La fonction logarithme népérien

Exercices corrigés

1. Pour a et b strictement positifs, à quoi est égal ln(a × b) ?

   • A.ln a × ln b
   • B.ln a − ln b
   • C.ln a + ln bBonne réponse
   • D.(ln a)/(ln b)

   Réponse : C — ln a + ln b

   C'est la propriété fondamentale du logarithme : il transforme les produits en SOMMES, ln(a × b) = ln a + ln b. C'est le miroir exact de l'exponentielle, qui transforme les sommes en produits. Exemple concret : ln 15 = ln(3 × 5) = ln 3 + ln 5. L'erreur classique est de garder le produit à droite : ln a × ln b n'a aucune raison d'être égal à ln(ab), et un test numérique le confirme vite.

2. Exprime ln(8) en fonction de ln(2).

   • A.4 ln 2
   • B.ln 2 + 3
   • C.(ln 2)³
   • D.3 ln 2Bonne réponse

   Réponse : D — 3 ln 2

   On écrit 8 comme une puissance de 2 : 8 = 2³. La propriété ln(a^n) = n ln a donne alors ln 8 = ln(2³) = 3 ln 2. Vérification numérique : ln 2 vaut environ 0,693, donc 3 ln 2 est environ 2,079, et ln 8 vaut bien environ 2,079. Attention au piège de (ln 2)³ : l'exposant s'applique au nombre DANS le logarithme, il ressort en facteur devant, il ne reste jamais en exposant sur le logarithme.

3. Quelle est la solution de l'équation ln(x) = 2 ?

   • A.x = 2/e
   • B.x = ln 2
   • C.x = e²Bonne réponse
   • D.x = 2e

   Réponse : C — x = e²

   On applique la définition : ln(x) = 2 équivaut à x = e². On peut aussi composer les deux membres par l'exponentielle : e^(ln x) = e², et comme e^(ln x) = x pour x strictement positif, on obtient x = e². Numériquement, e² vaut environ 7,389, et on vérifie que ln(7,389) est bien proche de 2. Répondre 2e (environ 5,44) revient à multiplier au lieu d'élever à la puissance.

4. Quel est le plus petit entier n tel que 0,8^n soit strictement inférieur à 0,01 ?

   • A.n ≥ 18
   • B.n ≥ 20
   • C.n ≥ 22
   • D.n ≥ 21Bonne réponse

   Réponse : D — n ≥ 21

   On applique le logarithme, qui conserve l'inégalité car ln est croissante : n × ln(0,8) < ln(0,01). Attention maintenant : ln(0,8) est environ −0,223, donc NÉGATIF. En divisant par un nombre négatif, l'inégalité CHANGE de sens : n > ln(0,01)/ln(0,8), soit n > (−4,605)/(−0,223), environ n > 20,6. Le plus petit entier qui convient est donc 21. Vérification : 0,8^20 vaut environ 0,0115 (encore trop grand) et 0,8^21 environ 0,0092 (c'est bon). Oublier le changement de sens conduit exactement à la mauvaise réponse.

5. Quelle est la dérivée de f(x) = x ln(x) sur ]0 ; +∞[ ?

   • A.1, si l'on oublie le terme u'v du produit
   • B.ln x, si l'on oublie le terme uv' du produit
   • C.ln x + 1, la forme simplifiée après calculBonne réponse
   • D.1 + 1/x, en confondant (uv)' avec u' + v'

   Réponse : C — ln x + 1, la forme simplifiée après calcul

   C'est un produit : on applique (uv)' = u'v + uv' avec u(x) = x (donc u' = 1) et v(x) = ln x (donc v' = 1/x). On obtient f'(x) = 1 × ln x + x × (1/x) = ln x + 1. Le second terme se simplifie joliment en 1, il ne faut donc pas le laisser sous la forme x/x. Prolongement classique : f'(x) s'annule quand ln x = −1, c'est-à-dire en x = 1/e, où la fonction x ln x atteint son minimum, égal à −1/e.

6. Parmi ces égalités (avec a et b strictement positifs), laquelle est FAUSSE en général ?

   • A.ln(a × b) = ln a + ln b
   • B.ln(a/b) = ln a − ln b
   • C.ln(a + b) = ln a × ln bBonne réponse
   • D.ln(a^5) = 5 ln a

   Réponse : C — ln(a + b) = ln a × ln b

   Les trois premières règles au sens strict (produit, quotient, puissance) sont exactes. En revanche, il n'existe AUCUNE formule pour le logarithme d'une SOMME : ln(a + b) ne se décompose pas. Testons pour bien s'en convaincre avec a = b = 1 : à gauche, ln(2) vaut environ 0,693 ; à droite, ln(1) × ln(1) = 0 × 0 = 0. Les deux membres diffèrent, l'égalité est donc fausse. C'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre : dès que tu vois une somme dans un logarithme, il faut d'abord la FACTORISER si tu veux la décomposer.

7. Que vaut ln(1) ?

   • A.1
   • B.0Bonne réponse
   • C.e
   • D.Ce nombre n'est pas défini

   Réponse : B — 0

   Par définition, ln(1) est l'exposant y tel que e^y = 1. Or e^0 = 1, donc ln(1) = 0. C'est le point de départ de toute la fonction : la courbe du logarithme coupe l'axe des abscisses en x = 1. Retiens aussi son binôme ln(e) = 1, car e^1 = e. Ces deux valeurs servent en permanence pour les tableaux de signes : ln(x) est négatif avant 1 et positif après.

8. Quel est l'ensemble de définition de la fonction logarithme népérien ?

   • A.]0 ; +∞[Bonne réponse
   • B.R
   • C.[0 ; +∞[
   • D.]−∞ ; 0[

   Réponse : A — ]0 ; +∞[

   Le logarithme n'est défini que pour les réels STRICTEMENT positifs. La raison est simple : ln(x) est l'exposant y tel que e^y = x, or une exponentielle est toujours strictement positive et ne vaut jamais 0. Donc ni ln(0) ni ln(−3) n'existent. C'est pour cela que 0 est exclu : l'intervalle est ouvert, ]0 ; +∞[, et non [0 ; +∞[. En revanche, ln prend bien toutes les valeurs de R en sortie.

9. Quelle est la dérivée de la fonction ln sur ]0 ; +∞[ ?

   • A.ln x
   • B.x
   • C.−1/x²
   • D.1/xBonne réponse

   Réponse : D — 1/x

   La dérivée du logarithme népérien est ln'(x) = 1/x. C'est une formule à connaître par cœur. Sa conséquence est immédiate : sur ]0 ; +∞[, la quantité 1/x est toujours strictement positive, donc ln est strictement croissante sur tout son domaine. Attention à ne pas confondre avec la dérivée de la fonction inverse, qui vaut −1/x².

10. Que vaut ln(e) ?

    • A.0
    • B.1Bonne réponse
    • C.e
    • D.2,718

    Réponse : B — 1

    ln(e) est l'exposant y tel que e^y = e. Comme e = e^1, on a immédiatement ln(e) = 1. Ne confonds pas les deux nombres : e vaut environ 2,718, mais c'est la valeur de e, pas celle de ln(e). Petit prolongement utile : ln(e²) = 2, ln(e³) = 3, et plus généralement ln(e^x) = x pour tout réel x.

11. Quelle est la limite de ln(x) quand x tend vers +∞ ?

    • A.+∞Bonne réponse
    • B.0
    • C.1
    • D.−∞

    Réponse : A — +∞

    La fonction ln tend vers +∞ en +∞ : elle n'est pas majorée, malgré sa lenteur légendaire. Beaucoup d'élèves pensent qu'elle plafonne parce que la courbe paraît s'aplatir, mais c'est une illusion d'échelle : ln(1000) vaut environ 6,9, ln(1 000 000) environ 13,8 — ça monte toujours, très doucement. Conséquence : la courbe du logarithme n'admet AUCUNE asymptote horizontale.

12. Quelle est la limite de ln(x) quand x tend vers 0 avec x strictement positif ?

    • A.−∞Bonne réponse
    • B.0
    • C.+∞
    • D.1

    Réponse : A — −∞

    Quand x se rapproche de 0 par valeurs positives, ln(x) plonge vers −∞. Contrôle numérique : ln(0,1) vaut environ −2,3, ln(0,001) environ −6,9, ln(0,000001) environ −13,8. La courbe descend le long de l'axe des ordonnées sans jamais le toucher : la droite d'équation x = 0 est asymptote verticale. Répondre 0 est le réflexe erroné qui confond « x tend vers 0 » et « la fonction tend vers 0 ».