Produit scalaire dans l'espace
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Algèbre et géométrie
Le produit scalaire : définitions et calcul
Avec les vecteurs, tu sais déjà décrire des directions. Le produit scalaire ajoute la mesure : longueurs, angles, et surtout orthogonalité. C'est l'outil qui transforme un problème de géométrie dans l'espace en un simple calcul. À une condition impérative, valable dans tout ce chapitre : les coordonnées doivent être données dans un repère orthonormé.
Les propriétés de calcul
| Propriété | Écriture | Utilité |
|---|---|---|
| Symétrie | u . v = v . u | L'ordre des facteurs n'a aucune importance |
| Bilinéarité | u . (v + w) = u . v + u . w et (k u) . v = k (u . v) | On développe comme un produit ordinaire |
| Carré scalaire | u . u = ||u||² | Passer d'un produit scalaire à une longueur |
| Identité remarquable | ||u + v||² = ||u||² + 2 u . v + ||v||² | Développer une norme au carré |
| Orthogonalité | u . v = 0 | Le critère à repérer dans tout énoncé |
Algèbre et géométrie
Vecteur normal, équation de plan et projeté orthogonal
Voici l'apport décisif du produit scalaire : il permet de décrire un plan par une seule équation à la place de deux vecteurs directeurs et deux paramètres. Toute la géométrie dans l'espace en devient plus rapide.
Positions relatives, version produit scalaire
| Situation | Test à faire | Conclusion |
|---|---|---|
| Droite d (directeur u) et plan P (normal n) | u . n = 0 ? | Si oui : d est parallèle à P (incluse si un point de d est dans P). Si non : d coupe P en un point unique |
| Droite d et plan P orthogonaux | u et n colinéaires ? | Si oui : d est perpendiculaire à P |
| Deux plans P et P' (normaux n et n') | n et n' colinéaires ? | Si oui : plans parallèles (confondus si les équations sont proportionnelles, d compris). Si non : sécants suivant une droite |
| Deux plans perpendiculaires | n . n' = 0 ? | Si oui : les plans sont perpendiculaires |
Exercices corrigés
Que peut-on dire des vecteurs u(1 ; 1 ; 0) et v(1 ; -1 ; 5) ?
- A.Ils sont colinéaires
- B.Ils sont égaux en norme
- C.Ils sont orthogonauxBonne réponse
- D.Leur produit scalaire vaut 5
Réponse : C — Ils sont orthogonaux
On calcule le produit scalaire : u . v = 1 × 1 + 1 × (-1) + 0 × 5 = 1 - 1 + 0 = 0. Un produit scalaire nul caractérise exactement l'orthogonalité : les deux vecteurs sont orthogonaux. Le troisième terme est bien nul car la troisième coordonnée de u vaut 0, même si celle de v vaut 5 : un facteur nul annule le produit.
Le plan P a pour équation cartésienne 2x - y + 3z - 5 = 0. Quel vecteur est normal à P ?
- A.n(2 ; -1 ; -5)
- B.n(-5 ; 2 ; -1)
- C.n(2 ; 1 ; 3)
- D.n(2 ; -1 ; 3)Bonne réponse
Réponse : D — n(2 ; -1 ; 3)
Dans une équation de la forme a x + b y + c z + d = 0, le vecteur normal se lit directement sur les coefficients de x, y et z : ici a = 2, b = -1 et c = 3, donc n(2 ; -1 ; 3). Le terme constant d = -5 ne fait PAS partie du vecteur normal : il ne sert qu'à positionner le plan dans l'espace. Attention aussi à conserver le signe moins devant y.
Quelle est une équation cartésienne du plan passant par l'origine O et admettant n(1 ; 2 ; -1) pour vecteur normal ?
- A.x + 2y - z + 1 = 0
- B.x + 2y - z = 0Bonne réponse
- C.x + 2y + z = 0
- D.x - 2y + z = 0
Réponse : B — x + 2y - z = 0
L'équation est de la forme 1x + 2y - 1z + d = 0, soit x + 2y - z + d = 0. Comme le plan passe par O(0 ; 0 ; 0), on remplace : 0 + 0 - 0 + d = 0, donc d = 0. L'équation est x + 2y - z = 0. Retiens la règle : un plan passe par l'origine si et seulement si son terme constant d est nul.
Quelle est une équation cartésienne du plan passant par A(1 ; 2 ; 3) et de vecteur normal n(1 ; -1 ; 2) ?
- A.x - y + 2z + 5 = 0
- B.x - y + 2z = 0
- C.x - y + 2z - 5 = 0Bonne réponse
- D.x + 2y + 3z - 5 = 0
Réponse : C — x - y + 2z - 5 = 0
L'équation s'écrit x - y + 2z + d = 0. On y injecte les coordonnées de A : 1 - 2 + 2 × 3 + d = 0, soit 1 - 2 + 6 + d = 0, donc 5 + d = 0 et d = -5. D'où x - y + 2z - 5 = 0. Le piège du signe est fréquent : on trouve 5 pour la somme, donc d vaut son OPPOSÉ, -5. Vérification rapide avec A : 1 - 2 + 6 - 5 = 0.
Dans un repère orthonormé, A(1 ; 0 ; 2) et B(3 ; -2 ; 4). Quelle est la distance AB ?
- A.12, le carré de la distance AB
- B.6, soit la moitié du carré 12
- C.2, la somme des écarts de coordonnées
- D.2 racine de 3, soit environ 3,46Bonne réponse
Réponse : D — 2 racine de 3, soit environ 3,46
On commence par AB(3-1 ; -2-0 ; 4-2) = (2 ; -2 ; 2). Puis AB = racine de (2² + (-2)² + 2²) = racine de (4 + 4 + 4) = racine de 12. On simplifie : racine de 12 = racine de (4 × 3) = 2 racine de 3, soit environ 3,46. Le distracteur 12 est le carré de la distance : on a oublié la racine.
Quel est l'angle formé par les vecteurs u(1 ; 0 ; 0) et v(1 ; 1 ; 0) ?
- A.45°Bonne réponse
- B.60°
- C.90°
- D.30°
Réponse : A — 45°
On calcule u . v = 1 × 1 + 0 × 1 + 0 × 0 = 1. Puis les normes : ||u|| = 1 et ||v|| = racine de (1 + 1 + 0) = racine de 2. D'où cos(theta) = 1 / (1 × racine de 2) = 1/racine de 2, ce qui vaut racine de 2 sur 2, soit environ 0,707. L'angle dont le cosinus vaut racine de 2 sur 2 est 45°. Ce résultat est logique : v est la diagonale d'un carré construit sur les deux premiers axes.
Quelle est une équation cartésienne du plan passant par A(1 ; 0 ; -1), B(2 ; 1 ; 1) et C(0 ; 2 ; 1) ?
- A.x + y + z = 0
- B.2x + 4y - 3z - 5 = 0Bonne réponse
- C.2x + 4y - 3z + 5 = 0
- D.x + y + 2z + 1 = 0
Réponse : B — 2x + 4y - 3z - 5 = 0
On calcule AB(1 ; 1 ; 2) et AC(-1 ; 2 ; 2), qui ne sont pas colinéaires. On cherche n(a ; b ; c) orthogonal aux deux : a + b + 2c = 0 et -a + 2b + 2c = 0. En soustrayant, on obtient 2a - b = 0, donc b = 2a. La première équation devient a + 2a + 2c = 0, soit 3a = -2c. En prenant a = 2, on trouve b = 4 et c = -3, d'où n(2 ; 4 ; -3). L'équation est 2x + 4y - 3z + d = 0 ; avec A : 2 + 0 + 3 + d = 0, donc d = -5. On vérifie avec B : 4 + 4 - 3 - 5 = 0, et avec C : 0 + 8 - 3 - 5 = 0. Le distracteur avec +5 échoue à ce test.
Quel est le projeté orthogonal du point M(1 ; 2 ; 3) sur le plan P d'équation x + y + z = 0 ?
- A.(1 ; 2 ; 3)
- B.(0 ; 0 ; 0)
- C.(-1 ; 0 ; 1)Bonne réponse
- D.(-2 ; -2 ; -2)
Réponse : C — (-1 ; 0 ; 1)
Le vecteur normal de P est n(1 ; 1 ; 1). La droite passant par M et dirigée par n s'écrit x = 1 + t, y = 2 + t, z = 3 + t. On l'injecte dans l'équation du plan : (1 + t) + (2 + t) + (3 + t) = 0, soit 6 + 3t = 0, donc t = -2. On remplace : x = 1 - 2 = -1, y = 2 - 2 = 0, z = 3 - 2 = 1. Le projeté est H(-1 ; 0 ; 1). Vérification : -1 + 0 + 1 = 0, H appartient bien à P.
Quel est le projeté orthogonal du point M(1 ; 1 ; 1) sur la droite d passant par l'origine O et de vecteur directeur u(1 ; 1 ; 0) ?
- A.(1 ; 1 ; 1)
- B.(1 ; 1 ; 0)Bonne réponse
- C.(0 ; 0 ; 0)
- D.(2 ; 2 ; 0)
Réponse : B — (1 ; 1 ; 0)
Le projeté H est le point de d tel que MH soit orthogonal à u. Un point de d s'écrit H(t ; t ; 0). Alors MH(t - 1 ; t - 1 ; -1), et la condition MH . u = 0 s'écrit (t - 1) × 1 + (t - 1) × 1 + (-1) × 0 = 0, soit 2t - 2 = 0, donc t = 1. On obtient H(1 ; 1 ; 0). Contrôle de cohérence : MH(0 ; 0 ; -1) est bien orthogonal à u(1 ; 1 ; 0), leur produit scalaire vaut 0.
A(1 ; 0 ; 0) et B(3 ; 2 ; 2). Quelle est une équation du plan médiateur de [AB], c'est-à-dire de l'ensemble des points M tels que MA = MB ?
- A.2x + 2y + 2z = 0
- B.x + y + z - 3 = 0
- C.x + y + z - 4 = 0Bonne réponse
- D.x + y + z - 8 = 0
Réponse : C — x + y + z - 4 = 0
Le plan médiateur de [AB] est le plan passant par le milieu I de [AB] et de vecteur normal AB. On calcule I par la moyenne des coordonnées : ((1+3)/2 ; (0+2)/2 ; (0+2)/2) = (2 ; 1 ; 1). Puis AB(2 ; 2 ; 2), qu'on peut simplifier en n(1 ; 1 ; 1) puisqu'un vecteur normal est défini à un coefficient près. L'équation est donc x + y + z + d = 0, et en injectant I : 2 + 1 + 1 + d = 0, donc d = -4. Réponse : x + y + z - 4 = 0. Le distracteur -8 vient du fait de garder AB(2 ; 2 ; 2) sans simplifier tout en oubliant de diviser le terme constant.
Dans un repère orthonormé, u(1 ; 2 ; 3) et v(2 ; -1 ; 1). Combien vaut le produit scalaire u . v ?
- A.3Bonne réponse
- B.7
- C.(2 ; -2 ; 3)
- D.-3
Réponse : A — 3
On applique l'expression analytique : u . v = 1 × 2 + 2 × (-1) + 3 × 1 = 2 - 2 + 3 = 3. Le distracteur (2 ; -2 ; 3) est la liste des trois produits sans les additionner : rappelle-toi qu'un produit scalaire est un NOMBRE, pas un vecteur. Le distracteur 7 vient d'une erreur de signe sur le deuxième terme.
Quelle est la norme du vecteur u(1 ; -2 ; 2) dans un repère orthonormé ?
- A.1
- B.3Bonne réponse
- C.9
- D.racine de 5
Réponse : B — 3
La norme vaut racine de (x² + y² + z²) = racine de (1² + (-2)² + 2²) = racine de (1 + 4 + 4) = racine de 9 = 3. Attention aux signes : (-2)² vaut 4, pas -4. Le distracteur 9 est le carré de la norme, c'est-à-dire u . u : on a oublié de prendre la racine. Et 1 vient d'une addition fautive 1 - 2 + 2.
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