Lois de Newton et mouvement dans un champ
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Mouvement et interactions
Décrire un mouvement : position, vitesse, accélération
Avant de comprendre pourquoi un objet bouge, il faut savoir décrire comment il bouge. C'est le rôle de la cinématique : trois vecteurs suffisent — position, vitesse, accélération — et chacun se déduit du précédent par une dérivation par rapport au temps.
Les trois vecteurs de la cinématique
Dans un repère (O, i, j, k), la position du point G est donnée par le vecteur position OG de coordonnées (x(t) ; y(t) ; z(t)).
Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position : v = dOG/dt, de coordonnées (dx/dt ; dy/dt ; dz/dt).
Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse : a = dv/dt, de coordonnées (dvx/dt ; dvy/dt ; dvz/dt).
| Grandeur | Définition | Unité SI | Direction / sens |
|---|---|---|---|
| Vecteur position OG | Repère l'objet dans l'espace | m | De l'origine O vers G |
| Vecteur vitesse v | v = dOG/dt (dérivée de la position) | m·s⁻¹ | Toujours tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement |
| Vecteur accélération a | a = dv/dt (dérivée de la vitesse) | m·s⁻² | Tourné vers l'intérieur de la courbe ; même sens que la somme des forces |
Lire un mouvement dans les vecteurs
- Accélération nulle : le vecteur vitesse est constant (en valeur ET en direction) → mouvement rectiligne uniforme.
- Accélération colinéaire à la vitesse et de même sens : mouvement rectiligne accéléré (la valeur de v augmente).
- Accélération colinéaire à la vitesse et de sens opposé : mouvement rectiligne ralenti (freinage).
- Accélération perpendiculaire à la vitesse : la valeur de v ne change pas, seule la direction change → mouvement circulaire uniforme.
- Dans un mouvement circulaire uniforme de rayon R, l'accélération est centripète (dirigée vers le centre) et vaut a = v²/R.
Mouvement et interactions
Les trois lois de Newton et la quantité de mouvement
Newton relie le mouvement aux forces qui le provoquent. Trois lois suffisent à décrire toute la mécanique classique — de la pomme qui tombe au satellite en orbite.
Première loi : le principe d'inertie
Dans un référentiel galiléen, si la somme des forces extérieures appliquées à un système est nulle, alors son centre de masse est soit immobile, soit animé d'un mouvement rectiligne uniforme — et réciproquement. Autrement dit : le vecteur quantité de mouvement se conserve.
Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié. En pratique : le référentiel terrestre convient pour des expériences courtes de laboratoire, le référentiel géocentrique pour l'étude des satellites de la Terre, le référentiel héliocentrique pour l'étude des planètes.
Deuxième loi : le principe fondamental de la dynamique
Troisième loi : les actions réciproques
Si un corps A exerce sur un corps B une force F(A/B), alors B exerce simultanément sur A une force F(B/A) telle que :
F(A/B) = − F(B/A)
Ces deux forces ont la même valeur, la même droite d'action et des sens opposés. Elles s'exercent sur deux corps différents : elles ne se compensent donc jamais entre elles.
Exercices corrigés
Quelle est l'unité SI de la valeur du vecteur accélération ?
- A.m·s⁻¹
- B.m·s⁻²Bonne réponse
- C.N·kg⁻¹·s
- D.m²·s⁻¹
Réponse : B — m·s⁻²
L'accélération est la dérivée de la vitesse (en m·s⁻¹) par rapport au temps (en s) : on divise donc des m·s⁻¹ par des secondes, ce qui donne des m·s⁻². Le m·s⁻¹ est l'unité de la vitesse, pas de l'accélération. À noter : le N·kg⁻¹ est bien homogène à des m·s⁻² (c'est l'unité du champ de pesanteur g), mais N·kg⁻¹·s ne l'est pas.
Comment obtient-on le vecteur vitesse à partir du vecteur position ?
- A.En multipliant le vecteur position par le temps
- B.En dérivant le vecteur position par rapport au tempsBonne réponse
- C.En intégrant le vecteur position par rapport au temps
- D.En divisant le vecteur position par la masse
Réponse : B — En dérivant le vecteur position par rapport au temps
Par définition, v = dOG/dt : chaque coordonnée du vecteur vitesse est la dérivée de la coordonnée correspondante du vecteur position. On dérive une fois pour passer de la position à la vitesse, puis encore une fois pour passer de la vitesse à l'accélération. L'intégration fait le chemin inverse (de l'accélération vers la vitesse, puis vers la position).
Quelle est l'expression générale de la deuxième loi de Newton ?
- A.Somme des forces extérieures = dp/dtBonne réponse
- B.Somme des forces extérieures = p × t
- C.Somme des forces extérieures = m × v
- D.Somme des forces extérieures = 0
Réponse : A — Somme des forces extérieures = dp/dt
La forme générale de la deuxième loi relie la somme des forces extérieures à la dérivée de la quantité de mouvement : somme des F = dp/dt. Quand la masse est constante, comme p = m·v, on obtient somme des F = m·(dv/dt) = m·a. L'expression m × v est la quantité de mouvement elle-même, pas une force ; et « somme des forces = 0 » est la première loi, pas la deuxième.
Quelle est l'unité SI de la quantité de mouvement ?
- A.kg·m·s⁻²
- B.kg·m²·s⁻²
- C.kg·s⁻¹
- D.kg·m·s⁻¹Bonne réponse
Réponse : D — kg·m·s⁻¹
La quantité de mouvement est p = m·v : on multiplie une masse (kg) par une vitesse (m·s⁻¹), donc l'unité est le kg·m·s⁻¹. Attention aux pièges : kg·m·s⁻² correspond au newton (une force), et kg·m²·s⁻² correspond au joule (une énergie). Un bon réflexe : vérifie toujours l'homogénéité en repartant de la définition de la grandeur.
Un satellite décrit un cercle à vitesse de valeur constante. Que peut-on dire de son accélération ?
- A.Elle est nulle, car la vitesse ne change pas
- B.Elle est tangente à la trajectoire
- C.Elle est centripète, dirigée vers le centre du cercleBonne réponse
- D.Elle est dirigée vers l'extérieur du cercle
Réponse : C — Elle est centripète, dirigée vers le centre du cercle
C'est le piège classique du mouvement circulaire uniforme. La VALEUR de la vitesse est constante, mais sa DIRECTION change en permanence : le vecteur vitesse varie, donc l'accélération n'est pas nulle. Elle est perpendiculaire à la vitesse et dirigée vers le centre du cercle (accélération centripète), de valeur a = v²/R. Une accélération tangente ferait varier la valeur de v, ce qui n'est pas le cas ici.
Un système de masse 2,0 kg est soumis à une somme de forces de valeur 6,0 N. Quelle est la valeur de son accélération ?
- A.12 m·s⁻²
- B.0,33 m·s⁻²
- C.3,0 m·s⁻²Bonne réponse
- D.8,0 m·s⁻²
Réponse : C — 3,0 m·s⁻²
La deuxième loi de Newton donne somme des F = m·a, donc a = F/m = 6,0 / 2,0 = 3,0 m·s⁻². Répondre 12 m·s⁻² revient à multiplier au lieu de diviser (6,0 × 2,0), et 0,33 m·s⁻² correspond au rapport inversé m/F = 2,0/6,0. Vérifie l'homogénéité : des N divisés par des kg donnent bien des m·s⁻², puisque 1 N = 1 kg·m·s⁻².
La valeur de la vitesse d'un mobile en mouvement rectiligne s'écrit v(t) = 4t² (en m·s⁻¹, t en s). Que vaut l'accélération à l'instant t = 2,0 s ?
- A.8,0 m·s⁻²
- B.16 m·s⁻²Bonne réponse
- C.32 m·s⁻²
- D.4,0 m·s⁻²
Réponse : B — 16 m·s⁻²
L'accélération est la dérivée de la vitesse : a(t) = dv/dt = 8t. À t = 2,0 s, on obtient a = 8 × 2,0 = 16 m·s⁻². Répondre 32 m·s⁻² revient à calculer v(2,0) = 4 × 4 = 16… puis à confondre vitesse et accélération, ou à dériver de travers. Retiens la règle : la dérivée de t² est 2t, donc la dérivée de 4t² est 8t.
Sur une chronophotographie, les positions successives d'un mobile sont enregistrées toutes les τ = 40 ms. On mesure sur l'axe du mouvement : x1 = 0,10 m et x3 = 0,26 m. Quelle est la vitesse estimée au point M2 ?
- A.4,0 m·s⁻¹
- B.0,80 m·s⁻¹
- C.2,0 m·s⁻¹Bonne réponse
- D.6,5 m·s⁻¹
Réponse : C — 2,0 m·s⁻¹
On utilise l'encadrement v2 ≈ M1M3 / (2τ). Ici M1M3 = 0,26 − 0,10 = 0,16 m et 2τ = 2 × 0,040 = 0,080 s. Donc v2 = 0,16 / 0,080 = 2,0 m·s⁻¹. L'erreur la plus fréquente est d'oublier le facteur 2 au dénominateur : on trouverait alors 0,16/0,040 = 4,0 m·s⁻¹, soit le double de la bonne valeur. Le déplacement M1M3 correspond bien à DEUX intervalles de temps.
Sur un banc à coussin d'air, un mobile A (m = 0,20 kg, v = 3,0 m·s⁻¹) percute un mobile B (m = 0,40 kg) immobile. Après le choc, ils restent accrochés. Quelle est leur vitesse commune ?
- A.1,0 m·s⁻¹Bonne réponse
- B.1,5 m·s⁻¹
- C.3,0 m·s⁻¹
- D.0,60 m·s⁻¹
Réponse : A — 1,0 m·s⁻¹
Le système {A + B} est pseudo-isolé horizontalement (le poids est compensé par le coussin d'air, les frottements sont négligés) : la quantité de mouvement se conserve. Avant le choc : p = 0,20 × 3,0 + 0,40 × 0 = 0,60 kg·m·s⁻¹. Après : p = (0,20 + 0,40) × v = 0,60 × v. On en déduit 0,60 × v = 0,60, donc v = 1,0 m·s⁻¹. Répondre 1,5 m·s⁻¹ reviendrait à diviser la vitesse initiale par 2 en oubliant que les masses ne sont pas égales.
Une bille décrit un cercle de rayon R = 2,0 m à la vitesse constante v = 4,0 m·s⁻¹. Quelle est la valeur de son accélération ?
- A.2,0 m·s⁻²
- B.16 m·s⁻²
- C.0 m·s⁻²
- D.8,0 m·s⁻²Bonne réponse
Réponse : D — 8,0 m·s⁻²
Dans un mouvement circulaire uniforme, l'accélération est centripète et vaut a = v²/R. Ici a = (4,0)² / 2,0 = 16 / 2,0 = 8,0 m·s⁻². Répondre 16 m·s⁻² revient à oublier de diviser par le rayon, et 2,0 m·s⁻² à calculer v/R au lieu de v²/R. Enfin, répondre 0 serait le piège du « uniforme donc pas d'accélération » : la direction de la vitesse change en permanence.
Une balle de masse 0,15 kg arrive sur un mur à 20 m·s⁻¹ et rebondit à 10 m·s⁻¹ en sens opposé. Le contact dure 0,050 s. Quelle est la valeur de la force moyenne exercée par le mur ?
- A.30 N
- B.90 NBonne réponse
- C.60 N
- D.1,5 N
Réponse : B — 90 N
On applique la deuxième loi sous sa forme générale : F moyenne = Δp/Δt. En orientant l'axe dans le sens de la vitesse initiale, la vitesse passe de +20 m·s⁻¹ à −10 m·s⁻¹. La variation de vitesse vaut donc (−10) − (+20) = −30 m·s⁻¹ (et non 10 !). D'où Δp = 0,15 × (−30) = −4,5 kg·m·s⁻¹, puis F = 4,5 / 0,050 = 90 N en valeur, dirigée à l'opposé du mouvement initial. Répondre 30 N vient de l'erreur classique : calculer 20 − 10 = 10 au lieu de tenir compte du changement de sens.
Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un système est nulle. Que peut-on affirmer ?
- A.Le système est forcément immobile
- B.Le système ralentit progressivement
- C.Le centre de masse est immobile ou en mouvement rectiligne uniformeBonne réponse
- D.Le système a une accélération constante non nulle
Réponse : C — Le centre de masse est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme
C'est le principe d'inertie (première loi de Newton). Si la somme des forces est nulle, l'accélération est nulle, donc le vecteur vitesse est constant : soit il est nul (repos), soit il est constant en direction, sens et valeur (mouvement rectiligne uniforme). Dire « forcément immobile » est l'erreur la plus fréquente : un palet qui glisse sans frottement continue tout droit à vitesse constante, sans aucune force résultante.
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