Suites et limites

Exercices corrigés

1. Que peut-on dire de la suite de terme général u_n = (-1)^n ?

   • A.Elle est divergente et n'a pas de limiteBonne réponse
   • B.Elle converge vers 0 lorsque n tend vers l'infini
   • C.Elle tend vers +∞ quand n devient très grand
   • D.Elle converge, sa limite est 1 ou -1 selon la parité

   Réponse : A — Elle est divergente et n'a pas de limite

   Les termes valent alternativement 1 (rangs pairs) et -1 (rangs impairs) : la suite oscille indéfiniment sans jamais se stabiliser autour d'une valeur. Elle n'a donc PAS de limite, et elle est de ce fait divergente. C'est le contre-exemple à retenir : une suite bornée n'est pas forcément convergente, et une limite, quand elle existe, est unique — la suite ne peut pas hésiter entre 1 et -1.

2. Soit u_0 = 2 et u_{n+1} = 0,5 u_n + 3. On pose v_n = u_n - 6. Quelle est l'expression explicite de u_n en fonction de n ?

   • A.u_n = 6 + 4 × 0,5^n
   • B.u_n = 2 × 0,5^n + 3n
   • C.u_n = 6 - 4 × 0,5^nBonne réponse
   • D.u_n = -4 × 0,5^n

   Réponse : C — u_n = 6 - 4 × 0,5^n

   On calcule v_{n+1} = u_{n+1} - 6 = 0,5 u_n + 3 - 6 = 0,5 u_n - 3 = 0,5 (u_n - 6) = 0,5 v_n. La suite (v_n) est donc géométrique de raison 0,5 et de premier terme v_0 = u_0 - 6 = 2 - 6 = -4. D'où v_n = -4 × 0,5^n, puis u_n = v_n + 6 = 6 - 4 × 0,5^n. Vérification indispensable : pour n = 1, la formule donne 6 - 4 × 0,5 = 4, et la relation de récurrence donne 0,5 × 2 + 3 = 4. Le distracteur avec +4 se trompe sur le signe de v_0.

3. Quelle est la limite de la suite de terme général u_n = 1/n quand n tend vers +∞ ?

   • A.0Bonne réponse
   • B.1
   • C.+∞
   • D.Elle n'a pas de limite

   Réponse : A — 0

   Quand n grandit, le dénominateur devient de plus en plus grand alors que le numérateur reste égal à 1 : le quotient devient donc de plus en plus petit, sans jamais devenir négatif. C'est l'une des limites de référence du cours : lim 1/n = 0. La suite converge vers 0 sans jamais l'atteindre.

4. Quelle est la limite de la suite définie par u_n = n² ?

   • A.0
   • B.+∞Bonne réponse
   • C.2
   • D.Elle n'a pas de limite

   Réponse : B — +∞

   C'est une limite de référence : pour tout entier p supérieur ou égal à 1, lim n^p = +∞. Ici p = 2 : la suite prend les valeurs 0, 1, 4, 9, 16, 25… et dépasse n'importe quel seuil fixé à l'avance. Elle est divergente vers +∞. Attention à la formulation « pas de limite », qui est réservée aux suites qui oscillent sans se stabiliser.

5. Quelle est la limite de la suite de terme général u_n = 0,5^n ?

   • A.0,5
   • B.+∞
   • C.0Bonne réponse
   • D.1

   Réponse : C — 0

   On applique le théorème sur la limite de q^n avec q = 0,5. Comme -1 < 0,5 < 1, la limite est 0. On le vérifie sur les premiers termes : 1 ; 0,5 ; 0,25 ; 0,125 ; 0,0625… chaque terme est la moitié du précédent, donc la suite s'écrase vers 0. Le distracteur 0,5 confond la LIMITE de la suite avec sa RAISON.

6. Quelle est la limite de la suite de terme général u_n = 2^n ?

   • A.2
   • B.0
   • C.Elle n'a pas de limite
   • D.+∞Bonne réponse

   Réponse : D — +∞

   On applique le théorème sur q^n avec q = 2. Comme q > 1, la limite est +∞. Les termes 1, 2, 4, 8, 16, 32… doublent à chaque rang et finissent par dépasser tout seuil : la suite est divergente vers +∞. Retiens le seuil critique : c'est q = 1 qui sépare les suites géométriques qui explosent de celles qui s'écrasent vers 0.

7. Soit la suite arithmétique définie par u_n = 3n - 5. Quelle est sa limite ?

   • A.+∞Bonne réponse
   • B.-5
   • C.3
   • D.-∞

   Réponse : A — +∞

   La raison de cette suite arithmétique est 3, un nombre strictement positif : la suite est croissante et augmente de 3 à chaque rang, donc elle tend vers +∞. Formellement, 3n tend vers +∞ et on lui ajoute la constante -5, ce qui ne change pas la limite. Le distracteur -5 est le premier terme u_0, et 3 est la raison : ni l'un ni l'autre n'est une limite.

8. Une suite (u_n) est croissante et majorée par 10. Que peut-on affirmer avec certitude ?

   • A.Elle converge vers 10
   • B.Elle converge vers un réel inférieur ou égal à 10Bonne réponse
   • C.Elle tend vers +∞
   • D.Elle est constante à partir d'un certain rang

   Réponse : B — Elle converge vers un réel inférieur ou égal à 10

   Le théorème de convergence monotone garantit qu'une suite croissante et majorée CONVERGE, mais il ne dit rien de la valeur de la limite : il affirme seulement son existence. Comme tous les termes restent inférieurs ou égaux à 10, la limite l'est aussi. Mais elle peut parfaitement valoir 3 ou -2 : une suite croissante majorée par 10 n'a aucune obligation de s'approcher de 10. C'est l'erreur la plus fréquente sur ce théorème.

9. Quelle est la limite de la suite de terme général u_n = (3n + 1)/(n + 2) ?

   • A.+∞
   • B.0
   • C.3Bonne réponse
   • D.1/2

   Réponse : C — 3

   On est face à une forme indéterminée du type ∞/∞. On factorise par n en haut et en bas : (3n + 1)/(n + 2) = n(3 + 1/n) / (n(1 + 2/n)), et on simplifie par n, ce qui donne (3 + 1/n)/(1 + 2/n). Comme 1/n et 2/n tendent vers 0, la limite vaut (3 + 0)/(1 + 0) = 3. Autrement dit, pour un quotient de deux polynômes de même degré, la limite est le quotient des coefficients dominants.

10. Quelle est la limite de la suite de terme général u_n = (n² - n)/(2n² + 3) ?

    • A.0
    • B.+∞
    • C.1/3
    • D.1/2Bonne réponse

    Réponse : D — 1/2

    Forme indéterminée ∞/∞ à nouveau. On factorise par n², le terme de plus haut degré : (n² - n)/(2n² + 3) = n²(1 - 1/n) / (n²(2 + 3/n²)) = (1 - 1/n)/(2 + 3/n²). Comme 1/n tend vers 0 et 3/n² aussi, la limite vaut (1 - 0)/(2 + 0) = 1/2. Le distracteur 1/3 vient d'une confusion entre le coefficient dominant 2 du dénominateur et son terme constant 3.

11. On sait que pour tout entier n supérieur ou égal à 1, -1/n est inférieur ou égal à u_n, lui-même inférieur ou égal à 1/n. Que peut-on conclure ?

    • A.(u_n) est croissante
    • B.(u_n) converge vers 0Bonne réponse
    • C.On ne peut rien conclure
    • D.(u_n) est majorée mais peut diverger

    Réponse : B — (u_n) converge vers 0

    C'est exactement le théorème des gendarmes. La suite (u_n) est encadrée par -1/n et 1/n, deux suites qui convergent TOUTES LES DEUX vers 0. Puisque les deux gendarmes ont la même limite, la suite coincée entre elles converge aussi vers 0. C'est bien le fait que les deux limites soient identiques qui autorise la conclusion : avec des limites différentes, le théorème ne s'appliquerait pas.

12. La suite définie par u_{n+1} = 0,5 u_n + 3 est convergente. Quelle est sa limite ?

    • A.3
    • B.0,5
    • C.6Bonne réponse
    • D.0

    Réponse : C — 6

    Puisque la suite converge vers un réel L, on peut passer à la limite dans la relation de récurrence : u_{n+1} et u_n tendent tous deux vers L, donc L = 0,5 L + 3. On résout : L - 0,5 L = 3, soit 0,5 L = 3, donc L = 6. Vérification : 0,5 × 6 + 3 = 3 + 3 = 6, la valeur est bien stable. Les distracteurs 3 et 0,5 sont les coefficients de la relation, pas la limite.