La notion de fonction
Seconde · Maths · Fonctions
Fonctions
Fonction, image, antécédent : le vocabulaire de base
Une fonction, c'est une machine à transformer les nombres : tu entres un nombre, elle en ressort un autre, toujours le même pour une entrée donnée. Ce chapitre est le socle de toute l'analyse : les fonctions affines, carré, inverse, puis les dérivées en Première, reposent toutes sur le vocabulaire installé ici. Prends le temps de le maîtriser, il ne changera plus jamais.
Calculer une image, c'est remplacer. Calculer f(a), c'est remplacer chaque x de l'expression par a, en mettant a entre parenthèses s'il est négatif, puis en appliquant les priorités opératoires.
Si f(x) = x² − 3x, alors f(−2) = (−2)² − 3 × (−2) = 4 + 6 = 10.
Les parenthèses évitent l'erreur la plus fréquente de l'année : écrire −2² = −4 au lieu de (−2)² = 4.
L'ensemble de définition
Certaines expressions ne se calculent pas pour toutes les valeurs de x. Il faut donc écarter les valeurs interdites : celles qui annulent un dénominateur, et celles qui rendent négatif ce qui se trouve sous une racine carrée.
| Expression de f(x) | Contrainte | Ensemble de définition |
|---|---|---|
| 3x − 7 (ou tout polynôme) | aucune | R, tous les réels |
| 1/(x − 2) | x − 2 différent de 0 | R privé de 2 |
| (x + 1)/(2x − 6) | 2x − 6 différent de 0, soit x différent de 3 | R privé de 3 |
| racine de (x − 3) | x − 3 supérieur ou égal à 0 | l'intervalle [3 ; +infini[ |
| racine de (5 − x) | 5 − x supérieur ou égal à 0 | l'intervalle ]−infini ; 5] |
Fonctions
Courbe représentative et lectures graphiques
Une fonction peut se donner de trois façons : par une expression (f(x) = 2x + 1), par un tableau de valeurs, ou par une courbe. Savoir passer d'une forme à l'autre, c'est exactement ce qu'on te demandera en contrôle.
Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation
- f(x) = k : on cherche les ABSCISSES des points d'intersection de la courbe avec la droite horizontale d'équation y = k.
- f(x) < k : on cherche les abscisses des points de la courbe situés STRICTEMENT EN DESSOUS de cette droite.
- f(x) > k : les abscisses des points situés au-dessus de la droite.
- f(x) = g(x) : les abscisses des points d'intersection des DEUX courbes.
- f(x) > g(x) : les abscisses où la courbe de f est au-dessus de celle de g.
Exercices corrigés
La courbe représentative d'une fonction f est l'ensemble des points de coordonnées :
- A.(f(x) ; x)
- B.(x ; x)
- C.(0 ; f(x))
- D.(x ; f(x))Bonne réponse
Réponse : D — (x ; f(x))
L'abscisse est la valeur d'entrée x, l'ordonnée est la valeur de sortie f(x) : les points ont donc pour coordonnées (x ; f(x)). L'option 1 inverse les rôles des deux axes, ce qui donnerait une tout autre courbe. L'option 2 décrit la droite d'équation y = x, et l'option 3 ne décrit que des points de l'axe des ordonnées.
Soit f définie sur R par f(x) = 5 − x². Quels sont les antécédents de 1 par f ?
- A.2 seulement
- B.−2 et 2Bonne réponse
- C.4 seulement
- D.−4 et 4
Réponse : B — −2 et 2
On résout 5 − x² = 1, donc −x² = 1 − 5 = −4, d'où x² = 4. Cette équation a DEUX solutions : x = −2 et x = 2. Vérification : f(−2) = 5 − 4 = 1 et f(2) = 5 − 4 = 1. Répondre 4, c'est s'être arrêté à x² = 4 sans résoudre. Et n'oublie jamais la solution négative : c'est l'oubli le plus fréquent de tout le chapitre.
Quel est l'ensemble de définition de la fonction f définie par f(x) = (x + 1)/(2x − 6) ?
- A.R privé de −1
- B.R privé de 3Bonne réponse
- C.R privé de 6
- D.R privé de 0
Réponse : B — R privé de 3
Seul le dénominateur impose une condition : 2x − 6 doit être différent de 0. Or 2x − 6 = 0 équivaut à 2x = 6, donc à x = 3. La valeur interdite est donc 3, et l'ensemble de définition est R privé de 3. Répondre « R privé de 6 », c'est s'être arrêté à 2x = 6 sans diviser par 2. Répondre « R privé de −1 », c'est avoir annulé le NUMÉRATEUR : or un numérateur nul ne pose aucun problème, il donne simplement f(−1) = 0.
Résoudre graphiquement l'inéquation f(x) < 3 revient à :
- A.déterminer les ordonnées des points de la courbe situés au-dessus de la droite d'équation y = 3
- B.lire l'image de 3 par f, c'est-à-dire calculer f(3) directement sur le graphique
- C.déterminer les abscisses des points de la courbe situés au-dessus de la droite d'équation y = 3
- D.déterminer les abscisses des points de la courbe situés strictement en dessous de la droite d'équation y = 3Bonne réponse
Réponse : D — déterminer les abscisses des points de la courbe situés strictement en dessous de la droite d'équation y = 3
L'inégalité f(x) < 3 dit que l'ordonnée du point de la courbe est plus petite que 3 : le point est donc SOUS la droite horizontale d'équation y = 3. Et comme on résout en x, les solutions sont les ABSCISSES de ces points, jamais leurs ordonnées. Deux pièges cumulés dans les distracteurs : confondre « en dessous » et « au-dessus » (le sens de l'inégalité), et confondre abscisses et ordonnées (la nature des solutions).
Parmi ces affirmations sur les fonctions, laquelle est VRAIE ?
- A.Un nombre peut avoir plusieurs antécédents par une même fonctionBonne réponse
- B.Un nombre peut avoir plusieurs images par une même fonction
- C.Tout nombre réel admet au moins un antécédent par n'importe quelle fonction
- D.Une fonction ne peut jamais associer la même image à deux nombres différents
Réponse : A — Un nombre peut avoir plusieurs antécédents par une même fonction
La dissymétrie image / antécédent est le point clé du chapitre. L'image est UNIQUE (c'est la définition même d'une fonction), donc l'option 2 est fausse. Les antécédents, eux, peuvent être multiples : avec f(x) = x², le nombre 9 en a deux, −3 et 3 — ce qui rend l'option 1 vraie et l'option 4 fausse. Enfin, un nombre peut n'avoir AUCUN antécédent : toujours avec f(x) = x², le nombre −5 n'en a pas, puisqu'un carré n'est jamais négatif. L'option 3 est donc fausse elle aussi.
Définir une fonction f sur un ensemble D, c'est associer à chaque nombre x de D :
- A.plusieurs valeurs possibles, au choix
- B.un unique nombre réel, noté f(x)Bonne réponse
- C.toujours un nombre positif
- D.le nombre x lui-même
Réponse : B — un unique nombre réel, noté f(x)
L'unicité est le cœur de la définition : à une entrée x correspond une sortie f(x) et une seule. C'est ce qui distingue une fonction d'une simple relation. Rien n'oblige f(x) à être positif (f(x) = −x² est une fonction parfaitement valable), ni à valoir x (ce cas particulier s'appelle la fonction identité).
Soit f la fonction définie par f(x) = 2x + 5. Combien vaut f(3) ?
- A.11Bonne réponse
- B.8
- C.13
- D.2
Réponse : A — 11
On remplace x par 3 : f(3) = 2 × 3 + 5 = 6 + 5 = 11. Répondre 8, c'est avoir calculé 3 + 5 en oubliant de multiplier par 2. Répondre 13, c'est avoir fait 2 × (3 + 5) : les priorités opératoires imposent la multiplication AVANT l'addition, sans parenthèses supplémentaires.
On sait que f(4) = 7. Comment appelle-t-on le nombre 7 ?
- A.l'antécédent de 4 par f
- B.l'ensemble de définition de f
- C.la variable de f
- D.l'image de 4 par fBonne réponse
Réponse : D — l'image de 4 par f
Le sens de lecture est toujours le même : on entre 4 dans la machine, elle renvoie 7. Le résultat 7 est donc l'IMAGE de 4. Et symétriquement, 4 est un antécédent de 7. L'erreur numéro un de l'année consiste à inverser ces deux mots : garde en tête que l'image est ce qui SORT.
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x². Quelle est l'image de −3 par f ?
- A.−9
- B.6
- C.9Bonne réponse
- D.−6
Réponse : C — 9
f(−3) = (−3)² = (−3) × (−3) = 9. Les parenthèses sont indispensables : sans elles, on écrirait −3², qui vaut −9 car le carré porterait uniquement sur le 3. Répondre 6, c'est confondre le carré avec le double. Retiens que le carré d'un nombre négatif est toujours positif.
Sur un graphique, comment lit-on l'image de 2 par la fonction f ?
- A.On cherche l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 2Bonne réponse
- B.On cherche l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée 2
- C.On repère l'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées
- D.On additionne 2 à la valeur de f en 0
Réponse : A — On cherche l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 2
Chercher une image, c'est partir d'un x : on repère 2 sur l'axe des abscisses, on se déplace verticalement jusqu'à la courbe, et on lit l'ordonnée du point atteint. L'option 2 décrit au contraire la recherche d'un ANTÉCÉDENT de 2. L'option 3 donnerait f(0), c'est-à-dire l'image de 0 et non celle de 2.
Soit f définie sur R par f(x) = x² − 3x. Combien vaut f(4) ?
- A.13
- B.4Bonne réponse
- C.−4
- D.52
Réponse : B — 4
f(4) = 4² − 3 × 4 = 16 − 12 = 4. Répondre 13, c'est avoir calculé 16 − 3 en oubliant de multiplier le 3 par 4. Répondre 52, c'est avoir compris (x² − 3) × x, soit (16 − 3) × 4 : l'expression x² − 3x se lit « x au carré MOINS 3 fois x », les deux termes sont séparés. Répondre −4, c'est avoir inversé la soustraction (12 − 16).
Soit f définie sur R par f(x) = x² − 3x. Quels sont les antécédents de 0 par f ?
- A.0 seulement
- B.3 seulement
- C.0 et 3Bonne réponse
- D.−3 et 3
Réponse : C — 0 et 3
Chercher les antécédents de 0, c'est résoudre f(x) = 0, soit x² − 3x = 0. On factorise par x : x(x − 3) = 0. Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul, donc x = 0 ou x − 3 = 0, c'est-à-dire x = 0 ou x = 3. Vérification : f(0) = 0 − 0 = 0 et f(3) = 9 − 9 = 0. Ne t'arrête surtout pas à une seule solution : la factorisation en donne deux.
S'entraîner sur ce chapitre
Ce chapitre compte 36 exercices corrigés dans l'application, avec le suivi de ta progression.
Commencer les exercices