Vecteurs, droites et plans de l'espace

Exercices corrigés

1. Dans un repère de l'espace, A(1 ; 2 ; 3) et B(4 ; 0 ; 5). Quelles sont les coordonnées du vecteur AB ?

   • A.(3 ; -2 ; 2)Bonne réponse
   • B.(5 ; 2 ; 8)
   • C.(-3 ; 2 ; -2)
   • D.(3 ; 2 ; 2)

   Réponse : A — (3 ; -2 ; 2)

   Les coordonnées d'un vecteur AB s'obtiennent en faisant « arrivée moins départ », coordonnée par coordonnée : 4 - 1 = 3, puis 0 - 2 = -2, puis 5 - 3 = 2. Donc AB(3 ; -2 ; 2). Le distracteur (-3 ; 2 ; -2) est le vecteur BA, celui qui pointe dans l'autre sens, et (5 ; 2 ; 8) vient d'une addition au lieu d'une soustraction.

2. A(2 ; -1 ; 4) et B(0 ; 3 ; 2). Quelles sont les coordonnées du milieu I de [AB] ?

   • A.(2 ; 2 ; 6)
   • B.(-2 ; 4 ; -2)
   • C.(1 ; 1 ; 3)Bonne réponse
   • D.(1 ; -2 ; 1)

   Réponse : C — (1 ; 1 ; 3)

   On fait la moyenne des coordonnées, coordonnée par coordonnée : (2 + 0)/2 = 1, puis (-1 + 3)/2 = 2/2 = 1, puis (4 + 2)/2 = 3. Donc I(1 ; 1 ; 3). Le distracteur (2 ; 2 ; 6) est la SOMME des coordonnées, sans la division par 2, et (-2 ; 4 ; -2) est le vecteur AB.

3. On considère la droite d de représentation paramétrique x = 1 + 2t, y = -3t, z = 4 + t (t réel). Quel vecteur est un vecteur directeur de d ?

   • A.u(1 ; 0 ; 4)
   • B.u(2 ; -3 ; 1)Bonne réponse
   • C.u(1 ; -3 ; 4)
   • D.u(3 ; -3 ; 5)

   Réponse : B — u(2 ; -3 ; 1)

   Dans une représentation paramétrique, le vecteur directeur se lit sur les COEFFICIENTS du paramètre t : ici 2 pour x, -3 pour y et 1 pour z (car z = 4 + 1 × t). Donc u(2 ; -3 ; 1). Le distracteur (1 ; 0 ; 4) est fait avec les termes constants : ce sont les coordonnées d'un POINT de la droite (celui obtenu pour t = 0), pas d'un vecteur directeur.

4. u(1 ; 2 ; 3) et v(2 ; -1 ; 0). Quelles sont les coordonnées du vecteur w = 2u - v ?

   • A.(4 ; 3 ; 6)
   • B.(0 ; 3 ; 3)
   • C.(0 ; 5 ; 6)Bonne réponse
   • D.(2 ; -2 ; 0)

   Réponse : C — (0 ; 5 ; 6)

   On calcule coordonnée par coordonnée. Première : 2 × 1 - 2 = 0. Deuxième : 2 × 2 - (-1) = 4 + 1 = 5. Troisième : 2 × 3 - 0 = 6. Donc w(0 ; 5 ; 6). Le piège classique est la deuxième coordonnée : soustraire -1 revient à AJOUTER 1, ce qui donne 5 et non 3.

5. A(2 ; 0 ; 1) et B(3 ; 2 ; -1). Quelle représentation paramétrique est celle de la droite (AB) ?

   • A.x = 2 + t, y = 2t, z = 1 - 2tBonne réponse
   • B.x = 2 + 3t, y = 2t, z = 1 - t
   • C.x = 1 + 2t, y = 2, z = -2 + t
   • D.x = 2 + t, y = 2 + t, z = 1 + t

   Réponse : A — x = 2 + t, y = 2t, z = 1 - 2t

   On prend A comme point de base et AB comme vecteur directeur. AB(3-2 ; 2-0 ; -1-1) = (1 ; 2 ; -2). La représentation s'écrit donc x = 2 + 1t, y = 0 + 2t, z = 1 - 2t. On peut vérifier que B est bien dessus : pour t = 1, on obtient (3 ; 2 ; -1), c'est bien B. Le distracteur avec 3t en première coordonnée confond les coordonnées du POINT B avec celles du vecteur AB.

6. La droite d : x = t, y = 1 + t, z = 2 - t coupe le plan (xOy). Quelles sont les coordonnées du point d'intersection ?

   • A.(0 ; 1 ; 2)
   • B.(1 ; 2 ; 1)
   • C.(2 ; 3 ; 0)Bonne réponse
   • D.(-2 ; -1 ; 4)

   Réponse : C — (2 ; 3 ; 0)

   Le plan (xOy) est l'ensemble des points de cote nulle, c'est-à-dire d'équation z = 0. On reporte : 2 - t = 0, donc t = 2. On calcule alors les deux autres coordonnées avec t = 2 : x = 2 et y = 1 + 2 = 3. Le point d'intersection est donc (2 ; 3 ; 0). Le distracteur (0 ; 1 ; 2) est le point obtenu pour t = 0, qui n'a aucune raison d'être dans le plan (xOy).

7. Dans le cube ABCDEFGH (ABCD est la face du bas, E est au-dessus de A, F au-dessus de B, G au-dessus de C, H au-dessus de D), à quel vecteur est égale la somme AB + AD + AE ?

   • A.AC
   • B.AH
   • C.AF
   • D.AGBonne réponse

   Réponse : D — AG

   On enchaîne les déplacements avec la relation de Chasles. AB + AD donne AC (c'est la diagonale de la face du bas, car ABCD est un parallélogramme). Il reste AC + AE : comme AE est le déplacement vertical d'une arête et que G est exactement au-dessus de C, on obtient AG. Donc AB + AD + AE = AG, la grande diagonale du cube. Les distracteurs AH et AF sont des diagonales de faces : elles ne cumulent que DEUX des trois déplacements.

8. On se place dans le repère (A ; AB , AD , AE) du cube ABCDEFGH décrit à la question précédente. Quelles sont les coordonnées du sommet H ?

   • A.(0 ; 1 ; 1)Bonne réponse
   • B.(1 ; 1 ; 1)
   • C.(1 ; 0 ; 1)
   • D.(0 ; 0 ; 1)

   Réponse : A — (0 ; 1 ; 1)

   Dans ce repère, la première coordonnée mesure le déplacement selon AB, la deuxième selon AD, la troisième selon AE. Or H est le sommet situé au-dessus de D, donc AH = AD + AE : aucun déplacement selon AB, un selon AD, un selon AE. D'où H(0 ; 1 ; 1). Le distracteur (1 ; 1 ; 1) correspond à G, et (0 ; 0 ; 1) à E.

9. Soient d : x = 1 + t, y = t, z = 2 - t et d' : x = 2 + s, y = 1 - s, z = 1. Que peut-on dire de ces deux droites ?

   • A.Elles sont strictement parallèles
   • B.Elles sont non coplanaires
   • C.Elles sont sécantes au point (2 ; 1 ; 1)Bonne réponse
   • D.Elles sont sécantes au point (1 ; 0 ; 2)

   Réponse : C — Elles sont sécantes au point (2 ; 1 ; 1)

   Les directeurs u(1 ; 1 ; -1) et u'(1 ; -1 ; 0) ne sont pas colinéaires, donc pas de parallélisme. On cherche une intersection avec DEUX paramètres. L'équation des cotes est la plus simple : 2 - t = 1, donc t = 1. Celle des ordonnées donne alors t = 1 - s, soit 1 = 1 - s, donc s = 0. On vérifie sur les abscisses, l'équation non utilisée : 1 + t = 1 + 1 = 2 et 2 + s = 2 + 0 = 2. Égalité vérifiée, donc les droites sont sécantes. Le point s'obtient en remplaçant t = 1 dans d : (2 ; 1 ; 1). Le distracteur (1 ; 0 ; 2) correspond à t = 0, un point de d qui n'est pas sur d'.

10. ABCD est un parallélogramme de l'espace avec A(1 ; 0 ; 2), B(3 ; 1 ; 0) et C(4 ; 3 ; 1). Quelles sont les coordonnées de D ?

    • A.(2 ; 2 ; 3)Bonne réponse
    • B.(6 ; 4 ; -1)
    • C.(0 ; 2 ; 3)
    • D.(2 ; 4 ; -1)

    Réponse : A — (2 ; 2 ; 3)

    Dans le parallélogramme ABCD, les sommets se suivent, donc AB = DC (et non AB = CD, attention à l'ordre). On peut aussi écrire AD = BC. Calculons BC : (4-3 ; 3-1 ; 1-0) = (1 ; 2 ; 1). Alors D = A + BC, coordonnée par coordonnée : 1 + 1 = 2, 0 + 2 = 2, 2 + 1 = 3. Donc D(2 ; 2 ; 3). Vérification : DC = (4-2 ; 3-2 ; 1-3) = (2 ; 1 ; -2) et AB = (2 ; 1 ; -2), les deux vecteurs coïncident bien.

11. De quoi a-t-on besoin, au minimum, pour définir un plan de l'espace ?

    • A.D'un point et d'un vecteur directeur
    • B.De deux points distincts
    • C.De trois points quelconques
    • D.D'un point et de deux vecteurs non colinéairesBonne réponse

    Réponse : D — D'un point et de deux vecteurs non colinéaires

    Un plan est une surface à deux dimensions : il faut donc deux directions indépendantes pour s'y déplacer, plus un point pour le positionner. D'où : un point et deux vecteurs NON COLINÉAIRES. Un point et un seul vecteur ne définissent qu'une droite. Et trois points définissent bien un plan, mais seulement s'ils sont NON ALIGNÉS : trois points quelconques peuvent être alignés, auquel cas ils ne suffisent pas.

12. Les vecteurs u(1 ; 2 ; -1) et v(-3 ; -6 ; 3) sont-ils colinéaires ?

    • A.Oui, car v = -3 uBonne réponse
    • B.Non, car leurs coordonnées sont de signes contraires
    • C.Oui, car v = 3 u
    • D.Non, car aucun coefficient entier ne convient

    Réponse : A — Oui, car v = -3 u

    Deux vecteurs sont colinéaires s'il existe un réel k tel que v = k u. On teste sur la première coordonnée : -3 = k × 1 donne k = -3. On vérifie sur les deux autres : -3 × 2 = -6, c'est bon, et -3 × (-1) = 3, c'est bon aussi. Donc v = -3 u et les vecteurs sont bien colinéaires. Un coefficient NÉGATIF est parfaitement autorisé : cela signifie simplement que les deux vecteurs pointent en sens opposés.