Lunette astronomique et systèmes optiques
Terminale · Physique-Chimie · Ondes et signaux
Ondes et signaux
Les lentilles minces convergentes : les outils de base
Une lunette astronomique n'est rien d'autre que deux lentilles convergentes bien placées l'une derrière l'autre. Avant de l'étudier, il faut donc maîtriser l'objet élémentaire : la lentille mince convergente, plus épaisse au centre qu'au bord, qui fait converger un faisceau de lumière parallèle.
Construire une image : trois rayons suffisent
- Le rayon issu de B parallèle à l'axe optique émerge en passant par le foyer image F'.
- Le rayon issu de B passant par le centre optique O n'est pas dévié.
- Le rayon issu de B passant par le foyer objet F émerge parallèle à l'axe optique.
- Les rayons émergents se coupent en B', image de B. On projette ensuite sur l'axe pour obtenir A'.
| Position de l'objet | Position de l'image | Nature | Sens | Exemple d'usage |
|---|---|---|---|---|
| À l'infini | Dans le plan focal image (OA' = f') | réelle | renversée | objectif de lunette, téléobjectif |
| Avant F, à plus de 2f' de O | Entre F' et 2f' | réelle | renversée | appareil photo |
| En F (au foyer objet) | À l'infini | aucune image à distance finie | — | oculaire, collimateur |
| Entre F et O | Du même côté que l'objet | virtuelle | droite et agrandie | loupe |
Ondes et signaux
La lunette astronomique afocale
Observer Jupiter à l'œil nu, c'est voir un point : la planète est vue sous un angle apparent minuscule. Le rôle d'une lunette n'est pas de « rapprocher » l'objet, mais d'augmenter l'angle sous lequel il est vu. Elle est constituée de deux lentilles convergentes : l'objectif, de grande distance focale f'₁, tourné vers le ciel, et l'oculaire, de courte distance focale f'₂, côté œil.
Le trajet de la lumière, en deux temps
1. L'objectif reçoit un faisceau de rayons parallèles entre eux, inclinés de l'angle θ (le diamètre apparent de l'astre). Comme l'objet est à l'infini, il en forme une image réelle A₁B₁ dans son plan focal image. Cette image intermédiaire est petite mais bien réelle : c'est elle qu'on photographie en astrophotographie. Sa taille vaut, pour de petits angles :
A₁B₁ = f'₁ × θ (θ en radians)
2. L'oculaire reçoit cette image intermédiaire, qui se trouve exactement dans son plan focal objet. Il en donne donc une image à l'infini, vue par l'œil sous un angle θ' plus grand.
Exercices corrigés
Quelle expression donne le grossissement G d'une lunette afocale, avec f'₁ la focale de l'objectif et f'₂ celle de l'oculaire ?
- A.G = f'₂ / f'₁
- B.G = f'₁ × f'₂
- C.G = f'₁ + f'₂
- D.G = f'₁ / f'₂Bonne réponse
Réponse : D — G = f'₁ / f'₂
Le grossissement vaut G = θ'/θ = f'₁/f'₂ : la focale de l'objectif au numérateur, celle de l'oculaire au dénominateur. Un contrôle immédiat : comme l'objectif a une grande focale et l'oculaire une petite, ce rapport est supérieur à 1, ce qui est indispensable pour grossir. L'option f'₂/f'₁ donnerait un nombre inférieur à 1, donc une image plus petite qu'à l'œil nu. La somme f'₁ + f'₂ n'est pas le grossissement mais la LONGUEUR de la lunette.
Cette même lunette (objectif 900 mm, oculaire 20 mm) est réglée en système afocal. Quelle est la distance entre les centres optiques des deux lentilles ?
- A.900 mm
- B.880 mm
- C.45 mm
- D.920 mmBonne réponse
Réponse : D — 920 mm
La condition afocale impose que le foyer image de l'objectif F'₁ soit confondu avec le foyer objet de l'oculaire F₂. En parcourant l'axe optique depuis O₁, on avance de f'₁ pour atteindre ce point commun, puis encore de f'₂ pour atteindre O₂. D'où O₁O₂ = f'₁ + f'₂ = 900 + 20 = 920 mm, soit 92 cm. La soustraction (880 mm) correspondrait à un oculaire divergent, qui n'est pas le modèle étudié. Et 45 mm est le grossissement, un nombre sans unité qu'on ne peut pas exprimer en millimètres.
Une lentille convergente de distance focale f' = 20 cm forme l'image d'un objet AB situé 60 cm avant elle. Où se forme l'image ?
- A.80 cm après la lentille
- B.15 cm après la lentille
- C.30 cm après la lentilleBonne réponse
- D.40 cm avant la lentille
Réponse : C — 30 cm après la lentille
L'objet est réel donc OA = −60 cm, et f' = +20 cm. La relation de conjugaison 1/OA' − 1/OA = 1/f' donne 1/OA' = 1/f' + 1/OA = 1/20 − 1/60. On réduit au même dénominateur : 3/60 − 1/60 = 2/60 = 1/30, donc OA' = +30 cm. Vérification : 1/30 − 1/(−60) = 1/30 + 1/60 = 2/60 + 1/60 = 3/60 = 1/20, on retrouve bien 1/f'. Le résultat étant positif, l'image est réelle et se forme 30 cm APRÈS la lentille. L'option 80 cm vient d'une addition directe des distances, ce que la relation de conjugaison interdit : on additionne des inverses.
Dans la situation précédente (OA = −60 cm, OA' = +30 cm), que vaut le grandissement et que peut-on dire de l'image ?
- A.γ = +0,5 : image droite et réduite
- B.γ = −0,5 : image renversée et deux fois plus petiteBonne réponse
- C.γ = −2 : image renversée et deux fois plus grande
- D.γ = +2 : image droite et deux fois plus grande
Réponse : B — γ = −0,5 : image renversée et deux fois plus petite
Le grandissement vaut γ = OA'/OA = 30/(−60) = −0,5. Le signe négatif indique que l'image est RENVERSÉE, et la valeur absolue 0,5 qu'elle est deux fois plus petite que l'objet. Comme OA' est positif, l'image est de plus réelle : on peut la recueillir sur un écran. C'est exactement ce que fait l'objectif d'un appareil photo, qui projette sur le capteur une image renversée et réduite du paysage. Oublier le signe de OA conduit à γ = +0,5 et à conclure à tort que l'image est droite.
Une lentille a une vergence C = 5,0 δ. Quelle est sa distance focale ?
- A.20 cmBonne réponse
- B.5,0 cm
- C.0,20 cm
- D.50 cm
Réponse : A — 20 cm
De C = 1/f' on tire f' = 1/C = 1/5,0 = 0,20 m, soit 20 cm. Attention, le résultat de l'inversion est en MÈTRES, puisque la dioptrie est l'inverse du mètre : il faut ensuite convertir en centimètres. Vérification : une lentille de 0,20 m a bien une vergence de 1/0,20 = 5,0 δ. L'option 5,0 cm consiste à recopier la valeur numérique de la vergence en lui collant une unité de longueur, et 0,20 cm oublie la conversion mètre-centimètre.
Une lunette de grossissement G = 50 vise une planète dont le diamètre apparent à l'œil nu est θ = 2,0 × 10⁻⁴ rad. Sous quel angle voit-on la planète dans l'instrument ?
- A.4,0 × 10⁻⁶ rad
- B.2,0 × 10⁻⁴ rad
- C.5,0 × 10⁻³ rad
- D.1,0 × 10⁻² radBonne réponse
Réponse : D — 1,0 × 10⁻² rad
Par définition G = θ'/θ, donc θ' = G × θ = 50 × 2,0 × 10⁻⁴ = 1,0 × 10⁻² rad. Deuxième calcul : 50 × 2,0 = 100, et 100 × 10⁻⁴ = 10⁻² rad. L'angle apparent est donc cinquante fois plus grand, soit environ 0,57° : la planète devient un petit disque au lieu d'un point. L'option 4,0 × 10⁻⁶ rad correspond à une division par G, ce qui reviendrait à rapetisser l'objet, et 2,0 × 10⁻⁴ rad à ne rien faire du tout.
L'objectif d'une lunette a une distance focale f'₁ = 1,20 m. Il vise un astre de diamètre apparent θ = 1,0 × 10⁻³ rad. Quelle est la taille de l'image intermédiaire ?
- A.1,2 m
- B.1,2 mmBonne réponse
- C.1,2 cm
- D.0,83 mm
Réponse : B — 1,2 mm
Pour un petit angle, la taille de l'image formée dans le plan focal image vaut A₁B₁ = f'₁ × θ = 1,20 × 1,0 × 10⁻³ = 1,2 × 10⁻³ m, soit 1,2 mm. Deuxième lecture : multiplier une longueur en mètres par un angle en radians donne bien une longueur en mètres, et 10⁻³ m se lit directement en millimètres. Ce résultat minuscule explique pourquoi l'oculaire est indispensable : il joue le rôle de loupe sur cette petite image. L'option 0,83 mm correspond au rapport θ/f'₁ mal utilisé, et n'a pas la bonne dimension.
On veut construire une lunette de grossissement 60 avec un objectif de distance focale 1,2 m. Quelle doit être la distance focale de l'oculaire ?
- A.72 mm
- B.50 mm
- C.12 mm
- D.20 mmBonne réponse
Réponse : D — 20 mm
De G = f'₁/f'₂ on tire f'₂ = f'₁/G = 1,2/60 = 0,020 m, soit 20 mm. Deuxième vérification : avec f'₂ = 20 mm = 0,020 m, on a bien G = 1,2/0,020 = 60. L'option 72 mm est le produit 1,2 × 60 exprimé en unités mal converties, ce qui donnerait au contraire une lunette de grossissement inférieur à 1. Contrôle de vraisemblance : un oculaire doit avoir une focale de quelques millimètres à quelques centimètres, ce qui est le cas de 20 mm.
Sur une lunette, on remplace l'oculaire par un autre dont la distance focale est deux fois plus grande. Que deviennent le grossissement et la longueur de l'instrument ?
- A.Le grossissement double, la longueur diminue
- B.Le grossissement double, la longueur augmente légèrement
- C.Le grossissement est inchangé, la longueur augmente
- D.Le grossissement est divisé par 2, la longueur augmente légèrementBonne réponse
Réponse : D — Le grossissement est divisé par 2, la longueur augmente légèrement
Dans G = f'₁/f'₂, la focale de l'oculaire est au dénominateur : la doubler divise donc le grossissement par 2. C'est le principe même de la boîte d'oculaires d'un astronome amateur : plus l'oculaire est court, plus on grossit. Quant à la longueur O₁O₂ = f'₁ + f'₂, elle augmente de f'₂, donc légèrement, puisque f'₂ est très petite devant f'₁. Exemple : avec f'₁ = 900 mm, passer d'un oculaire de 10 mm à un de 20 mm fait chuter G de 90 à 45, et allonge la lunette de 910 à 920 mm seulement.
On construit une seconde lunette afocale en doublant à la fois la focale de l'objectif et celle de l'oculaire. Que deviennent son grossissement et sa longueur ?
- A.Grossissement doublé, longueur doublée
- B.Grossissement doublé, longueur inchangée
- C.Grossissement inchangé, longueur doubléeBonne réponse
- D.Grossissement multiplié par 4, longueur doublée
Réponse : C — Grossissement inchangé, longueur doublée
Le grossissement vaut G = f'₁/f'₂. En remplaçant f'₁ par 2f'₁ et f'₂ par 2f'₂ : G' = 2f'₁/(2f'₂) = f'₁/f'₂ = G. Les deux facteurs 2 se simplifient, le grossissement est donc inchangé. La longueur, elle, est une SOMME : O₁O₂ devient 2f'₁ + 2f'₂ = 2(f'₁ + f'₂), donc elle double. Exemple concret : passer d'un couple 900/20 mm à un couple 1800/40 mm garde G = 45 mais fait passer l'instrument de 92 cm à 1,84 m. C'est le réflexe à avoir : un rapport est insensible à une multiplication commune, une somme ne l'est pas.
Un rayon lumineux arrive sur une lentille mince convergente parallèlement à l'axe optique. Que devient-il après la lentille ?
- A.Il passe par le foyer image F'Bonne réponse
- B.Il passe par le foyer objet F
- C.Il n'est pas dévié
- D.Il ressort parallèle à lui-même
Réponse : A — Il passe par le foyer image F'
C'est la définition même du foyer image : tous les rayons arrivant parallèlement à l'axe optique convergent en F' après la lentille. Le foyer objet F sert au trajet inverse : c'est le rayon qui PASSE par F avant la lentille qui ressort parallèle à l'axe. Le seul rayon non dévié est celui qui passe par le centre optique O. Retenir ces trois rayons particuliers permet de construire n'importe quelle image.
Quelle est l'unité de la vergence d'une lentille ?
- A.Le mètre (m)
- B.La dioptrie (δ)Bonne réponse
- C.Le radian (rad)
- D.Elle n'a pas d'unité
Réponse : B — La dioptrie (δ)
La vergence est définie par C = 1/f' avec f' en mètres : son unité est donc l'inverse du mètre, à laquelle on donne le nom de dioptrie (symbole δ). C'est l'unité que tu lis sur une ordonnance d'ophtalmologiste. Le mètre est l'unité de la distance focale, pas de la vergence. Le grandissement γ et le grossissement G, eux, sont bien sans unité, mais ce sont d'autres grandeurs.
S'entraîner sur ce chapitre
Ce chapitre compte 36 exercices corrigés dans l'application, avec le suivi de ta progression.
Commencer les exercices