Combinatoire et dénombrement
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Algèbre et géométrie
Compter sans énumérer : listes, arrangements, permutations
Dénombrer, c'est compter le nombre d'éléments d'un ensemble fini sans les écrire un par un. Tout le chapitre repose sur une seule question, à se poser avant chaque calcul : est-ce que l'ordre compte ? et est-ce qu'on peut répéter un élément ? Les quatre réponses possibles donnent les quatre formules du programme. Ce chapitre est aussi le socle de la loi binomiale : les coefficients binomiaux que tu vas manipuler ici réapparaîtront en probabilités.
Les k-uplets : l'ordre compte, les répétitions sont permises
Arrangements et permutations : l'ordre compte, plus de répétition
| Situation | L'ordre compte ? | Répétitions ? | Formule | Exemple type |
|---|---|---|---|---|
| k-uplet (k-liste) | Oui | Oui | n^k | Codes, tirages successifs AVEC remise |
| Arrangement de k éléments | Oui | Non | n × (n-1) × … × (n-k+1) = n!/(n-k)! | Podium, tirages successifs SANS remise |
| Permutation (k = n) | Oui | Non | n! | Anagrammes de lettres distinctes, rangements |
| Combinaison de k éléments | Non | Non | coefficient binomial (n parmi k) | Mains de cartes, comités, tirages simultanés |
Algèbre et géométrie
Combinaisons et coefficients binomiaux
Quand on tire des objets tous en même temps, l'ordre du tirage n'a plus aucune importance : la main {as de pique, roi de cœur} est la même que la main {roi de cœur, as de pique}. On compte alors des combinaisons, et les nombres obtenus s'appellent les coefficients binomiaux.
Les propriétés à connaître par cœur
- Valeurs immédiates : (n parmi 0) = 1 (l'ensemble vide), (n parmi n) = 1, (n parmi 1) = n, (n parmi n-1) = n.
- Symétrie : (n parmi k) = (n parmi n-k). Choisir les k qu'on prend revient à choisir les n-k qu'on laisse.
- Relation de Pascal : (n parmi k) + (n parmi k+1) = (n+1 parmi k+1). C'est la règle de construction du triangle de Pascal : chaque case est la somme des deux cases au-dessus.
- Somme d'une ligne : (n parmi 0) + (n parmi 1) + … + (n parmi n) = 2^n. Logique : en additionnant les parties de 0 élément, 1 élément, … on retrouve TOUTES les parties de l'ensemble.
| n | k=0 | k=1 | k=2 | k=3 | k=4 | k=5 | Somme = 2^n |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | |||||
| 1 | 1 | 1 | 2 | ||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | 4 | |||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | 8 | ||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 16 | |
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | 32 |
Exercices corrigés
Combien vaut 5! ?
- A.720
- B.120Bonne réponse
- C.60
- D.25
Réponse : B — 120
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1. On calcule pas à pas : 5 × 4 = 20, 20 × 3 = 60, 60 × 2 = 120, 120 × 1 = 120. Donc 5! = 120. Attention : 720 c'est 6!, et 25 c'est 5², rien à voir avec une factorielle.
Combien de parties (sous-ensembles) possède un ensemble E à 6 éléments ?
- A.64Bonne réponse
- B.12
- C.36
- D.720
Réponse : A — 64
Pour construire une partie de E, on décide pour chacun des 6 éléments s'il est dedans ou dehors : 2 possibilités pour chacun, donc 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2^6 = 64 parties (l'ensemble vide et E lui-même compris). Le distracteur 36 vient de 6², et 720 de 6! : ni l'un ni l'autre ne compte des parties.
Dans une classe de 30 élèves, on désigne un délégué puis un suppléant, forcément deux élèves différents. Combien de choix possibles ?
- A.900
- B.870Bonne réponse
- C.435
- D.60
Réponse : B — 870
Les deux rôles sont différents, donc l'ordre compte, et une même personne ne peut pas occuper les deux places : c'est un arrangement de 2 éléments parmi 30, soit 30 × 29 = 870. Le distracteur 900 = 30² oublie que le suppléant doit être différent du délégué, et 435 = 870/2 serait la réponse si les deux rôles étaient interchangeables (une combinaison).
Un jury doit attribuer une médaille d'or, une d'argent et une de bronze à 3 athlètes différents parmi 8 finalistes. Combien de podiums possibles ?
- A.24
- B.336Bonne réponse
- C.56
- D.512
Réponse : B — 336
Les trois médailles sont différentes, donc l'ordre compte, et un athlète ne peut pas recevoir deux médailles : c'est un arrangement de 3 éléments parmi 8, soit 8 × 7 × 6 = 336. Le distracteur 56 est (8 parmi 3) : ce serait la réponse si on choisissait simplement 3 athlètes sans les classer. Et 512 = 8^3 supposerait qu'un athlète puisse rafler plusieurs médailles.
En utilisant la relation de Pascal, à quoi est égale la somme (7 parmi 3) + (7 parmi 4) ?
- A.(14 parmi 7) = 3432
- B.(8 parmi 4) = 70Bonne réponse
- C.(7 parmi 7) = 1
- D.(8 parmi 3) = 56
Réponse : B — (8 parmi 4) = 70
La relation de Pascal s'écrit (n parmi k) + (n parmi k+1) = (n+1 parmi k+1). Ici n = 7 et k = 3, donc la somme vaut (8 parmi 4). Vérifions numériquement : (7 parmi 3) = 35 et (7 parmi 4) = 35 (par symétrie), donc la somme fait 70 ; et (8 parmi 4) = (8 × 7 × 6 × 5)/(4 × 3 × 2 × 1) = 1680/24 = 70. Le distracteur (8 parmi 3) = 56 vient d'une mauvaise mémorisation : c'est bien n+1 en haut ET k+1 en bas.
Un club compte 5 filles et 4 garçons. Combien de comités de 3 personnes comportant exactement 2 filles peut-on former ?
- A.40Bonne réponse
- B.30
- C.60
- D.84
Réponse : A — 40
Un comité n'est pas ordonné : ce sont des combinaisons. On choisit 2 filles parmi 5 : (5 parmi 2) = (5 × 4)/2 = 10. Puis 1 garçon parmi 4 : (4 parmi 1) = 4. Les deux choix se font l'un ET l'autre, donc on multiplie : 10 × 4 = 40. Le distracteur 84 = (9 parmi 3) est le nombre TOTAL de comités de 3 personnes, sans la contrainte sur les filles.
Combien existe-t-il de nombres entiers à 5 chiffres dont tous les chiffres sont différents (le premier chiffre ne peut pas être 0) ?
- A.30240
- B.15120
- C.27216Bonne réponse
- D.90000
Réponse : C — 27216
On commence par la contrainte la plus forte : le chiffre des dizaines de mille est non nul, donc 9 possibilités (1 à 9). Il reste ensuite à placer 4 chiffres distincts parmi les 9 chiffres encore disponibles (les 10 chiffres moins celui déjà utilisé, le 0 étant maintenant autorisé) : 9 × 8 × 7 × 6 = 3024. Total : 9 × 3024 = 27 216. Le distracteur 30 240 = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 oublie d'interdire le 0 en tête, et 90 000 est le nombre total de nombres à 5 chiffres sans contrainte de distinction.
Toujours dans un jeu de 52 cartes (4 rois), on tire 5 cartes simultanément. On donne (52 parmi 5) = 2 598 960, (48 parmi 5) = 1 712 304 et (48 parmi 4) = 194 580. Combien de mains contiennent au moins 2 rois ?
- A.108336Bonne réponse
- B.778320
- C.886656
- D.103776
Réponse : A — 108336
Le contraire de « au moins 2 rois » est « 0 ou 1 roi », deux cas disjoints qu'on additionne. Zéro roi : (48 parmi 5) = 1 712 304. Exactement un roi : on choisit le roi de (4 parmi 1) = 4 façons, puis 4 cartes parmi les 48 non-rois, soit 4 × 194 580 = 778 320. Le contraire pèse donc 1 712 304 + 778 320 = 2 490 624 mains. Réponse : 2 598 960 - 2 490 624 = 108 336. Le distracteur 886 656 correspond à « au moins un roi », qui inclut les mains à un seul roi.
Un comité de 4 personnes est formé dans un groupe de 6 femmes et 5 hommes. Combien de comités comportent au moins une femme ET au moins un homme ?
- A.300
- B.330
- C.315
- D.310Bonne réponse
Réponse : D — 310
On part du total et on retire les deux cas interdits, qui sont disjoints. Total : (11 parmi 4) = (11 × 10 × 9 × 8)/(4 × 3 × 2 × 1) = 7920/24 = 330. Comités 100 % féminins : (6 parmi 4) = (6 parmi 2) = 15. Comités 100 % masculins : (5 parmi 4) = 5. Donc 330 - 15 - 5 = 310. L'erreur classique est de n'enlever qu'un seul des deux cas (on obtient alors 315 ou 325), ou d'oublier que « au moins une femme et au moins un homme » exclut LES DEUX extrêmes.
A est un ensemble à 4 éléments et B un ensemble à 5 éléments. Combien d'éléments compte le produit cartésien A × B ?
- A.9
- B.45
- C.20Bonne réponse
- D.54
Réponse : C — 20
Un élément de A × B est un couple (a ; b) avec a dans A et b dans B. On choisit a de 4 façons, puis b de 5 façons : d'après le principe multiplicatif, card(A × B) = 4 × 5 = 20. Le piège est de répondre 9 en additionnant : on additionne les cardinaux pour une RÉUNION d'ensembles disjoints, pas pour un produit cartésien.
Combien de codes à 4 chiffres peut-on former avec les chiffres de 0 à 9, les répétitions étant autorisées ?
- A.40
- B.210
- C.5040
- D.10000Bonne réponse
Réponse : D — 10000
Un code est une liste ORDONNÉE de 4 chiffres, avec répétitions possibles : c'est un 4-uplet d'un ensemble à n = 10 éléments. Il y en a n^k = 10^4 = 10 000. Le distracteur 5040 correspond à 10 × 9 × 8 × 7, c'est-à-dire au cas où les 4 chiffres devraient être tous différents.
Combien d'anagrammes (mots ayant un sens ou non) peut-on former avec les 4 lettres du mot MOTS, toutes différentes ?
- A.24Bonne réponse
- B.16
- C.12
- D.4
Réponse : A — 24
Une anagramme est un rangement complet des 4 lettres distinctes dans un certain ordre : c'est une permutation de 4 éléments. Il y en a 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Le distracteur 16 correspond à 4^2 et 12 à 4 × 3 : ce sont des formules d'arrangements incomplets.
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