Succession d'épreuves et loi binomiale

Exercices corrigés

1. X suit la loi binomiale B(3 ; 1/2). Combien vaut P(X = 2) ?

   • A.1/8
   • B.3/8Bonne réponse
   • C.1/2
   • D.3/4

   Réponse : B — 3/8

   On applique la formule : P(X = 2) = C(3, 2) × (1/2)² × (1/2)^1 = 3 × 1/4 × 1/2 = 3/8. Vérification par l'arbre : sur 8 chemins équiprobables (2 × 2 × 2), ceux qui donnent exactement 2 succès sont SSE, SES et ESS, soit 3 chemins sur 8. Répondre 1/8, c'est oublier le coefficient binomial et ne compter qu'un seul chemin. Répondre 1/2, c'est confondre avec la probabilité d'un succès individuel.

2. Dans un arbre représentant 4 épreuves de Bernoulli, combien de chemins conduisent à exactement 2 succès ?

   • A.2
   • B.4
   • C.6Bonne réponse
   • D.8

   Réponse : C — 6

   Ce nombre est par définition le coefficient binomial C(4, 2), qui vaut 6. Tu peux le lire dans la ligne n = 4 du triangle de Pascal (1, 4, 6, 4, 1) ou énumérer les paires de positions occupées par les succès : SSEE, SESE, SEES, ESSE, ESES, EESS. Six chemins. Répondre 4 confondrait avec le nombre d'épreuves ; répondre 8 confondrait avec le nombre total de chemins de l'arbre, qui vaut ici 2^4 = 16.

3. X suit la loi binomiale B(4 ; 0,5). Combien vaut P(X inférieur ou égal à 1) ?

   • A.1/16
   • B.5/16Bonne réponse
   • C.4/16
   • D.11/16

   Réponse : B — 5/16

   « Au plus 1 » regroupe deux cas : X = 0 et X = 1. Avec p = 0,5, chaque chemin a pour probabilité (1/2)^4 = 1/16. P(X = 0) = C(4, 0)/16 = 1/16 et P(X = 1) = C(4, 1)/16 = 4/16. Somme : 1/16 + 4/16 = 5/16. Répondre 4/16, c'est oublier le cas X = 0. Répondre 11/16, c'est calculer l'événement contraire P(X supérieur ou égal à 2) = 1 − 5/16 = 11/16.

4. Dans un très grand stock, 2 % des pièces sont défectueuses. On en prélève 50 au hasard. Quelle expression donne la probabilité qu'au moins une pièce soit défectueuse ?

   • A.0,98^50
   • B.50 × 0,02
   • C.1 − 0,02^50
   • D.1 − 0,98^50Bonne réponse

   Réponse : D — 1 − 0,98^50

   Soit X le nombre de pièces défectueuses : X suit B(50 ; 0,02). On passe par l'événement contraire : P(X supérieur ou égal à 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,98^50, ce qui vaut environ 0,636. L'expression 0,98^50 est exactement P(X = 0), donc le contraire de ce qu'on cherche. L'expression 1 − 0,02^50 inverse p et 1 − p : « aucune défectueuse » signifie 50 pièces CONFORMES, donc c'est 0,98 qui est élevé à la puissance 50. Et 50 × 0,02 = 1 est l'espérance, pas une probabilité.

5. Parmi les égalités suivantes sur les coefficients binomiaux, laquelle est toujours vraie (pour 0 inférieur ou égal à k inférieur ou égal à n) ?

   • A.C(n, k) = C(n − 1, k)
   • B.C(n, k) = n × k
   • C.C(n, k) = C(n, n − k)Bonne réponse
   • D.C(n, k) = C(k, n)

   Réponse : C — C(n, k) = C(n, n − k)

   C'est la propriété de symétrie : choisir les k épreuves où l'on gagne revient à choisir les n − k épreuves où l'on perd, donc les deux comptages donnent le même nombre. Exemple : C(10, 3) = C(10, 7) = 120. La quatrième option échange n et k, ce qui n'a pas de sens dès que k est strictement inférieur à n (C(5, 2) = 10 alors que C(2, 5) n'est même pas défini). Et C(4, 2) = 6, ce qui n'est ni 4 × 2 = 8, ni C(3, 2) = 3 : les deux autres options tombent aussi.

6. Une machine a une probabilité 0,1 de tomber en panne un jour donné, indépendamment des autres jours. Quel est le plus petit nombre n de jours d'observation pour que la probabilité d'observer au moins une panne dépasse 0,9 ?

   • A.22Bonne réponse
   • B.21
   • C.10
   • D.23

   Réponse : A — 22

   Soit X le nombre de pannes sur n jours : X suit B(n ; 0,1). On veut 1 − 0,9^n supérieur ou égal à 0,9, c'est-à-dire 0,9^n inférieur ou égal à 0,1. En passant au logarithme népérien (attention, ln(0,9) est NÉGATIF, donc l'inégalité change de sens) : n supérieur ou égal à ln(0,1)/ln(0,9), soit environ (−2,3026)/(−0,1054) = 21,85. Le plus petit entier convenable est donc n = 22. Vérification : 0,9^21 vaut environ 0,109 (trop grand), tandis que 0,9^22 vaut environ 0,098, donc inférieur à 0,1. Répondre 10, c'est confondre avec 1/p.

7. Combien d'issues possède une épreuve de Bernoulli ?

   • A.1
   • B.2Bonne réponse
   • C.n
   • D.une infinité

   Réponse : B — 2

   Par définition, une épreuve de Bernoulli n'a que DEUX issues : le succès, de probabilité p, et l'échec, de probabilité 1 − p. C'est le socle de tout le chapitre. Le nombre n n'intervient qu'ensuite, quand on RÉPÈTE l'épreuve n fois pour former un schéma de Bernoulli. Ne confonds pas les deux niveaux : une épreuve (2 issues) et une succession de n épreuves (beaucoup d'issues possibles).

8. Si X suit la loi binomiale B(n ; p), alors l'espérance E(X) vaut :

   • A.n pBonne réponse
   • B.p(1 − p)
   • C.n p (1 − p)
   • D.n / p

   Réponse : A — n p

   Pour la loi binomiale, E(X) = n p. L'interprétation est très intuitive : si chaque épreuve a une chance p de réussir et qu'on la répète n fois, on s'attend en moyenne à n p succès. Par exemple, sur 100 lancers d'une pièce équilibrée, on attend 100 × 0,5 = 50 piles. L'expression n p (1 − p) est la VARIANCE, et p(1 − p) est la variance d'une seule épreuve de Bernoulli. Attention à ne pas mélanger ces trois formules très proches.

9. Combien vaut le coefficient binomial C(5, 0) ?

   • A.0
   • B.1Bonne réponse
   • C.5
   • D.120

   Réponse : B — 1

   C(n, 0) vaut toujours 1 : il n'y a qu'une seule façon de n'obtenir aucun succès sur n épreuves, c'est d'échouer à chaque fois. Un seul chemin dans l'arbre, donc C(5, 0) = 1. Répondre 0 est le réflexe erroné (« zéro succès donc zéro chemin ») : attention, on compte des chemins, et le chemin « que des échecs » existe bien. Répondre 5 confondrait avec C(5, 1) = 5, et 120 correspond à 5 factorielle.

10. Combien vaut le coefficient binomial C(6, 1) ?

    • A.1
    • B.36
    • C.6Bonne réponse
    • D.720

    Réponse : C — 6

    C(n, 1) = n : il y a exactement n façons de placer un unique succès parmi n épreuves, selon le rang auquel il tombe (le succès a lieu à la 1re, la 2e, ..., ou la 6e épreuve). Donc C(6, 1) = 6. Répondre 1 confondrait avec C(6, 0) ou C(6, 6). Le nombre 720 est 6 factorielle, et 36 est 6 au carré : ni l'un ni l'autre ne comptent des chemins ici.

11. X suit la loi binomiale B(10 ; 0,3). Combien vaut la variance V(X) ?

    • A.3
    • B.2,1Bonne réponse
    • C.0,21
    • D.7

    Réponse : B — 2,1

    On applique V(X) = n p (1 − p) = 10 × 0,3 × 0,7. Calcul : 10 × 0,3 = 3, puis 3 × 0,7 = 2,1. Refais-le dans l'autre ordre pour vérifier : 0,3 × 0,7 = 0,21, puis 0,21 × 10 = 2,1. Même résultat. Répondre 3, c'est donner l'espérance n p ; répondre 0,21, c'est oublier le facteur n ; répondre 7, c'est calculer n(1 − p) en oubliant p.

12. Pour pouvoir modéliser une situation par une loi binomiale, il faut que :

    • A.les épreuves aient au moins trois issues
    • B.la probabilité de succès change à chaque épreuve
    • C.les tirages soient faits sans remise
    • D.les n épreuves soient identiques, à deux issues, et indépendantesBonne réponse

    Réponse : D — les n épreuves soient identiques, à deux issues, et indépendantes

    Les trois conditions du schéma de Bernoulli sont : deux issues par épreuve, épreuves identiques (même probabilité p à chaque fois) et indépendantes (aucune influence mutuelle). C'est exactement ce que dit la dernière option. Un tirage SANS remise casse justement l'indépendance et fait varier p, donc il exclut la loi binomiale, sauf approximation explicite quand la population est très grande devant l'échantillon.