Fonctions carré et inverse
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Fonctions
La fonction carré
En seconde, tu rencontres tes premières fonctions de référence : des fonctions que l'on connaît par cœur, avec leur courbe, leurs variations et leurs pièges. La fonction carré est la plus utilisée de toutes : elle apparaît dès qu'on parle d'aire, de distance ou de vitesse.
| x | -3 | -2 | -1 | -0,5 | 0 | 0,5 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x² | 9 | 4 | 1 | 0,25 | 0 | 0,25 | 1 | 4 | 9 |
Deux choses sautent aux yeux dans ce tableau. D'abord, tous les carrés sont positifs ou nuls : x² est supérieur ou égal à 0 pour tout x. Ensuite, deux nombres opposés ont le même carré : (-3)² = 3² = 9. On dit que la fonction carré est paire, et sa parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Variations : elle change de sens en 0
La fonction carré est décroissante sur ]-∞ ; 0] puis croissante sur [0 ; +∞[. Elle atteint donc son minimum en 0, et ce minimum vaut 0. Concrètement : sur les nombres négatifs, plus le nombre est petit (loin de 0), plus son carré est grand — c'est là que se cachent la plupart des erreurs.
Fonctions
La fonction inverse
La fonction inverse est la deuxième grande fonction de référence de l'année. Elle modélise tout ce qui est inversement proportionnel : plus la vitesse augmente, plus la durée du trajet diminue. Sa particularité : elle a une valeur interdite.
| x | -4 | -2 | -1 | -0,5 | 0 | 0,5 | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1/x | -0,25 | -0,5 | -1 | -2 | interdit | 2 | 1 | 0,5 | 0,25 |
Ce que révèle le tableau : symétrie et variations
Quand x devient très grand, 1/x devient très proche de 0 sans jamais l'atteindre ; quand x se rapproche de 0, 1/x « explose ». Deux nombres opposés ont des inverses opposés : 1/(-2) = -1/2. La fonction inverse est donc impaire, et son hyperbole est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Côté variations, elle est décroissante sur ]-∞ ; 0[ et décroissante sur ]0 ; +∞[. Mais surtout, elle n'est PAS décroissante sur R* tout entier : -1 < 2 alors que 1/(-1) = -1 < 1/2 = 0,5. L'ordre n'est donc pas inversé quand on saute d'une branche à l'autre.
| Fonction carré | Fonction inverse | |
|---|---|---|
| Expression | f(x) = x² | g(x) = 1/x |
| Ensemble de définition | R | R* (0 est interdit) |
| Courbe | Parabole de sommet O | Hyperbole à deux branches |
| Parité et symétrie | Paire — axe des ordonnées | Impaire — origine du repère |
| Signe des images | Toujours positives ou nulles | Du même signe que x |
| Variations | Décroissante sur ]-∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[ | Décroissante sur ]-∞ ; 0[ ET sur ]0 ; +∞[ |
| Extremum | Minimum 0 atteint en x = 0 | Aucun extremum |
Exercices corrigés
Quel est l'ensemble de définition de la fonction inverse ?
- A.R, sans aucune restriction
- B.[0 ; +∞[, les réels positifs
- C.R privé de 0, noté R*Bonne réponse
- D.]0 ; +∞[, vraiment positifs
Réponse : C — R privé de 0, noté R*
La fonction inverse associe à x le nombre 1/x. La seule valeur interdite est 0, car on ne divise jamais par zéro. Elle est donc définie sur R*, c'est-à-dire tous les réels sauf 0. Attention : les nombres négatifs ont bien un inverse (1/(-2) = -0,5), donc ]0 ; +∞[ est trop restrictif.
Comment s'appelle la courbe représentative de la fonction carré ?
- A.Une paraboleBonne réponse
- B.Une hyperbole
- C.Une droite
- D.Un cercle
Réponse : A — Une parabole
La courbe de la fonction carré est une parabole, de sommet l'origine O du repère et tournée vers le haut. L'hyperbole, elle, est la courbe de la fonction inverse : ne les confonds pas. Une droite correspondrait à une fonction affine du type f(x) = ax + b.
La fonction carré est paire. Sa parabole est donc symétrique par rapport à :
- A.L'axe des abscisses
- B.L'origine du repère
- C.L'axe des ordonnéesBonne réponse
- D.La droite d'équation y = x
Réponse : C — L'axe des ordonnées
Deux nombres opposés ont le même carré : (-3)² = 3² = 9. Les points de la parabole d'abscisses -3 et 3 ont donc la même ordonnée : la courbe se replie sur elle-même autour de l'axe des ordonnées. C'est la définition d'une fonction paire. La symétrie par rapport à l'origine, elle, caractérise les fonctions impaires comme la fonction inverse.
Résous l'équation 1/x = 4.
- A.x = 4
- B.x = -4
- C.x = 0,4
- D.x = 0,25Bonne réponse
Réponse : D — x = 0,25
1/x = 4 signifie que x est l'inverse de 4, donc x = 1/4 = 0,25. On peut aussi passer par le produit en croix : 1/x = 4/1 donne 4x = 1, donc x = 1/4. Vérification : 1/0,25 = 4, c'est bien cela. Répondre 4 revient à confondre un nombre et son inverse, et 0,4 confond 1/4 avec 4/10.
Comment comparer (-5)² et (-3)² sans les calculer ?
- A.(-5)² < (-3)², car -5 < -3 et l'ordre est conservé
- B.(-5)² = (-3)², car les deux nombres sont négatifs
- C.On ne peut pas comparer les carrés de deux nombres négatifs
- D.(-5)² > (-3)², car la fonction carré est décroissante sur les négatifsBonne réponse
Réponse : D — (-5)² > (-3)², car la fonction carré est décroissante sur les négatifs
Sur ]-∞ ; 0], la fonction carré est DÉCROISSANTE : quand le nombre diminue, son carré augmente. Comme -5 < -3 ≤ 0, on en déduit (-5)² > (-3)². Le calcul confirme : 25 > 9. L'erreur classique est de croire que l'ordre est toujours conservé — c'est vrai seulement pour les nombres positifs.
Lequel de ces points appartient à l'hyperbole d'équation y = 1/x ?
- A.(2 ; 0,5)Bonne réponse
- B.(2 ; 2)
- C.(-2 ; 0,5)
- D.(0 ; 0)
Réponse : A — (2 ; 0,5)
Un point (x ; y) appartient à la courbe si y = 1/x. Pour le point (2 ; 0,5) : 1/2 = 0,5, l'égalité est vérifiée. Pour (2 ; 2), il faudrait 1/2 = 2, ce qui est faux. Le point (-2 ; 0,5) est faux car 1/(-2) = -0,5 : l'inverse d'un nombre négatif est négatif. Enfin (0 ; 0) est impossible, car 0 n'a pas d'image par la fonction inverse.
Un carré a une aire de 12,25 cm². Quelle est la longueur de son côté ?
- A.3,5 cmBonne réponse
- B.6,125 cm
- C.1,75 cm
- D.24,5 cm
Réponse : A — 3,5 cm
Si x désigne le côté, l'aire vaut x², donc on résout x² = 12,25. Comme une longueur est positive, on ne garde que la solution positive : x = √12,25 = 3,5. Vérification : 3,5 × 3,5 = 12,25, c'est exact. Les réponses 6,125 et 24,5 viennent d'une division ou d'une multiplication par 2, ce qui n'a rien à voir avec une racine carrée.
« Pour tout nombre réel x, on a x² ≥ x. » Cette affirmation est-elle vraie ?
- A.Vrai : élever au carré agrandit toujours un nombre
- B.Vrai, sauf pour x = 0 où il y a égalité
- C.Faux uniquement pour les valeurs négatives de x
- D.Faux : pour x = 0,5 on a x² = 0,25, qui est plus petit que 0,5Bonne réponse
Réponse : D — Faux : pour x = 0,5 on a x² = 0,25, qui est plus petit que 0,5
Un seul contre-exemple suffit à démolir une affirmation universelle. Prends x = 0,5 : x² = 0,25 et 0,25 < 0,5, donc x² ≥ x est faux. En réalité, entre 0 et 1, élever au carré RÉDUIT le nombre — c'est vrai pour tous les x de l'intervalle ]0 ; 1[. L'option 3 se trompe de zone : pour les négatifs, x² est positif donc bien supérieur à x. Le vrai domaine problématique, c'est ]0 ; 1[.
Quelle est l'image de -4 par la fonction carré ?
- A.-16
- B.16Bonne réponse
- C.-8
- D.8
Réponse : B — 16
L'image de -4 est (-4)² = (-4) × (-4) = 16. Le produit de deux nombres négatifs est positif : un carré n'est jamais négatif, donc -16 est impossible. Les réponses 8 et -8 viennent d'une confusion entre « élever au carré » et « multiplier par 2 ».
Quelles sont les variations de la fonction carré ?
- A.Croissante sur R tout entier
- B.Décroissante sur ]-∞ ; 0] puis croissante sur [0 ; +∞[Bonne réponse
- C.Croissante sur ]-∞ ; 0] puis décroissante sur [0 ; +∞[
- D.Décroissante sur R tout entier
Réponse : B — Décroissante sur ]-∞ ; 0] puis croissante sur [0 ; +∞[
La parabole descend jusqu'à son sommet en 0, puis remonte : la fonction carré est décroissante sur ]-∞ ; 0] puis croissante sur [0 ; +∞[. Elle atteint donc son minimum en x = 0, et ce minimum vaut 0. Le vérifier avec des valeurs : (-3)² = 9 puis (-1)² = 1 (ça descend), puis 1² = 1 et 3² = 9 (ça remonte).
Quelle est l'image de 0,5 par la fonction inverse ?
- A.0,25
- B.-2
- C.0,5
- D.2Bonne réponse
Réponse : D — 2
L'image de 0,5 est 1/0,5. Or diviser par 0,5 revient à multiplier par 2 : 1/0,5 = 2. Autrement dit, 0,5 = 1/2 et l'inverse de 1/2 est 2. La réponse 0,25 correspond au carré de 0,5, pas à son inverse ; et -2 oublie que l'inverse d'un nombre positif reste positif.
Quel est l'ensemble des solutions de l'équation x² = 25 ?
- A.{5}
- B.{-5 ; 5}Bonne réponse
- C.{12,5}
- D.Il n'y a pas de solution
Réponse : B — {-5 ; 5}
Comme 25 est strictement positif, l'équation x² = 25 a deux solutions opposées : x = 5 et x = -5. En effet 5² = 25 et (-5)² = 25 aussi. Oublier la solution négative est l'erreur numéro un du chapitre : le symbole √ ne donne que la valeur positive, mais l'équation, elle, en a deux. La réponse 12,5 vient d'une division par 2 au lieu d'une racine carrée.
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