Limites de fonctions et continuité

Exercices corrigés

1. La courbe de f vérifie lim f(x) = 3 quand x tend vers +∞. Quelle asymptote peut-on en déduire ?

   • A.La droite d'équation x = 3
   • B.L'axe des abscisses, d'équation y = 0
   • C.La droite d'équation x = 0
   • D.La droite d'équation y = 3Bonne réponse

   Réponse : D — La droite d'équation y = 3

   Une limite FINIE en l'infini donne une asymptote HORIZONTALE, d'équation y = (la limite), donc ici y = 3. La courbe se rapproche indéfiniment de la droite horizontale de hauteur 3. Une droite d'équation x = 3 serait verticale : elle correspondrait à une limite infinie quand x tend vers 3, ce qui n'est pas du tout la situation décrite.

2. Parmi ces affirmations sur la continuité, laquelle est vraie ?

   • A.Toute fonction continue sur un intervalle I est dérivable sur I
   • B.Une fonction continue sur un intervalle ne peut pas changer de signe
   • C.Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur IBonne réponse
   • D.La fonction partie entière est continue sur R

   Réponse : C — Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur I

   Le bon sens de l'implication est : dérivable implique continue. La réciproque est fausse, et la fonction valeur absolue le prouve : elle est continue en 0 mais n'y est pas dérivable, car sa courbe forme un angle. Une fonction continue peut bien sûr changer de signe (c'est même ce qui rend le TVI utile !). Enfin la partie entière est l'exemple type de fonction discontinue : sa courbe est un escalier, avec un saut à chaque entier.

3. La fonction f vérifie lim f(x) = +∞ quand x tend vers 1 avec x strictement supérieur à 1. Quelle asymptote la courbe admet-elle ?

   • A.La droite d'équation y = 1
   • B.La droite d'équation y = 0
   • C.La droite d'équation x = 0
   • D.La droite d'équation x = 1Bonne réponse

   Réponse : D — La droite d'équation x = 1

   Une limite INFINIE quand x tend vers un réel a donne une asymptote VERTICALE d'équation x = a, donc ici x = 1. La courbe grimpe le long de cette droite verticale sans jamais la toucher. Le piège classique est d'écrire y = 1 : mais y = 1 est une droite horizontale, qui correspondrait à une limite finie égale à 1 en l'infini. Retiens le couple : limite finie en l'infini donne une horizontale, limite infinie en un réel donne une verticale.

4. Soit f définie sur [−1 ; 1] par f(x) = 1/x si x est non nul, et f(0) = 0. On a f(−1) = −1 et f(1) = 1. Pourtant l'équation f(x) = 1/2 n'a aucune solution dans [−1 ; 1]. Pourquoi n'y a-t-il aucune contradiction avec le théorème des valeurs intermédiaires ?

   • A.Il y a bien une contradiction : le théorème garantit une solution dans [−1 ; 1]
   • B.Parce que f n'est pas continue en 0 : le théorème ne s'applique pasBonne réponse
   • C.Parce que le théorème ne s'applique qu'aux fonctions croissantes
   • D.Parce que l'équation f(x) = 1/2 admet en réalité deux solutions dans [−1 ; 1]

   Réponse : B — Parce que f n'est pas continue en 0 : le théorème ne s'applique pas

   Vérifions d'abord l'affirmation : résoudre 1/x = 1/2 donne x = 2, qui n'appartient pas à [−1 ; 1], et f(0) = 0 est différent de 1/2. Il n'y a donc effectivement aucune solution, alors que 1/2 est bien compris entre f(−1) = −1 et f(1) = 1. L'explication tient à l'hypothèse manquante : f n'est pas continue en 0 (elle y fait un saut infini de chaque côté). Le théorème des valeurs intermédiaires exige la continuité sur TOUT l'intervalle : ici elle est en défaut en un seul point, et cela suffit à ruiner la conclusion. Morale : dans une copie, justifier la continuité n'est jamais une formalité. La monotonie, elle, ne sert qu'au corollaire d'unicité, pas à l'existence.

5. Quelle est la limite de f(x) = 1/x quand x tend vers +∞ ?

   • A.+∞
   • B.1
   • C.0Bonne réponse
   • D.−∞

   Réponse : C — 0

   Quand x devient très grand, 1/x devient très petit : 1/1000 = 0,001, 1/1000000 = 0,000001... La fonction se rapproche de 0 sans jamais l'atteindre. C'est une limite de référence : lim 1/x = 0 quand x tend vers +∞. Graphiquement, la courbe de la fonction inverse se colle à l'axe des abscisses : y = 0 est asymptote horizontale.

6. Quelle est la limite de f(x) = −2x³ + 5x² − 7 quand x tend vers +∞ ?

   • A.+∞
   • B.−∞Bonne réponse
   • C.−7
   • D.0

   Réponse : B — −∞

   En +∞, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré, ici −2x³. Comme x³ tend vers +∞ et que le coefficient est négatif, −2x³ tend vers −∞. Pour le rédiger proprement : −2x³ + 5x² − 7 = x³(−2 + 5/x − 7/x³) ; la parenthèse tend vers −2 et x³ tend vers +∞, donc le produit tend vers −∞. Répondre −7, c'est confondre limite et valeur en 0.

7. Quelle est la limite de f(x) = 1/x quand x tend vers 0 avec x strictement positif ?

   • A.+∞Bonne réponse
   • B.−∞
   • C.0
   • D.1

   Réponse : A — +∞

   Quand x se rapproche de 0 par valeurs positives, on divise 1 par un nombre positif de plus en plus petit : 1/0,01 = 100, 1/0,0001 = 10000... Le quotient explose vers +∞. Attention au côté : à gauche de 0 (x négatif), la même fonction tend vers −∞. Pour la fonction inverse, préciser le côté est indispensable.

8. Quelle est la limite de f(x) = 1/x² quand x tend vers −∞ ?

   • A.0Bonne réponse
   • B.+∞
   • C.−∞
   • D.1

   Réponse : A — 0

   Quand x tend vers −∞, x² tend vers +∞ (le carré rend tout positif et très grand). On divise donc 1 par un nombre gigantesque : le quotient tend vers 0. Attention à ne pas confondre le signe de x et celui de x² : même pour x = −1000, on a x² = 1000000, donc 1/x² est un tout petit nombre POSITIF. La courbe admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en −∞ comme en +∞.

9. Quelle est la limite de f(x) = (3x² + 2x)/(x² − 1) quand x tend vers +∞ ?

   • A.+∞
   • B.3Bonne réponse
   • C.0
   • D.2

   Réponse : B — 3

   C'est une forme indéterminée du type ∞/∞ : il faut factoriser haut et bas par le terme de plus haut degré. (3x² + 2x)/(x² − 1) = x²(3 + 2/x) / [x²(1 − 1/x²)] = (3 + 2/x)/(1 − 1/x²). Quand x tend vers +∞, 2/x tend vers 0 et 1/x² tend vers 0, donc le quotient tend vers 3/1 = 3. Retiens le réflexe : quand les degrés du numérateur et du dénominateur sont égaux, la limite est le quotient des coefficients dominants, ici 3/1.

10. Quelle est la limite de f(x) = x² − x quand x tend vers +∞ ?

    • A.0
    • B.−∞
    • C.On ne peut pas conclure : c'est une forme indéterminée
    • D.+∞Bonne réponse

    Réponse : D — +∞

    Au premier abord on a bien la forme indéterminée ∞ − ∞, mais une forme indéterminée n'est jamais une réponse : elle signale qu'il faut transformer l'expression. Factorisons par x² : x² − x = x²(1 − 1/x). Quand x tend vers +∞, 1/x tend vers 0, donc la parenthèse tend vers 1, et x² tend vers +∞. Le produit tend donc vers +∞. Intuitivement, x² écrase x : pour x = 100, on a 10000 − 100 = 9900.

11. Quelle est la limite de f(x) = sin(x)/x quand x tend vers +∞ ?

    • A.0Bonne réponse
    • B.+∞
    • C.1
    • D.La limite n'existe pas, car sin(x) n'a pas de limite en +∞

    Réponse : A — 0

    On applique le théorème des gendarmes. Pour tout x, −1 est inférieur ou égal à sin(x), lui-même inférieur ou égal à 1. Pour x strictement positif, on peut diviser par x sans changer les inégalités : −1/x est inférieur ou égal à sin(x)/x, lui-même inférieur ou égal à 1/x. Or −1/x et 1/x tendent toutes deux vers 0 en +∞. Les deux gendarmes encadrent donc la fonction et la forcent à tendre vers 0. C'est vrai que sin(x) n'a pas de limite, mais la division par x étouffe l'oscillation : l'amplitude 1/x s'écrase vers 0.

12. Quelle est la limite de f(x) = (x² − 4)/(x − 2) quand x tend vers 2 ?

    • A.0
    • B.2
    • C.4Bonne réponse
    • D.+∞

    Réponse : C — 4

    En remplaçant directement, on obtient 0/0 : c'est une forme indéterminée, il faut factoriser. Le numérateur est une identité remarquable : x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Donc pour x différent de 2 : (x² − 4)/(x − 2) = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2. Quand x tend vers 2, cette expression tend vers 2 + 2 = 4. Répondre +∞ est le réflexe (faux) de croire que « diviser par zéro donne l'infini » : ici le zéro du haut compense celui du bas.