Variations et représentation graphique
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Fonctions
Sens de variation et tableau de variations
Étudier une fonction, c'est avant tout raconter comment elle monte et comment elle descend. En seconde, on apprend à dire cela proprement : avec le vocabulaire « croissante / décroissante », puis à le résumer dans un tableau de variations, l'outil que tu utiliseras jusqu'en terminale.
Un sens de variation se donne toujours sur un intervalle. Dire « f est croissante » sans préciser où n'a aucun sens. Et surtout : si f est croissante sur [-3 ; 0] et croissante sur [2 ; 5], on ne peut pas en conclure qu'elle est croissante sur [-3 ; 5] — on ignore complètement ce qui se passe entre 0 et 2. C'est exactement la même prudence que pour la fonction inverse, décroissante sur chaque branche mais pas sur R*.
Le tableau de variations
Le tableau de variations résume tout : sur la première ligne les valeurs remarquables de x rangées dans l'ordre croissant, sur la deuxième des flèches (montante = croissante, descendante = décroissante) avec les images aux extrémités. Prenons une fonction f définie sur [-4 ; 6], que nous garderons comme exemple :
| x | -4 | → | -1 | → | 3 | → | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sens | décroissante | croissante | décroissante | ||||
| f(x) | 5 | ↘ | -3 | ↗ | 7 | ↘ | 1 |
Fonctions
Lire et exploiter une représentation graphique
La courbe représentative d'une fonction f, notée Cf, est l'ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)). Tout ce que tu sais faire par le calcul, tu dois savoir le lire sur le graphique — et c'est très souvent ce que demandent les contrôles.
| Ce qu'on cherche (résolution graphique) | Ce qu'on trace | Ce qu'on lit |
|---|---|---|
| f(x) = k | La droite horizontale y = k | Les ABSCISSES des points d'intersection avec Cf |
| f(x) < k | La droite horizontale y = k | Les abscisses où Cf est STRICTEMENT EN DESSOUS de la droite |
| f(x) > k | La droite horizontale y = k | Les abscisses où Cf est STRICTEMENT AU-DESSUS de la droite |
| f(x) = g(x) | Les deux courbes Cf et Cg | Les abscisses des points d'intersection des deux courbes |
| f(x) > g(x) | Les deux courbes Cf et Cg | Les abscisses où Cf est au-dessus de Cg |
| f(x) ≤ 0 | L'axe des abscisses (droite y = 0) | Les abscisses où Cf est sur ou en dessous de l'axe |
Le cas des fonctions affines
Pour une fonction affine f(x) = ax + b, la courbe est une droite et le sens de variation se lit directement sur le coefficient directeur a : si a > 0 la fonction est croissante, si a < 0 elle est décroissante, et si a = 0 elle est constante. Attention : c'est le signe de a qui compte, jamais celui de b.
Exercices corrigés
Que signifie « f est croissante sur l'intervalle I » ?
- A.Pour tous a et b de I, si a < b alors f(a) ≤ f(b)Bonne réponse
- B.Pour tous a et b de I, si a < b alors f(a) ≥ f(b)
- C.f(x) est toujours positive sur I
- D.La courbe de f est une droite qui monte
Réponse : A — Pour tous a et b de I, si a < b alors f(a) ≤ f(b)
Une fonction croissante conserve l'ordre : si l'on prend deux nombres de l'intervalle et que le premier est plus petit, alors son image est plus petite (ou égale). L'option 2 décrit une fonction décroissante. L'option 3 confond variation et signe : une fonction peut être croissante tout en restant négative (par exemple f(x) = x - 10 sur [0 ; 5]). Enfin, une fonction croissante n'est pas forcément affine, sa courbe peut être n'importe quelle courbe qui monte.
Dans un tableau de variations, que signifie une flèche qui monte (↗) ?
- A.La fonction est positive sur cet intervalle
- B.La fonction est croissante sur cet intervalleBonne réponse
- C.La fonction atteint son maximum sur cet intervalle
- D.La courbe est au-dessus de l'axe des ordonnées
Réponse : B — La fonction est croissante sur cet intervalle
Une flèche montante indique que la fonction est croissante sur l'intervalle correspondant : les images augmentent quand x augmente. Attention à ne pas confondre variation et signe : une fonction peut être croissante tout en prenant des valeurs négatives — par exemple si elle monte de -8 à -2. Et une flèche montante n'a rien à voir avec un maximum, qui se lit au bout d'une flèche, pas sur la flèche elle-même.
Avec la même fonction f (décroissante de 5 à -3, puis croissante de -3 à 7, puis décroissante de 7 à 1), quel est le maximum de f sur [-4 ; 6] ?
- A.7Bonne réponse
- B.6
- C.3
- D.5
Réponse : A — 7
Le maximum est la plus grande valeur atteinte : parmi 5, -3, 7 et 1, c'est 7. Ce maximum est atteint en x = 3, au sommet du tableau. Répondre 3 confond la valeur et l'abscisse ; répondre 6 donne la borne droite de l'intervalle de définition ; et 5 n'est que la valeur de départ en -4, qui n'est qu'un maximum local sur le premier morceau.
Laquelle de ces phrases traduit correctement « f est décroissante sur I » ?
- A.Il existe a et b de I tels que a < b et f(a) > f(b)
- B.f(x) est négative pour tout x de I
- C.La courbe de f descend vers l'axe des abscisses
- D.Pour tous a et b de I, si a < b alors f(a) ≥ f(b)Bonne réponse
Réponse : D — Pour tous a et b de I, si a < b alors f(a) ≥ f(b)
La décroissance inverse l'ordre, et cela doit être vrai POUR TOUS les couples de l'intervalle. L'option 1 est piégeuse : le « il existe » ne suffit pas du tout, car n'importe quelle fonction qui descend un instant vérifierait cette phrase sans être décroissante partout. L'option 2 confond variation et signe. L'option 3 est une image, pas une définition : une fonction décroissante peut très bien rester au-dessus de l'axe des abscisses.
Toujours avec f qui décroît de 5 à -3, croît de -3 à 7, puis décroît de 7 à 1 : combien l'équation f(x) = 8 admet-elle de solutions ?
- A.1 solution
- B.2 solutions
- C.3 solutions
- D.Aucune solutionBonne réponse
Réponse : D — Aucune solution
Le maximum de f sur son intervalle de définition vaut 7. Aucune image ne peut donc dépasser 7, et en particulier aucune ne vaut 8. Graphiquement, la droite horizontale d'équation y = 8 passe entièrement au-dessus de la courbe : il n'y a aucun point d'intersection, donc aucune solution. Réflexe utile : avant de compter, compare toujours k au maximum et au minimum.
On sait que f est croissante sur [-3 ; 0] et croissante sur [2 ; 5]. Peut-on affirmer que f est croissante sur [-3 ; 5] ?
- A.Non : on ne sait rien de ce qui se passe entre 0 et 2Bonne réponse
- B.Oui, il suffit de réunir les deux intervalles
- C.Oui, car une fonction croissante le reste toujours
- D.Non, car f n'est pas définie entre 0 et 2
Réponse : A — Non : on ne sait rien de ce qui se passe entre 0 et 2
Le comportement de f sur ]0 ; 2[ est inconnu : elle pourrait très bien y chuter brutalement, ce qui casserait la croissance globale. On ne réunit donc jamais deux intervalles de croissance sans information sur ce qui les sépare. C'est exactement le même raisonnement que pour la fonction inverse, décroissante sur chacune de ses deux branches mais pas sur leur réunion. Attention, rien ne dit que f n'est pas définie entre 0 et 2 : on manque simplement d'information.
Toujours avec f qui décroît de 5 à -3 sur [-4 ; -1], croît de -3 à 7 sur [-1 ; 3], puis décroît de 7 à 1 sur [3 ; 6] : combien l'équation f(x) = 6 admet-elle de solutions ?
- A.1 solution
- B.3 solutions
- C.2 solutionsBonne réponse
- D.Aucune solution
Réponse : C — 2 solutions
On examine chaque morceau monotone. Sur [-4 ; -1], les images balaient l'intervalle [-3 ; 5] : 6 n'y appartient pas, donc 0 solution. Sur [-1 ; 3], les images balaient [-3 ; 7] : 6 y appartient, donc 1 solution. Sur [3 ; 6], les images balaient [1 ; 7] : 6 y appartient, donc 1 solution. Total : 2 solutions. Graphiquement, la droite y = 6 coupe bien la courbe en deux points.
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = (x - 3)² + 2. Quel est son minimum et où est-il atteint ?
- A.Minimum 3, atteint en x = 2
- B.Minimum -2, atteint en x = 3
- C.Minimum 0, atteint en x = 0
- D.Minimum 2, atteint en x = 3Bonne réponse
Réponse : D — Minimum 2, atteint en x = 3
Un carré est toujours positif ou nul, donc (x - 3)² ≥ 0 et par conséquent f(x) ≥ 2 pour tout réel x. L'égalité a lieu quand (x - 3)² = 0, c'est-à-dire quand x = 3. Le minimum vaut donc 2, atteint en x = 3. Vérifie : f(3) = 0 + 2 = 2, et par exemple f(5) = 4 + 2 = 6, bien plus grand. Attention au piège de signe : dans (x - 3)², c'est x = +3 qui annule la parenthèse.
Deux courbes Cf et Cg sont tracées dans le même repère. Comment résoudre graphiquement l'inéquation f(x) > g(x) ?
- A.On relève les abscisses des points où Cf est strictement au-dessus de CgBonne réponse
- B.On relève les ordonnées des points où Cf est au-dessus de Cg
- C.On relève les abscisses des points d'intersection des deux courbes
- D.On relève les abscisses où Cf est croissante et Cg décroissante
Réponse : A — On relève les abscisses des points où Cf est strictement au-dessus de Cg
f(x) > g(x) signifie que, pour une même abscisse x, le point de Cf a une ordonnée plus grande que celui de Cg : la courbe de f est donc au-dessus de celle de g. Comme pour toute inéquation, la réponse est un ensemble de valeurs de x, donc des abscisses, à donner sous forme d'intervalles. Les points d'intersection, eux, résolvent l'ÉQUATION f(x) = g(x) : ce sont les bornes de la réponse, pas la réponse.
Reprends f qui décroît de 5 à -3 sur [-4 ; -1], croît de -3 à 7 sur [-1 ; 3], puis décroît de 7 à 1 sur [3 ; 6]. Combien l'équation f(x) = 4 admet-elle de solutions ?
- A.1 solution
- B.Aucune solution
- C.2 solutions
- D.3 solutionsBonne réponse
Réponse : D — 3 solutions
On teste les trois morceaux monotones un par un. Sur [-4 ; -1], les images vont de 5 à -3 : elles balaient [-3 ; 5], qui contient 4, donc 1 solution. Sur [-1 ; 3], les images vont de -3 à 7 : l'intervalle [-3 ; 7] contient 4, donc 1 solution. Sur [3 ; 6], les images vont de 7 à 1 : l'intervalle [1 ; 7] contient 4, donc 1 solution. Total : 3 solutions. La plupart des élèves n'en trouvent que 2 en oubliant la première branche descendante — pense bien à balayer TOUS les morceaux du tableau.
La courbe d'une fonction f passe par le point de coordonnées (3 ; 5). Que peut-on en déduire ?
- A.f(5) = 3
- B.3 est l'image de 5
- C.f(3) = 5Bonne réponse
- D.f(3) = f(5)
Réponse : C — f(3) = 5
Un point (a ; b) appartient à la courbe de f si et seulement si f(a) = b. Ici a = 3 (l'abscisse) et b = 5 (l'ordonnée), donc f(3) = 5 : 5 est l'image de 3, et 3 est un antécédent de 5. L'erreur classique consiste à inverser abscisse et ordonnée. Retiens l'ordre : on écrit toujours (x ; y), donc (antécédent ; image).
Une fonction f définie sur [-4 ; 6] décroît de 5 à -3 sur [-4 ; -1], croît de -3 à 7 sur [-1 ; 3], puis décroît de 7 à 1 sur [3 ; 6]. Quel est le minimum de f sur [-4 ; 6] ?
- A.-4
- B.1
- C.-1
- D.-3Bonne réponse
Réponse : D — -3
Le minimum est la plus petite VALEUR prise par la fonction, donc la plus petite des ordonnées apparaissant dans le tableau : parmi 5, -3, 7 et 1, la plus petite est -3. Le minimum vaut donc -3, et il est atteint en x = -1. Répondre -1 est le piège classique : -1 est l'abscisse où le minimum est atteint, pas le minimum. Et -4 est simplement la borne gauche de l'intervalle d'étude.
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