Modèle du circuit électrique et condensateur

Exercices corrigés

1. Quelle est l'unité de la capacité d'un condensateur ?

   • A.Le coulomb (C)
   • B.Le farad (F)Bonne réponse
   • C.L'ohm (Ω)
   • D.Le volt (V)

   Réponse : B — Le farad (F)

   La capacité s'exprime en farads (F). La relation q = C·u le montre : le farad correspond à des coulombs par volt. Le coulomb est l'unité de la charge q, le volt celle de la tension u. En pratique, les condensateurs de laboratoire ont des capacités de l'ordre du microfarad (1 µF = 10⁻⁶ F), car le farad est une unité énorme.

2. Quelle relation lie la charge q d'un condensateur à la tension u à ses bornes ?

   • A.q = u / C
   • B.q = C / u
   • C.q = C × uBonne réponse
   • D.q = C × u²

   Réponse : C — q = C × u

   La charge est proportionnelle à la tension : q = C × u, avec q en coulombs, C en farads et u en volts. Plus la tension appliquée est grande, plus le condensateur accumule de charges. Attention à ne pas confondre avec l'énergie stockée, qui vaut 0,5·C·u² : elle, dépend bien du carré de la tension.

3. En régime permanent (condensateur complètement chargé), que vaut l'intensité du courant dans la branche du condensateur ?

   • A.Elle est nulleBonne réponse
   • B.Elle est maximale
   • C.Elle vaut E/R
   • D.Elle vaut C × E

   Réponse : A — Elle est nulle

   En régime permanent, la tension u(C) ne varie plus. Or i = C × du/dt : si du/dt = 0, alors i = 0. Le condensateur se comporte donc comme un interrupteur ouvert. L'intensité E/R est au contraire celle du tout début de la charge (t = 0), quand u(C) est encore nulle et que toute la tension se retrouve aux bornes de la résistance.

4. Quelle est l'expression de la constante de temps d'un circuit RC ?

   • A.τ = R / C
   • B.τ = C / R
   • C.τ = R + C
   • D.τ = R × CBonne réponse

   Réponse : D — τ = R × C

   La constante de temps vaut τ = R × C, et s'exprime en secondes. On peut le vérifier par homogénéité : un ohm est des V/A et un farad des A·s/V, donc Ω × F = s. Retiens-en le sens physique : augmenter R (le courant de charge est plus faible) ou augmenter C (il y a plus de charges à accumuler) ralentit la charge dans les deux cas.

5. Quelle est la relation courant-tension d'un conducteur ohmique de résistance R, en convention récepteur ?

   • A.u = R × iBonne réponse
   • B.u = R / i
   • C.u = i / R
   • D.u = R × i²

   Réponse : A — u = R × i

   La loi d'Ohm s'écrit u = R × i, avec u en volts, R en ohms et i en ampères. L'expression R × i², elle, correspond à la PUISSANCE dissipée par effet Joule, en watts — c'est une grandeur différente. Un contrôle utile : la caractéristique u = f(i) d'un conducteur ohmique est une droite passant par l'origine, de coefficient directeur R.

6. Comment s'exprime la tension aux bornes d'une source réelle de f.é.m. E et de résistance interne r, traversée par un courant i ?

   • A.u = E + r·i
   • B.u = E − r·iBonne réponse
   • C.u = E × r·i
   • D.u = r·i − E

   Réponse : B — u = E − r·i

   Le modèle de la source réelle donne u = E − r·i. Le signe moins traduit un fait bien connu : plus la source débite de courant, plus la tension disponible à ses bornes chute, à cause des pertes internes par effet Joule. Quand i = 0 (circuit ouvert), on retrouve u = E : la f.é.m. est la tension à vide, c'est d'ailleurs ainsi qu'on la mesure au voltmètre.

7. Un condensateur de capacité 100 µF est chargé sous une tension de 12 V. Quelle est la charge accumulée ?

   • A.1,2 × 10⁻³ CBonne réponse
   • B.1,2 × 10³ C
   • C.8,3 × 10⁻⁶ C
   • D.1,2 × 10⁻⁶ C

   Réponse : A — 1,2 × 10⁻³ C

   On applique q = C × u, après avoir converti la capacité : 100 µF = 100 × 10⁻⁶ F = 1,0 × 10⁻⁴ F. Donc q = 1,0 × 10⁻⁴ × 12 = 1,2 × 10⁻³ C, soit 1,2 mC. L'erreur classique est d'oublier la conversion des microfarads, ou de diviser au lieu de multiplier (ce qui donnerait 8,3 × 10⁻⁶). Pense toujours à convertir en unités SI AVANT de calculer.

8. Un condensateur de 100 µF est chargé à travers une résistance de 10 kΩ. Quelle est la constante de temps du circuit ?

   • A.1,0 ms
   • B.1,0 sBonne réponse
   • C.100 s
   • D.0,10 s

   Réponse : B — 1,0 s

   Il faut d'abord tout convertir : R = 10 kΩ = 1,0 × 10⁴ Ω et C = 100 µF = 1,0 × 10⁻⁴ F. Ensuite τ = R × C = 1,0 × 10⁴ × 1,0 × 10⁻⁴ = 1,0 s (les puissances de 10 se compensent exactement : 4 + (−4) = 0). Toute la difficulté est dans les conversions — c'est là que se jouent la plupart des erreurs de ce chapitre.

9. Une pile de f.é.m. 12 V et de résistance interne 2,0 Ω débite un courant de 0,50 A. Quelle est la tension à ses bornes ?

   • A.13 V
   • B.11 VBonne réponse
   • C.12 V
   • D.10 V

   Réponse : B — 11 V

   On applique u = E − r·i = 12 − 2,0 × 0,50 = 12 − 1,0 = 11 V. Répondre 13 V vient d'une erreur de signe (on ajouterait la chute de tension au lieu de la retrancher), ce qui est physiquement impossible : une source réelle délivre toujours MOINS que sa f.é.m. dès qu'elle débite. Et 12 V correspondrait au cas idéal r = 0.

10. À quel instant l'intensité du courant est-elle maximale lors de la charge d'un condensateur initialement déchargé ?

    • A.À l'instant initial t = 0Bonne réponse
    • B.À l'instant t = τ
    • C.En régime permanent
    • D.À l'instant t = 5τ

    Réponse : A — À l'instant initial t = 0

    À t = 0, le condensateur est déchargé donc u(C) = 0, et la loi des mailles donne u(R) = E : toute la tension de la source se retrouve aux bornes de la résistance. L'intensité vaut alors i = E/R, sa valeur maximale. Ensuite, u(C) augmente, u(R) diminue, et i décroît exponentiellement jusqu'à s'annuler en régime permanent. C'est exactement le contraire de l'intuition de beaucoup d'élèves.

11. Quelle est l'équation différentielle vérifiée par u(C) lors de la charge d'un condensateur à travers une résistance R sous une f.é.m. E ?

    • A.R·C·du(C)/dt + u(C) = EBonne réponse
    • B.R·C·du(C)/dt = 0
    • C.du(C)/dt + R·C·u(C) = E
    • D.R·C·u(C) + du(C)/dt = 0

    Réponse : A — R·C·du(C)/dt + u(C) = E

    On part de la loi des mailles : E = u(R) + u(C), avec u(R) = R·i et i = C·du(C)/dt. En substituant : E = R·C·du(C)/dt + u(C). Attention à la place du produit RC : il multiplie la DÉRIVÉE, pas la fonction elle-même — c'est ce qui garantit l'homogénéité de l'équation (RC est en secondes, du/dt en V·s⁻¹, le produit donne bien des volts). L'équation sans second membre correspondrait à la décharge.

12. Une pile de résistance interne r = 2,0 Ω débite un courant de 0,50 A. Quelle puissance est dissipée par effet Joule à l'intérieur de la pile ?

    • A.1,0 W
    • B.4,0 W
    • C.0,25 W
    • D.0,50 WBonne réponse

    Réponse : D — 0,50 W

    La puissance dissipée dans la résistance interne vaut P = r × i² = 2,0 × (0,50)² = 2,0 × 0,25 = 0,50 W. Répondre 1,0 W revient à calculer r × i au lieu de r × i² : c'est l'erreur la plus fréquente, car on oublie que la puissance dépend du carré de l'intensité. Ce sont ces 0,50 W qui échauffent la pile et expliquent qu'une batterie chauffe quand elle débite beaucoup.