Variables aléatoires, concentration et loi des grands nombres
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Probabilités
Sommes de variables aléatoires et échantillons
Ce chapitre répond à une question que tout le monde se pose : pourquoi une moyenne calculée sur beaucoup de données est-elle fiable ? Pour y répondre, il faut d'abord savoir manipuler l'espérance et la variance d'une somme de variables aléatoires. C'est l'objet de cette fiche ; la suivante en tirera les inégalités de concentration et la loi des grands nombres.
Transformation affine d'une variable aléatoire
Pour tous réels a et b :
E(aX + b) = a E(X) + b
V(aX + b) = a² V(X)
Retiens la logique : ajouter b décale toute la distribution, donc cela décale la moyenne mais ne change rien à la dispersion. Multiplier par a étire la distribution : la moyenne est multipliée par a, mais la variance, qui mesure un écart au carré, est multipliée par a².
| Opération | Espérance | Variance | Hypothèse nécessaire |
|---|---|---|---|
| X + b | E(X) + b | V(X) | aucune |
| a X | a E(X) | a² V(X) | aucune |
| a X + b | a E(X) + b | a² V(X) | aucune |
| X + Y | E(X) + E(Y) | V(X) + V(Y) | indépendance pour la variance |
| X − Y | E(X) − E(Y) | V(X) + V(Y) | indépendance pour la variance |
| Sn = X1 + ... + Xn (échantillon) | n × E(X) | n × V(X) | variables indépendantes de même loi |
| Mn = Sn / n (moyenne) | E(X) | V(X) / n | variables indépendantes de même loi |
Probabilités
Inégalités de concentration et loi des grands nombres
On sait maintenant que la moyenne empirique Mn a une variance qui diminue quand n augmente. Il reste à transformer ce constat en garantie chiffrée : quelle est la probabilité que Mn s'écarte de la vraie moyenne de plus de 0,05 ? L'outil qui répond est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
La loi des grands nombres. Dans l'inégalité de concentration, delta est fixé et n figure au dénominateur : le majorant V(X)/(n delta²) tend donc vers 0 quand n tend vers l'infini. On en déduit le théorème central du chapitre.
| Taille n de l'échantillon | Écart-type de Mn (pour V(X) = 0,25) | Majorant de P(|Mn − m| supérieur ou égal à 0,05) |
|---|---|---|
| 100 | 0,05 | 1 (aucune information utile) |
| 400 | 0,025 | 0,25 |
| 1000 | environ 0,0158 | 0,1 |
| 2000 | environ 0,0112 | 0,05 |
| 10000 | 0,005 | 0,01 |
Exercices corrigés
L'écart-type d'une variable aléatoire X est égal à :
- A.le carré de la variance de X
- B.la racine carrée de la variance de XBonne réponse
- C.la moitié de la variance de X
- D.l'espérance de la variable X
Réponse : B — la racine carrée de la variance de X
L'écart-type est par définition la racine carrée de la variance. Son intérêt est pratique : la variance s'exprime dans le carré de l'unité de X (des euros au carré, par exemple), alors que l'écart-type revient dans la même unité que X, ce qui le rend directement interprétable. Exemple : si V(X) = 25, l'écart-type vaut 5. Ne confonds pas avec l'espérance, qui mesure une position moyenne et non une dispersion.
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev affirme que, pour tout delta strictement positif, P(|X − E(X)| supérieur ou égal à delta) est majorée par :
- A.V(X) / delta
- B.delta² / V(X)
- C.V(X) / delta²Bonne réponse
- D.1 − V(X) / delta²
Réponse : C — V(X) / delta²
La formule exacte est P(|X − E(X)| supérieur ou égal à delta) inférieur ou égal à V(X)/delta². Le delta est bien AU CARRÉ au dénominateur, ce qui est cohérent avec le fait que la variance mesure des écarts au carré : les deux membres sont ainsi homogènes. La conséquence pratique est importante : diviser delta par 2 multiplie le majorant par 4. L'option delta²/V(X) est l'inverse de la bonne expression et donnerait un majorant énorme pour une variable très resserrée, ce qui est absurde.
On considère un échantillon de taille 100 de la loi de X, avec E(X) = 5 et V(X) = 4. Combien vaut la variance de la moyenne empirique M100 ?
- A.4,0
- B.0,04Bonne réponse
- C.0,4
- D.2,0
Réponse : B — 0,04
La formule est V(Mn) = V(X)/n, donc V(M100) = 4/100 = 0,04. C'est le résultat central du chapitre : la moyenne empirique a la même espérance que X (ici 5), mais une variance n fois plus petite. Son écart-type vaut racine de 0,04 = 0,2, soit l'écart-type de X (qui vaut 2) divisé par racine de 100 = 10. Répondre 4, c'est confondre Mn avec X ; répondre 0,4, c'est avoir divisé par 10 au lieu de 100.
Pourquoi la variance d'une variable X suivant la loi B(n ; p) vaut-elle n p (1 − p) ?
- A.parce que l'espérance vaut n p et qu'on la multiplie par 1 − p au hasard
- B.parce que la variance est toujours le produit de tous les paramètres
- C.parce que la variance d'une somme est toujours la somme des variances
- D.parce que X est la somme de n variables de Bernoulli indépendantes, chacune de variance p(1 − p)Bonne réponse
Réponse : D — parce que X est la somme de n variables de Bernoulli indépendantes, chacune de variance p(1 − p)
C'est la démonstration au programme : X compte les succès, donc X = X1 + ... + Xn où chaque Xi vaut 1 en cas de succès et 0 sinon. Chaque Xi suit la loi de Bernoulli de paramètre p, avec E(Xi) = p et V(Xi) = p(1 − p). Comme les Xi sont INDÉPENDANTES, les variances s'ajoutent : V(X) = n p(1 − p). La troisième option est piégeuse car elle énonce la propriété sans sa condition : la variance d'une somme n'est la somme des variances que sous hypothèse d'indépendance.
X est une variable aléatoire de variance V(X) = 4. Que majore l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour P(|X − E(X)| supérieur ou égal à 4) ?
- A.0,25Bonne réponse
- B.1,0
- C.0,5
- D.4,0
Réponse : A — 0,25
On applique la formule avec delta = 4 : le majorant est V(X)/delta² = 4/4² = 4/16 = 0,25. Autrement dit, la probabilité de s'écarter de la moyenne d'au moins 4 est au plus 25 %, quelle que soit la loi de X. Répondre 1, c'est avoir calculé V(X)/delta = 4/4 en oubliant le carré : c'est l'erreur la plus fréquente, et elle rend l'inégalité inutile puisqu'une probabilité est toujours inférieure ou égale à 1. Répondre 4 est impossible : une probabilité ne dépasse jamais 1.
Pour un échantillon de taille n = 1000 issu d'une loi de variance 0,25, quel majorant donne l'inégalité de concentration pour P(|M1000 − m| supérieur ou égal à 0,05) ?
- A.0,1Bonne réponse
- B.0,01
- C.0,25
- D.0,5
Réponse : A — 0,1
Le majorant est V(X)/(n delta²) = 0,25/(1000 × 0,05²). Calcul par étapes : 0,05² = 0,0025 ; puis 1000 × 0,0025 = 2,5 ; enfin 0,25/2,5 = 0,1. Recalcul de contrôle : 0,25/2,5 = 25/250 = 1/10 = 0,1. La probabilité que la moyenne empirique s'écarte de plus de 0,05 est donc au plus 10 %. Attention à ne pas oublier d'élever delta au carré : sans le carré, on trouverait 0,25/50 = 0,005, ce qui est bien trop optimiste.
Pour une loi de variance V(X) = 1, quelle taille d'échantillon n garantit que le majorant de P(|Mn − m| supérieur ou égal à 0,1) soit inférieur ou égal à 0,05 ?
- A.n supérieur ou égal à 200
- B.n supérieur ou égal à 2000Bonne réponse
- C.n supérieur ou égal à 20000
- D.n supérieur ou égal à 500
Réponse : B — n supérieur ou égal à 2000
On veut V(X)/(n delta²) inférieur ou égal à 0,05, soit 1/(n × 0,01) inférieur ou égal à 0,05. Cela équivaut à 100/n inférieur ou égal à 0,05, donc n supérieur ou égal à 100/0,05 = 2000. Vérification : avec n = 2000, le majorant vaut 1/(2000 × 0,01) = 1/20 = 0,05. Exactement le seuil visé. Répondre 200, c'est avoir oublié le carré sur delta ; répondre 20000, c'est avoir utilisé un seuil de 0,005.
L'écart-type d'une variable X vaut 2. Quelle taille d'échantillon n garantit que le majorant de P(|Mn − m| supérieur ou égal à 0,2) soit inférieur ou égal à 0,01 ?
- A.n supérieur ou égal à 1000
- B.n supérieur ou égal à 400
- C.n supérieur ou égal à 10000Bonne réponse
- D.n supérieur ou égal à 100000
Réponse : C — n supérieur ou égal à 10000
Premier réflexe : l'énoncé donne l'ÉCART-TYPE, il faut donc passer à la variance, V(X) = 2² = 4. On veut ensuite 4/(n × 0,2²) inférieur ou égal à 0,01, soit 4/(n × 0,04) inférieur ou égal à 0,01, c'est-à-dire 100/n inférieur ou égal à 0,01, donc n supérieur ou égal à 10000. Vérification : avec n = 10000, le majorant vaut 4/(10000 × 0,04) = 4/400 = 0,01. Exact. Répondre 400, c'est n'avoir pas converti l'écart-type en variance et avoir oublié un carré au passage.
Pour une variable aléatoire X et deux réels a et b, E(aX + b) est égal à :
- A.a E(X)
- B.a E(X) + bBonne réponse
- C.E(X) + b
- D.a² E(X) + b
Réponse : B — a E(X) + b
L'espérance est linéaire : E(aX + b) = a E(X) + b. Le b est bien conservé, car ajouter une constante à toutes les valeurs de X décale la moyenne de cette même constante. Exemple concret : si E(X) = 10, alors E(3X + 5) = 3 × 10 + 5 = 35. Le carré a² n'apparaît que dans la VARIANCE, jamais dans l'espérance : c'est la confusion la plus fréquente entre les deux formules.
Pour une variable aléatoire X et deux réels a et b, V(aX + b) est égal à :
- A.a V(X) + b
- B.a² V(X) + b²
- C.a² V(X)Bonne réponse
- D.a V(X)
Réponse : C — a² V(X)
La variance mesure une dispersion, c'est-à-dire des écarts à la moyenne élevés au carré. Ajouter b décale tout le nuage sans le déformer : la dispersion ne change pas, donc le b DISPARAÎT. Multiplier par a dilate les écarts d'un facteur a, donc les écarts au carré d'un facteur a². D'où V(aX + b) = a² V(X). Exemple : si V(X) = 2, alors V(−3X + 7) = 9 × 2 = 18. Remarque : a² est positif, ce qui garantit une variance positive même si a est négatif.
L'égalité E(X + Y) = E(X) + E(Y) est vraie :
- A.jamais
- B.seulement si X et Y sont indépendantes
- C.seulement si X et Y ont la même loi
- D.toujoursBonne réponse
Réponse : D — toujours
La linéarité de l'espérance est une propriété générale : elle ne demande AUCUNE hypothèse sur X et Y. C'est un point à connaître précisément, car c'est justement là que se joue la différence avec la variance : V(X + Y) = V(X) + V(Y) n'est vraie, elle, que si X et Y sont indépendantes. Retiens le contraste : l'espérance s'additionne gratuitement, la variance se paie par l'indépendance.
Un échantillon de taille n de la loi d'une variable aléatoire X est constitué de :
- A.n variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même loi que XBonne réponse
- B.n valeurs numériques rangées dans l'ordre croissant
- C.n variables aléatoires de lois différentes
- D.n valeurs prises par X, forcément distinctes
Réponse : A — n variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même loi que X
En terminale, un échantillon de taille n est une LISTE DE VARIABLES ALÉATOIRES (X1, ..., Xn), indépendantes et de même loi que X. C'est un objet théorique, pas une liste de résultats numériques : ceux-ci apparaissent seulement quand on réalise l'expérience. Les valeurs n'ont aucune raison d'être distinctes ni ordonnées, et l'hypothèse « même loi » est indispensable pour parler de l'espérance commune m.
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