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Primitives et calcul intégral

Terminale · Maths · Analyse

Analyse

Les primitives d'une fonction

Jusqu'ici tu partais d'une fonction pour calculer sa dérivée. Avec les primitives, on fait le chemin inverse : on connaît la dérivée et on cherche la fonction de départ. C'est l'outil indispensable pour le calcul intégral, et donc pour tout le chapitre sur les aires — un grand classique du bac.

Combien y a-t-il de primitives ?

Si F est une primitive de f sur I, alors toutes les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme x → F(x) + k, où k est une constante réelle. Il y en a donc une infinité, et elles ne diffèrent que d'une constante : leurs courbes se déduisent les unes des autres par translation verticale.
En revanche, si on impose une condition initiale (par exemple F(0) = 3), alors la primitive devient unique.

Fonction f(x)Une primitive F(x)Sur
k (constante)kxR
x^n, n entier naturelx^(n+1)/(n+1)R
1/x²-1/x]0 ; +inf[ ou ]-inf ; 0[
1/xln(x)]0 ; +inf[
1/racine(x)2 racine(x)]0 ; +inf[
e^xe^xR
e^(ax+b)e^(ax+b)/a (avec a non nul)R
cos(x)sin(x)R
sin(x)-cos(x)R
u'(x) × e^(u(x))e^(u(x))sur I
u'(x)/u(x) avec u strictement positiveln(u(x))sur I
u'(x) × u(x)u(x)²/2sur I

Analyse

L'intégrale : calcul, aires et valeur moyenne

L'intégrale relie deux mondes : le calcul d'aire sous une courbe et le calcul de primitives. C'est ce lien, appelé théorème fondamental de l'analyse, qui rend l'intégrale si puissante : une aire se calcule sans découper la surface, juste avec deux valeurs d'une primitive.

Interprétation en aire. Si f est continue et positive sur [a ; b] avec a inférieur ou égal à b, alors l'intégrale de a à b de f(x) dx est l'aire, en unités d'aire, du domaine limité par la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b.
Si f est négative sur [a ; b], l'intégrale est négative et l'aire du domaine vaut l'opposé de l'intégrale. On parle alors d'aire algébrique : l'intégrale compte positivement ce qui est au-dessus de l'axe et négativement ce qui est en dessous.

PropriétéÉnoncéÀ quoi ça sert
Linéaritéintégrale de (a f + b g) = a × intégrale de f + b × intégrale de gDécouper un calcul terme à terme
Relation de Chaslesintégrale de a à c = intégrale de a à b + intégrale de b à cRecoller deux morceaux, ou en isoler un
Inversion des bornesintégrale de b à a de f = − intégrale de a à b de fRemettre les bornes dans le bon sens
Bornes égalesintégrale de a à a de f = 0Cas particulier immédiat
Positivitési f est positive sur [a ; b] (a inférieur à b), alors l'intégrale est positiveContrôler le signe d'un résultat
Ordresi f est inférieure ou égale à g sur [a ; b], alors l'intégrale de f est inférieure ou égale à celle de gEncadrer une intégrale non calculable

Valeur moyenne d'une fonction. La valeur moyenne de f sur [a ; b] (avec a strictement inférieur à b) est le nombre :

m = 1/(b − a) × intégrale de a à b de f(x) dx

Géométriquement, c'est la hauteur du rectangle de base [a ; b] qui aurait la même aire que le domaine sous la courbe. Exemple : la valeur moyenne de f(x) = x sur [0 ; 4] vaut (1/4) × 8 = 2.

L'intégration par parties. Quand f est un produit qu'on ne sait pas primitiver directement (typiquement x e^x, x cos(x) ou ln(x)), on utilise l'intégration par parties. Si u et v sont dérivables à dérivées continues sur [a ; b] :

intégrale de a à b de u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)] entre a et b − intégrale de a à b de u'(x)v(x) dx

Le bon réflexe : choisir u = la partie qui se simplifie en dérivant (souvent le polynôme, ou ln), et v' = la partie qu'on sait primitiver facilement.

Exercices corrigés

  1. Sur R, une primitive de la fonction f définie par f(x) = x² est :

    • A.F(x) = x³/3Bonne réponse
    • B.F(x) = 2x
    • C.F(x) = 3x²
    • D.F(x) = x³

    Réponse : A — F(x) = x³/3

    On applique la formule : une primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1). Ici n = 2, donc F(x) = x³/3. Contrôle indispensable : F'(x) = 3x²/3 = x² = f(x). C'est bon. Les options 2x et 3x² sont des DÉRIVÉES (2x est la dérivée de x², 3x² est la dérivée de x³) : tu es allé dans le mauvais sens. Et x³ a pour dérivée 3x², pas x² : il manque la division par 3.

  2. Sur l'intervalle ]0 ; +inf[, une primitive de f(x) = 1/x est :

    • A.F(x) = −1/x²
    • B.F(x) = 1/(2x²)
    • C.F(x) = ln(x)Bonne réponse
    • D.F(x) = x ln(x)

    Réponse : C — F(x) = ln(x)

    C'est LA primitive à connaître par cœur : la dérivée de ln(x) vaut 1/x sur ]0 ; +inf[, donc ln(x) est une primitive de 1/x. Attention, −1/x² est la dérivée de 1/x, pas sa primitive : tu as dérivé au lieu de primitiver. Quant à x ln(x), sa dérivée vaut ln(x) + 1, ce n'est pas 1/x. Piège fréquent : la formule x^(n+1)/(n+1) ne s'applique pas ici, car elle donnerait une division par 0.

  3. L'intégrale de 1 à 4 de 2 dx vaut :

    • A.2
    • B.8
    • C.6Bonne réponse
    • D.3

    Réponse : C — 6

    Une primitive de la fonction constante f(x) = 2 est F(x) = 2x. Donc l'intégrale vaut F(4) − F(1) = 8 − 2 = 6. Vérification géométrique : la fonction est positive, le domaine sous la courbe est un rectangle de largeur 4 − 1 = 3 et de hauteur 2, donc d'aire 3 × 2 = 6. Répondre 8, c'est calculer seulement F(4) en oubliant de retrancher F(1) ; répondre 3, c'est ne compter que la largeur.

  4. Si F est une primitive de f sur un intervalle contenant a et b, alors l'intégrale de a à b de f(x) dx est égale à :

    • A.f(b) − f(a)
    • B.F(a) − F(b)
    • C.F(b) + F(a)
    • D.F(b) − F(a)Bonne réponse

    Réponse : D — F(b) − F(a)

    C'est la définition même du calcul intégral : on évalue la primitive à la borne du HAUT, puis on retranche sa valeur à la borne du BAS, soit F(b) − F(a). Écrire F(a) − F(b) donne l'opposé (c'est l'intégrale de b à a). Utiliser f au lieu de F, c'est oublier l'étape essentielle : il faut d'abord primitiver. Et une somme F(b) + F(a) ne correspond à rien : elle dépendrait de la constante choisie, alors que l'intégrale n'en dépend pas.

  5. Sur R, une primitive de f(x) = cos(x) est :

    • A.F(x) = −sin(x)
    • B.F(x) = sin(x)Bonne réponse
    • C.F(x) = −cos(x)
    • D.F(x) = cos(x)

    Réponse : B — F(x) = sin(x)

    La dérivée de sin(x) est cos(x), donc sin(x) est une primitive de cos(x). Le signe est le piège classique : c'est en primitivant SIN que le signe moins apparaît (une primitive de sin(x) est −cos(x), car la dérivée de −cos(x) vaut sin(x)). Retiens la boucle des dérivées : sin donne cos, cos donne −sin, −sin donne −cos, −cos donne sin. Pour primitiver, on parcourt cette boucle à l'envers.

  6. L'intégrale de 0 à 2 de (2x + 1) dx vaut :

    • A.4
    • B.5
    • C.8
    • D.6Bonne réponse

    Réponse : D — 6

    Une primitive de 2x + 1 est F(x) = x² + x. Donc l'intégrale vaut F(2) − F(0) = (4 + 2) − (0 + 0) = 6. Vérification géométrique : la fonction est affine et positive sur [0 ; 2], le domaine est un trapèze de bases f(0) = 1 et f(2) = 5 et de hauteur 2, d'aire (1 + 5) × 2/2 = 6. Cohérent. Répondre 4, c'est n'avoir primitivé que 2x en oubliant le terme constant.

  7. Sur R, une primitive de f(x) = 3e^(3x) est :

    • A.F(x) = 3e^(3x)
    • B.F(x) = e^(3x)Bonne réponse
    • C.F(x) = 9e^(3x)
    • D.F(x) = e^(3x)/3

    Réponse : B — F(x) = e^(3x)

    On reconnaît la forme u' × e^u avec u(x) = 3x et u'(x) = 3 : une primitive est donc e^u, c'est-à-dire e^(3x). Contrôle par dérivation : la dérivée de e^(3x) vaut 3e^(3x) = f(x). Parfait. Répondre 9e^(3x) ou 3e^(3x), c'est avoir dérivé au lieu de primitiver. Répondre e^(3x)/3 serait la bonne réponse si f valait e^(3x) tout court, mais ici le facteur 3 est déjà présent devant l'exponentielle.

  8. F est la primitive sur R de f(x) = 2x qui vérifie F(0) = 5. Quelle est l'expression de F ?

    • A.F(x) = x² + 5Bonne réponse
    • B.F(x) = 2x + 5
    • C.F(x) = x²
    • D.F(x) = x² − 5

    Réponse : A — F(x) = x² + 5

    Les primitives de 2x sont les fonctions F(x) = x² + k. La condition initiale donne F(0) = 0² + k = k, donc k = 5 et F(x) = x² + 5. Double contrôle : F'(x) = 2x, et F(0) = 5. Les deux conditions sont remplies. Répondre 2x + 5, c'est ne pas avoir primitivé du tout ; répondre x², c'est avoir oublié la constante, et alors F(0) = 0, pas 5 ; le signe moins de x² − 5 donnerait F(0) = −5.

  9. Quelle est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre les courbes des fonctions g(x) = x et f(x) = x² sur l'intervalle [0 ; 1] ?

    • A.1/2
    • B.5/6
    • C.1/3
    • D.1/6Bonne réponse

    Réponse : D — 1/6

    Sur [0 ; 1], on a x² inférieur ou égal à x : la droite est AU-DESSUS de la parabole. L'aire vaut donc l'intégrale de 0 à 1 de (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3] entre 0 et 1 = 1/2 − 1/3 = 3/6 − 2/6 = 1/6. Répondre 1/2 ou 1/3, c'est ne calculer qu'une seule des deux intégrales. Répondre 5/6, c'est ADDITIONNER les aires au lieu de les soustraire : pense toujours courbe du haut moins courbe du bas.

  10. On sait que l'intégrale de 0 à 2 de f vaut 5 et que l'intégrale de 0 à 2 de g vaut −1. Combien vaut l'intégrale de 0 à 2 de (3f − 2g) ?

    • A.17Bonne réponse
    • B.13
    • C.14
    • D.16

    Réponse : A — 17

    Par linéarité de l'intégrale : intégrale de (3f − 2g) = 3 × intégrale de f − 2 × intégrale de g = 3 × 5 − 2 × (−1) = 15 + 2 = 17. Le piège est le double signe moins : −2 × (−1) donne bien +2, pas −2. Si tu as trouvé 13, c'est que tu as calculé 15 − 2 en oubliant que l'intégrale de g est négative. La linéarité est l'outil qui permet de découper n'importe quelle combinaison de fonctions terme à terme.

  11. Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle I diffèrent :

    • A.d'un facteur multiplicatif
    • B.d'une constanteBonne réponse
    • C.elles sont forcément égales
    • D.d'une fonction affine

    Réponse : B — d'une constante

    Si F et G sont deux primitives de f sur I, alors (F − G)' = f − f = 0 sur l'intervalle I, donc F − G est constante : elles diffèrent d'une constante k. Graphiquement, leurs courbes se déduisent l'une de l'autre par une translation verticale. Elles ne sont donc PAS égales en général (il y en a une infinité), et l'écart n'est ni multiplicatif ni affine : une différence affine ax + b aurait pour dérivée a, non nulle si a n'est pas nul.

  12. L'intégrale de 0 à 1 de e^(−x) dx vaut :

    • A.e − 1
    • B.1/e − 1
    • C.1 − 1/eBonne réponse
    • D.1/e

    Réponse : C — 1 − 1/e

    Une primitive de e^(−x) est −e^(−x) (on divise par a = −1). L'intégrale vaut donc (−e^(−1)) − (−e^0) = −1/e + 1 = 1 − 1/e, soit environ 0,632. Contrôle de vraisemblance : la fonction est positive sur [0 ; 1], donc l'intégrale doit être positive. Or 1/e − 1 est négatif : c'est le signe de la primitive oublié. Et e − 1 correspondrait à l'intégrale de e^x, pas de e^(−x).

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Ce chapitre compte 36 exercices corrigés dans l'application, avec le suivi de ta progression.

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