Calcul littéral et identités remarquables
Seconde · Maths · Nombres et calculs
Nombres et calculs
Développer, factoriser, réduire
Le calcul littéral, c'est l'art de manipuler des expressions contenant des lettres sans jamais connaître leur valeur. En seconde, ce n'est plus un chapitre isolé : c'est l'outil que tu utiliseras dans tous les autres. Résoudre une équation, étudier une fonction, démontrer une propriété géométrique — tout passe par un développement ou une factorisation bien menée. Un élève à l'aise ici gagne du temps toute l'année.
La distributivité, simple et double
Toute la mécanique repose sur deux règles :
Simple distributivité : k(a + b) = ka + kb
Double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Dans le second cas, chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde : quatre produits, jamais deux. Le moyen mnémotechnique classique consiste à tracer quatre flèches avant de commencer.
Nombres et calculs
Les trois identités remarquables
Trois développements reviennent si souvent qu'on les apprend par cœur plutôt que de les refaire à chaque fois. Ce sont les identités remarquables. Elles se lisent dans les deux sens : de gauche à droite elles développent, de droite à gauche elles factorisent. C'est ce second sens, le moins spontané, qui fait la différence dans les contrôles.
| Forme factorisée | Forme développée | Combien de termes ? | Exemple |
|---|---|---|---|
| (a + b)² | a² + 2ab + b² | 3 termes, tous positifs | (x + 3)² = x² + 6x + 9 |
| (a − b)² | a² − 2ab + b² | 3 termes, le milieu négatif | (x − 5)² = x² − 10x + 25 |
| (a + b)(a − b) | a² − b² | 2 termes seulement | (x + 4)(x − 4) = x² − 16 |
Reconnaître une identité pour factoriser. C'est le mouvement inverse, et le plus rentable. Devant une expression à factoriser, pose-toi deux questions dans cet ordre. Y a-t-il un facteur commun ? Si oui, on l'extrait en premier, toujours. Sinon, l'expression a-t-elle la forme d'une identité ? Deux carrés séparés par un moins appellent la troisième identité ; trois termes dont deux sont des carrés appellent l'une des deux premières.
À quoi ça sert, concrètement
- Résoudre une équation : x² − 9 = 0 devient (x + 3)(x − 3) = 0, donc x = −3 ou x = 3. Un produit nul se lit instantanément.
- Calculer de tête : 101² = (100 + 1)² = 10 000 + 200 + 1 = 10 201, et 99 × 101 = (100 − 1)(100 + 1) = 10 000 − 1 = 9 999.
- Démontrer : pour prouver qu'une expression est toujours positive, on la met sous forme de carré, par exemple x² + 6x + 9 = (x + 3)², qui est un carré donc positif ou nul.
- Simplifier une fraction : (x² − 4)/(x + 2) = (x + 2)(x − 2)/(x + 2) = x − 2, à condition que x ne vaille pas −2.
Exercices corrigés
Que vaut le développement de 5(x + 3) ?
- A.5x + 3
- B.5x + 15Bonne réponse
- C.x + 15
- D.5x × 15
Réponse : B — 5x + 15
La simple distributivité impose de multiplier le 5 par CHAQUE terme de la parenthèse : 5 × x = 5x et 5 × 3 = 15, d'où 5x + 15. Répondre 5x + 3 est l'erreur classique : on a oublié de distribuer le 5 au second terme. Répondre x + 15 fait l'inverse. Un contrôle en dix secondes : pour x = 1, le départ vaut 5 × 4 = 20, et 5 + 15 = 20.
Que vaut 3x + 5x − 2x après réduction ?
- A.6xBonne réponse
- B.10x
- C.6x³
- D.15x
Réponse : A — 6x
Ces trois termes sont semblables : ils ont tous la même partie littérale x. On additionne donc simplement leurs coefficients : 3 + 5 − 2 = 6, ce qui donne 6x. Répondre 10x, c'est avoir additionné le −2 au lieu de le soustraire. Répondre 6x³ revient à additionner aussi les exposants, alors qu'on ne les touche jamais dans une somme : x + x = 2x, et non x².
Comment factorise-t-on 7x + 21 ?
- A.7(x + 21)
- B.x(7 + 21)
- C.7(x + 3)Bonne réponse
- D.7x(1 + 3)
Réponse : C — 7(x + 3)
Le facteur commun est 7, puisque 21 = 7 × 3. On l'extrait : 7x + 21 = 7 × x + 7 × 3 = 7(x + 3). L'option 7(x + 21) est fausse car elle oublie de diviser le 21 par le facteur sorti ; en redéveloppant on obtiendrait 7x + 147. Vérifie toujours en redéveloppant : 7(x + 3) = 7x + 21, c'est bien le point de départ.
Comment factorise-t-on (x + 2)(x − 7) + (x + 2)(3x + 1) ?
- A.(x + 2)(2x + 8)
- B.(x + 2)(3x − 6)
- C.(x + 2)(4x + 6)
- D.(x + 2)(4x − 6)Bonne réponse
Réponse : D — (x + 2)(4x − 6)
Le facteur commun est la parenthèse (x + 2). On l'extrait et on additionne ce qui reste : (x + 2)[(x − 7) + (3x + 1)]. On réduit le crochet : x + 3x = 4x, et −7 + 1 = −6, donc 4x − 6. Résultat : (x + 2)(4x − 6). Attention à ne pas additionner les parenthèses restantes n'importe comment : c'est bien une somme terme à terme, pas un produit.
En utilisant une identité remarquable, combien vaut 99 × 101 ?
- A.9 999Bonne réponse
- B.10 000
- C.9 899
- D.10 001
Réponse : A — 9 999
On repère la structure (a − b)(a + b) avec a = 100 et b = 1 : 99 × 101 = (100 − 1)(100 + 1) = 100² − 1² = 10 000 − 1 = 9 999. C'est l'application la plus élégante de la troisième identité, et elle se fait entièrement de tête. Répondre 10 000, c'est oublier de soustraire le b². Vérification directe : 99 × 101 = 99 × 100 + 99 = 9 900 + 99 = 9 999.
Pour quelles valeurs de x l'égalité (x − 4)(x + 6) = 0 est-elle vérifiée ?
- A.x = 4 et x = 6
- B.x = −4 et x = 6
- C.x = −4 et x = −6
- D.x = 4 et x = −6Bonne réponse
Réponse : D — x = 4 et x = −6
Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Ici deux cas : soit x − 4 = 0, donc x = 4 ; soit x + 6 = 0, donc x = −6. Les solutions sont 4 et −6. L'erreur classique est de recopier les nombres visibles dans les parenthèses avec leur signe apparent (4 et 6, ou −4 et 6). Vérifie : pour x = −6, on a (−6 − 4)(−6 + 6) = (−10) × 0 = 0. C'est bien correct.
Comment factoriser complètement x² − 6x + 9 − 16 ?
- A.(x − 3)² − 16
- B.(x − 7)(x + 1)Bonne réponse
- C.(x + 1)(x + 7)
- D.(x − 3)(x − 19)
Réponse : B — (x − 7)(x + 1)
Raisonnement en deux temps. D'abord les trois premiers termes forment une identité : x² − 6x + 9 = (x − 3)², car 2 × x × 3 = 6x. L'expression devient (x − 3)² − 16, qui est maintenant une différence de carrés avec a = x − 3 et b = 4. On applique : [(x − 3) + 4][(x − 3) − 4] = (x + 1)(x − 7). L'option (x − 3)² − 16 est une étape intermédiaire correcte, mais ce n'est pas une factorisation puisqu'il reste une soustraction au niveau le plus haut. Contrôle avec x = 0 : le départ vaut 9 − 16 = −7, et (0 + 1)(0 − 7) = −7.
Quelle est la forme développée de (a + b)² ?
- A.a² + b²
- B.a² − 2ab + b²
- C.a² + ab + b²
- D.a² + 2ab + b²Bonne réponse
Réponse : D — a² + 2ab + b²
En développant (a + b)(a + b) par double distributivité : a×a = a², a×b = ab, b×a = ab, b×b = b². Les deux termes ab s'additionnent pour donner 2ab, d'où a² + 2ab + b². Le piège numéro un des maths de lycée est d'écrire a² + b² en oubliant le double produit : teste avec a = 3 et b = 4, (3+4)² = 49 alors que 9 + 16 = 25. L'option avec −2ab correspond à (a − b)², et celle avec un seul ab oublie qu'il y a deux produits croisés.
Que vaut le développement de (x + 4)(x − 4) ?
- A.x² + 16
- B.x² − 8x − 16
- C.x² − 16Bonne réponse
- D.x² − 8x + 16
Réponse : C — x² − 16
C'est la troisième identité remarquable : (a + b)(a − b) = a² − b², avec a = x et b = 4. Donc (x + 4)(x − 4) = x² − 4² = x² − 16. Si tu développes à la main : x² − 4x + 4x − 16, et les deux termes en x se compensent exactement. C'est la seule identité dont le résultat n'a que deux termes. L'option x² − 8x + 16 correspond à (x − 4)², une expression différente.
Que vaut 9 − (2x − 4) après réduction ?
- A.13 − 2xBonne réponse
- B.5 − 2x
- C.9 − 2x − 4
- D.2x + 5
Réponse : A — 13 − 2x
Le signe moins devant la parenthèse change le signe de TOUS les termes qu'elle contient : 9 − (2x − 4) = 9 − 2x + 4 = 13 − 2x. L'erreur la plus courante consiste à ne changer que le premier signe, ce qui donne 5 − 2x. Contrôle avec x = 0 : le départ vaut 9 − (−4) = 13, et 13 − 0 = 13. La réponse 5 aurait donné 5, donc elle est bien fausse.
Que vaut le développement réduit de (2x + 3)(x − 5) ?
- A.2x² − 15
- B.2x² + 7x − 15
- C.2x² − 7x + 15
- D.2x² − 7x − 15Bonne réponse
Réponse : D — 2x² − 7x − 15
Double distributivité, quatre produits : 2x × x = 2x², 2x × (−5) = −10x, 3 × x = 3x, 3 × (−5) = −15. On réduit les termes en x : −10x + 3x = −7x. Résultat : 2x² − 7x − 15. L'option 2x² − 15 oublie purement et simplement les produits croisés. Vérification pour x = 1 : (2+3)(1−5) = −20, et 2 − 7 − 15 = −20. C'est cohérent.
Comment factorise-t-on x² − 49 ?
- A.(x − 7)²
- B.(x + 7)(x − 7)Bonne réponse
- C.(x + 49)(x − 49)
- D.x(x − 49)
Réponse : B — (x + 7)(x − 7)
Deux termes séparés par un signe moins, et les deux sont des carrés : c'est la différence de carrés a² − b² = (a + b)(a − b), avec a = x et b = 7 puisque 7² = 49. Donc x² − 49 = (x + 7)(x − 7). L'option (x − 7)² est fausse : en la développant on obtiendrait x² − 14x + 49, qui contient un terme en x. Et (x + 49)(x − 49) confond le nombre 49 avec sa racine carrée 7.
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Ce chapitre compte 35 exercices corrigés dans l'application, avec le suivi de ta progression.
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