Exponentielle et fonctions trigonométriques

Exercices corrigés

1. Pour tous réels a et b, à quoi est égal e^a × e^b ?

   • A.e^(a×b)
   • B.e^a + e^b
   • C.e^(a−b)
   • D.e^(a+b)Bonne réponse

   Réponse : D — e^(a+b)

   L'exponentielle transforme les SOMMES en PRODUITS : e^a × e^b = e^(a+b). C'est la règle classique des puissances, les exposants s'additionnent quand on multiplie. Exemple : e² × e³ = e⁵. La formule miroir est celle du logarithme, qui fait exactement l'inverse en transformant les produits en sommes. Le distracteur e^(a×b) correspondrait à (e^a)^b, ce qui est une autre opération.

2. Quelle est la dérivée de la fonction sinus ?

   • A.−cos(x)
   • B.−sin(x)
   • C.cos(x)Bonne réponse
   • D.sin(x)

   Réponse : C — cos(x)

   (sin x)' = cos x, sans aucun signe moins. Le moins n'apparaît que dans l'autre sens : (cos x)' = − sin x. Un moyen de contrôler : sur [0 ; π/2], le sinus est croissant (il monte de 0 à 1), et sa dérivée doit donc y être positive. Or cos(x) est bien positif sur cet intervalle. La cohérence est vérifiée, la formule est la bonne.

3. Quelle est la dérivée de f(x) = e^(3x) ?

   • A.e^(3x)
   • B.3e^(3x)Bonne réponse
   • C.3x e^(3x)
   • D.e^(3x)/3

   Réponse : B — 3e^(3x)

   On applique (e^u)' = u' e^u avec u(x) = 3x, donc u'(x) = 3. La dérivée vaut f'(x) = 3e^(3x). L'oubli du facteur 3 est l'erreur la plus fréquente et conduit à la première option. Interprétation : f' est toujours strictement positive, donc f est strictement croissante — c'est cohérent, puisque l'exposant 3x croît avec x et que l'exponentielle est croissante.

4. Quelle est la dérivée de la fonction cosinus ?

   • A.sin(x)
   • B.cos(x)
   • C.−sin(x)Bonne réponse
   • D.−cos(x)

   Réponse : C — −sin(x)

   (cos x)' = − sin x : le signe moins est indispensable. Vérifie la cohérence sur [0 ; π/2] : le cosinus y DÉCROÎT de 1 à 0, donc sa dérivée doit y être négative. Or sur cet intervalle sin(x) est positif, donc − sin(x) est bien négatif. Tout concorde. Retiens le couple complet : (cos)' = − sin et (sin)' = cos, avec le moins uniquement sur le cosinus.

5. Quelle est la solution de l'équation e^x = 5 ?

   • A.x = 5/e
   • B.x = e^5
   • C.x = 5 − e
   • D.x = ln(5)Bonne réponse

   Réponse : D — x = ln(5)

   Pour faire descendre l'exposant, on applique le logarithme népérien aux deux membres : ln(e^x) = ln(5). Comme ln(e^x) = x pour tout réel x, on obtient directement x = ln(5), soit environ 1,609. Vérification : e^1,609 vaut bien environ 5. La réponse e^5 (environ 148) est le piège de l'inversion : elle correspondrait à l'équation ln(x) = 5, pas à celle-ci.

6. Concernant la parité des fonctions trigonométriques, quelle affirmation est vraie ?

   • A.cos(−x) = cos(x) et sin(−x) = −sin(x)Bonne réponse
   • B.cos(−x) = −cos(x) et sin(−x) = sin(x)
   • C.Les deux fonctions sont paires
   • D.Les deux fonctions sont impaires

   Réponse : A — cos(−x) = cos(x) et sin(−x) = −sin(x)

   Le cosinus est PAIR : cos(−x) = cos(x), et sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Le sinus est IMPAIR : sin(−x) = −sin(x), et sa courbe est symétrique par rapport à l'origine. Un contrôle rapide sur des valeurs connues : cos(−π/3) = cos(π/3) = 1/2, tandis que sin(−π/2) = −1 alors que sin(π/2) = 1. Sur le cercle trigonométrique, cela se voit d'un coup d'œil : le passage de x à −x conserve l'abscisse (le cosinus) et inverse l'ordonnée (le sinus).

7. Quelle est la solution de l'équation e^(2x) = e^(x+3) ?

   • A.x = 1
   • B.x = 3Bonne réponse
   • C.x = −3
   • D.x = 3/2

   Réponse : B — x = 3

   L'exponentielle est strictement croissante sur R, donc injective : e^A = e^B équivaut à A = B. Ici on résout 2x = x + 3, soit x = 3. Vérification : à gauche e^6, à droite e^(3+3) = e^6. Les deux membres coïncident bien. Contrairement aux équations avec logarithme, aucune condition d'existence n'est à vérifier ici : l'exponentielle est définie sur R tout entier.

8. Quelle est la dérivée de f(x) = sin(2x) ?

   • A.cos(2x)
   • B.−2cos(2x)
   • C.2cos(2x)Bonne réponse
   • D.2sin(2x)

   Réponse : C — 2cos(2x)

   On utilise (sin u)' = u' cos u avec u(x) = 2x, donc u'(x) = 2. La dérivée vaut donc f'(x) = 2cos(2x). Deux erreurs sont possibles ici : oublier le facteur 2 venant de la dérivée de l'intérieur (première option), ou ajouter un signe moins qui n'a rien à faire là — le moins appartient à la dérivée du cosinus, pas à celle du sinus.

9. Quelles sont les solutions de l'équation cos(x) = 1/2 sur l'intervalle [0 ; 2π] ?

   • A.π/6 et 11π/6
   • B.π/3 et 5π/3Bonne réponse
   • C.π/3 et 2π/3
   • D.π/4 et 7π/4

   Réponse : B — π/3 et 5π/3

   La valeur remarquable est cos(π/3) = 1/2, ce qui donne la première solution. Le cosinus étant pair, −π/3 convient aussi ; on ramène cet angle dans [0 ; 2π] en ajoutant une période : −π/3 + 2π = 5π/3. Les solutions sont donc π/3 et 5π/3. Attention aux confusions de valeurs remarquables : cos(π/6) vaut racine de 3 sur 2, pas 1/2 (c'est SIN(π/6) qui vaut 1/2). Et cos(2π/3) vaut −1/2, avec un signe négatif.

10. Quelle est la dérivée de f(x) = e^(−x²) ?

    • A.e^(−x²)
    • B.−2x e^(−2x)
    • C.−2x e^(−x²)Bonne réponse
    • D.2x e^(−x²)

    Réponse : C — −2x e^(−x²)

    On applique (e^u)' = u' e^u avec u(x) = −x², donc u'(x) = −2x. La dérivée est f'(x) = −2x e^(−x²). Remarque importante : l'exponentielle se recopie TELLE QUELLE, avec le même exposant −x² ; la deuxième option a fauté en modifiant l'exposant. Interprétation : e^(−x²) étant toujours strictement positif, f' a le signe de −2x, donc f croît sur ]−∞ ; 0] puis décroît. C'est la fameuse courbe en cloche de la loi normale.

11. Que vaut e^0 ?

    • A.0
    • B.e
    • C.1Bonne réponse
    • D.Ce nombre n'est pas défini

    Réponse : C — 1

    Comme toute puissance d'exposant 0, e^0 = 1. C'est même une des deux conditions qui définissent la fonction exponentielle : elle est égale à sa dérivée et vaut 1 en 0. Graphiquement, la courbe de l'exponentielle coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 1). Répondre 0 est le réflexe erroné qui confond l'exposant avec le résultat.

12. Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = e^x ?

    • A.e^xBonne réponse
    • B.x e^(x−1)
    • C.1/x
    • D.e

    Réponse : A — e^x

    L'exponentielle est LA fonction qui est égale à sa propre dérivée : (e^x)' = e^x. C'est sa propriété caractéristique, et c'est ce qui la rend si utile pour modéliser une croissance proportionnelle à la quantité présente. Le distracteur x e^(x−1) applique la règle des puissances (x^n)' = n x^(n−1), mais elle ne s'applique pas ici : dans e^x, la variable est à l'EXPOSANT, pas à la base.