu'une probabilité reste entre 0 et 1. Et l'ensemble des issues, c'est Ω lui-même, pas X.
Une variable aléatoire X prend trois valeurs : 1, 2 et 3, avec P(X = 1) = 0,2 et P(X = 2) = 0,5. Que vaut P(X = 3) ?
- A.0,7
- B.0,5
- C.0,3Bonne réponse
- D.0,2
Réponse : C — 0,3
La somme des probabilités d'une loi vaut toujours 1. Donc P(X = 3) = 1 − 0,2 − 0,5 = 0,3. L'option 0,7 correspond à 0,2 + 0,5 : c'est la probabilité que X vaille 1 ou 2, pas 3. Le réflexe à garder : dès qu'une probabilité manque dans un tableau de loi, on complète à 1.
Comment obtient-on l'écart-type σ(X) d'une variable aléatoire ?
- A.En élevant la variance au carré : σ(X) = V(X)²
- B.En élevant l'espérance au carré : σ(X) = E(X)²
- C.En calculant la moyenne des écarts à l'espérance
- D.En prenant la racine carrée de la varianceBonne réponse
Réponse : D — En prenant la racine carrée de la variance
Par définition, σ(X) = racine carrée de V(X). La variance est en « unités au carré » (des euros² si X est un gain), et la racine carrée ramène l'indicateur dans la même unité que X, ce qui le rend interprétable. Attention à l'option 3 : la moyenne des écarts à l'espérance vaut toujours 0 (les écarts positifs compensent les négatifs), c'est précisément pour cela qu'on les élève au carré avant de moyenner.
La loi de X est donnée par : P(X = 1) = 0,1 ; P(X = 2) = 0,3 ; P(X = 3) = 0,4 ; P(X = 4) = 0,2. Que vaut P(X ≤ 2) ?
- A.0,3
- B.0,4Bonne réponse
- C.0,1
- D.0,8
Réponse : B — 0,4
L'événement (X ≤ 2) réunit les cas X = 1 et X = 2. Donc P(X ≤ 2) = 0,1 + 0,3 = 0,4. Répondre 0,3, c'est ne garder que P(X = 2) en oubliant le symbole « inférieur ou égal ». Répondre 0,8, c'est avoir calculé P(X ≤ 3) = 0,1 + 0,3 + 0,4. Lis bien l'inégalité : ici on s'arrête à 2 inclus.
X prend les valeurs 0 ; 1 et 2 avec les probabilités 0,2 ; 0,5 et 0,3. Que vaut V(X) ?
- A.1,7
- B.1,21
- C.0,7
- D.0,49Bonne réponse
Réponse : D — 0,49
D'abord E(X) = 0 × 0,2 + 1 × 0,5 + 2 × 0,3 = 0,5 + 0,6 = 1,1. Ensuite E(X²) = 0² × 0,2 + 1² × 0,5 + 2² × 0,3 = 0,5 + 1,2 = 1,7. Enfin V(X) = E(X²) − [E(X)]² = 1,7 − 1,1² = 1,7 − 1,21 = 0,49. Répondre 1,7, c'est s'arrêter à E(X²) sans retrancher le carré de l'espérance ; répondre 0,7, c'est donner l'écart-type (racine de 0,49) au lieu de la variance.
Dans un jeu, on gagne 5 € avec la probabilité 1/4 et on perd 2 € avec la probabilité 3/4. On note X le gain algébrique. Que peut-on dire de ce jeu ?
- A.Le jeu est équitable, car E(X) = 0
- B.Le jeu est défavorable au joueur, car E(X) = −0,25 €Bonne réponse
- C.Le jeu est favorable au joueur, car E(X) = 3 €
- D.Le jeu est défavorable au joueur, car E(X) = −1,5 €
Réponse : B — Le jeu est défavorable au joueur, car E(X) = −0,25 €
E(X) = 5 × 1/4 + (−2) × 3/4 = 1,25 − 1,5 = −0,25 €. L'espérance est strictement négative : sur un grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne 25 centimes par partie, donc le jeu lui est défavorable. Répondre 3 €, c'est faire 5 − 2 en oubliant complètement les probabilités ; répondre −1,5 €, c'est ne compter que la partie « perte » sans ajouter le gain espéré de 1,25 €.
On sait que E(X) = 4 et V(X) = 5. On pose Y = 3X − 2. Que vaut V(Y) ?
- A.15
- B.13
- C.45Bonne réponse
- D.43
Réponse : C — 45
La formule est V(aX + b) = a²V(X), donc V(Y) = 3² × 5 = 9 × 5 = 45. Deux pièges sont testés ici : répondre 15, c'est utiliser a au lieu de a² ; répondre 13 ou 43, c'est retrancher le b, alors que la constante b n'a aucun effet sur la variance. Ajouter une somme fixe à tous les gains déplace la moyenne mais ne modifie pas du tout la dispersion.
Une variable aléatoire X ne prend que les valeurs 0 et 1, avec P(X = 1) = 0,3. Que vaut V(X) ?
- A.0,3
- B.0,7
- C.0,09
- D.0,21Bonne réponse
Réponse : D — 0,21
On a P(X = 0) = 0,7 et P(X = 1) = 0,3. Alors E(X) = 0 × 0,7 + 1 × 0,3 = 0,3. Comme 0² = 0 et 1² = 1, on a aussi E(X²) = 0 × 0,7 + 1 × 0,3 = 0,3. Donc V(X) = 0,3 − 0,3² = 0,3 − 0,09 = 0,21. On retrouve la formule générale V(X) = p(1 − p) = 0,3 × 0,7 = 0,21. Répondre 0,3, c'est confondre variance et espérance ; répondre 0,09, c'est s'arrêter à [E(X)]².
X prend les valeurs −1 ; 0 et 2 avec les probabilités 0,5 ; 0,2 et 0,3. Que vaut l'écart-type σ(X) ?
- A.1,3Bonne réponse
- B.1,69
- C.0,1
- D.2,86
Réponse : A — 1,3
E(X) = (−1) × 0,5 + 0 × 0,2 + 2 × 0,3 = −0,5 + 0,6 = 0,1. Puis E(X²) = 1 × 0,5 + 0 × 0,2 + 4 × 0,3 = 0,5 + 1,2 = 1,7 — attention, (−1)² = +1, jamais −1. Donc V(X) = 1,7 − 0,1² = 1,7 − 0,01 = 1,69, et σ(X) = racine de 1,69 = 1,3. Répondre 1,69, c'est donner la variance au lieu de l'écart-type : la question demandait bien σ.
Un jeu rapporte a euros avec la probabilité 0,2, et fait perdre 3 € avec la probabilité 0,8. Pour quelle valeur de a ce jeu est-il équitable ?
- A.a = 3
- B.a = 12Bonne réponse
- C.a = 15
- D.a = 0,8
Réponse : B — a = 12
Un jeu est équitable quand E(X) = 0. Ici E(X) = a × 0,2 + (−3) × 0,8 = 0,2a − 2,4. On résout 0,2a − 2,4 = 0, soit 0,2a = 2,4, donc a = 2,4/0,2 = 12 €. Vérification : 12 × 0,2 = 2,4 et 3 × 0,8 = 2,4, les deux plateaux s'équilibrent. Répondre 3, c'est croire qu'il suffit de gagner autant qu'on perd — mais comme la perte est quatre fois plus probable, le gain doit être bien plus élevé pour compenser.
Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard : rouge fait gagner 4 €, verte fait perdre 5 €. Quelle est l'espérance de gain ?
- A.−0,50 €
- B.0,40 €Bonne réponse
- C.2,00 €
- D.−1,00 €
Réponse : B — 0,40 €
Il y a 5 boules au total, donc P(rouge) = 3/5 et P(verte) = 2/5. L'espérance vaut E(X) = 4 × 3/5 + (−5) × 2/5 = 12/5 − 10/5 = 2/5 = 0,40 €. Le jeu est donc légèrement favorable au joueur. Répondre −1,00 €, c'est faire 4 − 5 sans pondérer par les probabilités : cela reviendrait à supposer les deux couleurs équiprobables, ce qui est faux ici puisqu'il y a plus de rouges que de vertes.
Pour jouer, on verse une mise de 2 €. Avec la probabilité p, on reçoit 10 € ; sinon on ne reçoit rien. Pour quelle valeur de p le jeu est-il équitable ?
- A.p = 0,25
- B.p = 0,5
- C.p = 0,2Bonne réponse
- D.p = 0,8
Réponse : C — p = 0,2
Le piège est le gain algébrique : si on gagne, on reçoit 10 € mais on a versé 2 €, donc le gain net vaut 10 − 2 = 8 €. Si on perd, le gain vaut −2 €. L'espérance est donc E(X) = 8 × p + (−2) × (1 − p) = 8p − 2 + 2p = 10p − 2. Le jeu est équitable quand E(X) = 0, soit 10p = 2, donc p = 0,2. Vérification : 8 × 0,2 = 1,6 et 2 × 0,8 = 1,6, tout s'équilibre. Répondre 0,25, c'est calculer 2/8 en oubliant que le cas « perte » a la probabilité 1 − p et non 1.
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