Compléments sur la dérivation et la convexité
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Analyse
Dériver : les formules et les composées
Tu sais déjà que le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a, et que le signe de f' donne les variations de f. En Terminale, on complète l'outillage avec les fonctions composées : dériver racine de (x² + 1) ou (2x − 5)³ devient un réflexe. Ces nouvelles formules ne sortent pas de nulle part : elles suivent la même logique que celles vues en Première, une limite de taux de variation, appliquée cette fois à deux fonctions enchaînées l'une dans l'autre plutôt qu'à une somme ou un produit.
Les dérivées à connaître
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) | Sur |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | R |
| x^n (n entier supérieur ou égal à 1) | n x^(n−1) | R |
| 1/x | −1/x² | R privé de 0 |
| racine de x | 1/(2 racine de x) | ]0 ; +∞[ |
| cos(x) | −sin(x) | R |
| sin(x) | cos(x) | R |
Dériver une fonction composée
Analyse
Convexité, concavité et points d'inflexion
Les variations décrivent si la courbe monte ou descend. La convexité décrit autre chose : la façon dont elle se courbe. Une même fonction croissante peut monter « de plus en plus vite » (convexe) ou « de moins en moins vite » (concave). En économie, en physique, en probabilités, cette nuance est souvent l'information la plus importante.
La dérivée seconde f'' est simplement la dérivée de f'. On la calcule donc en dérivant deux fois de suite. C'est elle qui décide de la convexité, alors que c'est f' qui décide des variations : ne mélange jamais les deux tableaux de signes.
| Signe de f'' | Sens de variation de f' | Forme de la courbe de f | Position par rapport aux tangentes |
|---|---|---|---|
| f'' positive | f' croissante | f convexe (creux, comme un bol) | Courbe au-dessus |
| f'' négative | f' décroissante | f concave (bosse, comme un dôme) | Courbe au-dessous |
| f'' s'annule EN CHANGEANT DE SIGNE | f' change de sens | Point d'inflexion | La courbe traverse sa tangente |
Exercices corrigés
Quelle est la dérivée de f(x) = x⁵ ?
- A.5x⁴Bonne réponse
- B.x⁴
- C.5x⁶
- D.4x⁵
Réponse : A — 5x⁴
On applique la formule (x^n)' = n x^(n−1) : ici n = 5, donc f'(x) = 5x⁴. Retiens le mécanisme : l'exposant descend en facteur, puis on lui retire 1. Répondre 5x⁶ revient à augmenter l'exposant au lieu de le diminuer, et 4x⁵ mélange les deux rôles. Contrôle rapide : dériver fait toujours baisser le degré d'une unité.
On sait que f''(x) est positive sur un intervalle I. Que peut-on en déduire ?
- A.f est croissante sur I
- B.f est concave sur I
- C.f est positive sur I
- D.f est convexe sur IBonne réponse
Réponse : D — f est convexe sur I
Le signe de la dérivée SECONDE gouverne la convexité : f'' positive équivaut à f' croissante, donc à f convexe sur I. Ne confonds pas les étages ! Le signe de f (première ligne) donne la position par rapport à l'axe des abscisses, le signe de f' donne les variations, et le signe de f'' donne la convexité. Une fonction convexe peut très bien décroître : la fonction carré est convexe sur R tout en décroissant sur ]−∞ ; 0].
Où se situe la courbe d'une fonction convexe par rapport à ses tangentes ?
- A.Au-dessous de ses tangentes
- B.Au-dessus de ses tangentesBonne réponse
- C.Au-dessus de l'axe des abscisses
- D.Au-dessous de l'axe des abscisses
Réponse : B — Au-dessus de ses tangentes
Une fonction convexe « fait un creux » : sa courbe est entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes. Visualise la parabole y = x² et sa tangente horizontale en 0, l'axe des abscisses : la parabole est bien au-dessus. C'est l'inverse pour une fonction concave, dont la courbe passe au-dessous de ses tangentes. La position par rapport à l'axe des abscisses, elle, n'a rien à voir avec la convexité : elle dépend du signe de f.
Quelle est la dérivée de la fonction racine carrée sur ]0 ; +∞[ ?
- A.2 racine de x
- B.1/racine de x
- C.1/(2 racine de x)Bonne réponse
- D.(racine de x)/2
Réponse : C — 1/(2 racine de x)
C'est une dérivée de référence : si f(x) = racine de x, alors f'(x) = 1/(2 racine de x) sur ]0 ; +∞[. Remarque au passage que cette dérivée est toujours strictement positive, ce qui confirme que la fonction racine est croissante, et qu'elle tend vers +∞ quand x tend vers 0 : la courbe part avec une tangente verticale, et la fonction n'est donc pas dérivable en 0 même si elle y est définie.
Que peut-on dire de la convexité de la fonction carré f(x) = x² sur R ?
- A.Elle est convexe sur RBonne réponse
- B.Elle est concave sur R
- C.Elle est convexe puis concave
- D.Elle n'est ni convexe ni concave
Réponse : A — Elle est convexe sur R
Calculons : f'(x) = 2x, puis f''(x) = 2. La dérivée seconde est constante et strictement positive sur R, donc f est convexe sur R tout entier. On le vérifie sur le dessin : la parabole forme un creux régulier, elle ne change jamais de courbure, donc elle n'a aucun point d'inflexion. Le fait qu'elle décroisse d'abord puis croisse concerne les variations, pas la convexité.
Quelle est la dérivée de f(x) = (2x − 5)³ ?
- A.3(2x − 5)²
- B.6(2x − 5)
- C.6(2x − 5)²Bonne réponse
- D.2(2x − 5)²
Réponse : C — 6(2x − 5)²
On applique (u^n)' = n u' u^(n−1) avec u(x) = 2x − 5 et donc u'(x) = 2. On obtient f'(x) = 3 × 2 × (2x − 5)² = 6(2x − 5)². L'erreur la plus fréquente est d'oublier le facteur u' = 2 et de répondre 3(2x − 5)². Contrôle de cohérence : f est un polynôme de degré 3, sa dérivée doit être de degré 2 — ce qui élimine 6(2x − 5), de degré 1.
Quelle est la dérivée de f(x) = racine de (x² + 1) sur R ?
- A.1/(2 racine de (x² + 1))
- B.x/racine de (x² + 1)Bonne réponse
- C.2x/racine de (x² + 1)
- D.x/(2 racine de (x² + 1))
Réponse : B — x/racine de (x² + 1)
On utilise (racine de u)' = u'/(2 racine de u) avec u(x) = x² + 1 et u'(x) = 2x. Cela donne f'(x) = 2x/(2 racine de (x² + 1)), et on simplifie le facteur 2 du haut avec celui du bas : f'(x) = x/racine de (x² + 1). Oublier de simplifier conduit à la troisième option (2x au numérateur, sans le 2 du bas), et oublier u' donne la première. Petit bonus : le dénominateur étant toujours positif, f' a le signe de x, donc f admet un minimum en 0.
Soit f(x) = x³ − 3x². En quelle abscisse la courbe de f admet-elle un point d'inflexion ?
- A.x = 0
- B.x = 2
- C.x = 3
- D.x = 1Bonne réponse
Réponse : D — x = 1
On dérive deux fois : f'(x) = 3x² − 6x, puis f''(x) = 6x − 6 = 6(x − 1). Cette expression s'annule en x = 1, en étant négative avant et positive après : f'' change bien de signe, donc la courbe passe de concave à convexe en x = 1. C'est un point d'inflexion. Attention aux distracteurs : x = 0 et x = 2 sont les solutions de f'(x) = 0, donc les abscisses des extremums, pas de l'inflexion.
Quelle est la dérivée de f(x) = (x + 1)/(x − 2) sur R privé de 2 ?
- A.1/(x − 2)²
- B.−3/(x − 2)²Bonne réponse
- C.3/(x − 2)²
- D.−1/(x − 2)²
Réponse : B — −3/(x − 2)²
On applique (u/v)' = (u'v − uv')/v² avec u(x) = x + 1 (donc u' = 1) et v(x) = x − 2 (donc v' = 1). Le numérateur vaut 1 × (x − 2) − (x + 1) × 1 = x − 2 − x − 1 = −3. Donc f'(x) = −3/(x − 2)². Le signe négatif se perd facilement si on oublie de distribuer le moins sur (x + 1) : c'est l'erreur qui mène à 3/(x − 2)². Interprétation : f' est toujours négative, donc f est décroissante sur chacun des deux intervalles de son domaine.
Quelle est l'étude de convexité de la fonction cube f(x) = x³ sur R ?
- A.Concave sur ]−∞ ; 0] et convexe sur [0 ; +∞[, avec un point d'inflexion en 0Bonne réponse
- B.Convexe sur R tout entier, la dérivée seconde étant positive pour toute valeur de x
- C.Convexe sur ]−∞ ; 0] et concave sur [0 ; +∞[, avec un point d'inflexion en 0
- D.Concave sur R tout entier, la dérivée seconde étant négative pour toute valeur de x
Réponse : A — Concave sur ]−∞ ; 0] et convexe sur [0 ; +∞[, avec un point d'inflexion en 0
On dérive deux fois : f'(x) = 3x², puis f''(x) = 6x. Cette dérivée seconde est négative pour x négatif et positive pour x positif. Donc f est concave sur ]−∞ ; 0] et convexe sur [0 ; +∞[, avec un changement de signe de f'' en 0 : l'origine est un point d'inflexion. C'est l'exemple à retenir absolument, car il montre bien qu'un point d'inflexion peut apparaître sur une fonction strictement croissante — la courbe monte toujours, mais elle cesse de creuser vers le bas pour creuser vers le haut.
La courbe de f(x) = x² est au-dessus de sa tangente au point d'abscisse 1, d'équation y = 2x − 1. Quelle inégalité est donc vraie pour TOUT réel x ?
- A.x² ≤ 2x − 1
- B.x² ≥ 2x − 1Bonne réponse
- C.x² ≥ 2x + 1
- D.x² ≤ 2x + 1
Réponse : B — x² ≥ 2x − 1
La fonction carré est convexe sur R (car f'' = 2 est positive), donc sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes : pour tout x, x² ≥ 2x − 1. On peut le vérifier algébriquement : x² − 2x + 1 = (x − 1)², qui est toujours positif ou nul. L'égalité n'a lieu qu'en x = 1, le point de contact. Les autres options se testent vite : pour x = 0, l'inégalité x² ≥ 2x + 1 donnerait 0 ≥ 1, ce qui est faux, et pour x = 10, x² ≤ 2x + 1 donnerait 100 ≤ 21, faux également.
Qu'est-ce qu'un point d'inflexion de la courbe d'une fonction ?
- A.Un point où f' s'annule
- B.Un maximum de la fonction
- C.Un point où la tangente est horizontale
- D.Un point où la courbe change de convexitéBonne réponse
Réponse : D — Un point où la courbe change de convexité
Un point d'inflexion est un point où la courbe passe de convexe à concave (ou l'inverse) : c'est le seul endroit où elle TRAVERSE sa tangente. Les trois autres propositions parlent de f' et concernent les extremums, pas la convexité. D'ailleurs un point d'inflexion peut parfaitement se trouver sur une portion strictement croissante, avec une tangente très inclinée : la fonction cube en x = 0 en est l'exemple type.
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