Qu'appelle-t-on un échantillon de taille n ?

n individus de la population choisis au hasard

Les n premiers individus de la liste de la population

La population entière découpée en n groupes

Un groupe de n individus choisis parce qu'ils sont représentatifs

Un sondage sur 1 000 personnes donne 52 % d'intentions de vote pour un candidat. Peut-on affirmer qu'il sera élu (plus de 50 % des voix) ?

Non : l'intervalle de confiance est environ [0,488 ; 0,552] et il contient 0,5

Oui, puisque 52 % dépasse largement la barre des 50 % nécessaire pour l'emporter

Non, car un échantillon de 1 000 personnes est bien trop petit pour la France

Oui, car le niveau de confiance de 95 % garantit le résultat

Que dit la loi des grands nombres, dans sa version vue en seconde ?

Quand n devient grand, la fréquence observée f se rapproche de la proportion p

Sur un grand échantillon, la fréquence observée devient toujours égale à p

Plus l'échantillon est grand, plus la fluctuation est importante

Un grand échantillon garantit que l'intervalle de confiance contient p

Un institut veut diviser par 2 l'amplitude de son intervalle de confiance. Que doit-il faire ?

Multiplier la taille de l'échantillon par 4

Diviser la taille de l'échantillon par 2

Multiplier la taille de l'échantillon par 2

Diminuer le niveau de confiance à 47,5 %

Sondage A : n = 100, f = 0,60. Sondage B : n = 2 500, f = 0,52. Les deux portent sur la même question. Que peut-on dire ?

Leurs intervalles se chevauchent (de 0,50 à 0,54), donc les résultats ne sont pas contradictoires

Les résultats sont contradictoires, car 0,60 et 0,52 sont trop éloignés

Le sondage A est plus fiable, car sa fréquence est plus élevée

Les deux intervalles ont la même amplitude, seule la position change

Échantillonnage et fluctuation

Seconde · Maths · Statistiques et probabilités

Statistiques et probabilités

Échantillon, fréquence et fluctuation

Impossible d'interroger les 48 millions d'électeurs français avant une élection, ou de tester une à une les 100 000 ampoules sorties d'une usine. On travaille donc sur un échantillon : un petit groupe tiré au hasard, à partir duquel on essaie de deviner ce qui se passe dans toute la population. Tout ce chapitre répond à une seule question : jusqu'où peut-on faire confiance à un échantillon ?

Calculer une fréquence. Une fréquence est toujours un nombre compris entre 0 et 1. On la convertit en pourcentage en la multipliant par 100. Sur un échantillon de 250 personnes dont 90 déclarent pratiquer un sport, la fréquence vaut f = 90/250 = 0,36, soit 36 %.

La fluctuation d'échantillonnage

Prends une pièce parfaitement équilibrée : la proportion de « pile » vaut exactement p = 0,5 dans la population de tous les lancers possibles. Pourtant, si tu lances 100 fois la pièce, tu n'obtiens presque jamais 50 piles pile-poil. Et si tu recommences, tu trouves un autre résultat. Ce n'est ni une erreur de mesure ni de la triche : c'est le hasard du tirage.

Échantillon	Taille n	Nombre de « pile »	Fréquence f	Écart avec p = 0,5
n° 1	100	47	0,47	0,03
n° 2	100	52	0,52	0,02
n° 3	100	44	0,44	0,06
n° 4	100	55	0,55	0,05
n° 5	1 000	508	0,508	0,008
n° 6	1 000	494	0,494	0,006

Les trois confusions classiques

Ne confonds pas p et f : p est la proportion (inconnue) dans la POPULATION, f est la fréquence (connue) dans l'ÉCHANTILLON. Un exercice qui te donne p te met dans la peau du statisticien qui simule ; un exercice qui te donne f te met dans la peau du sondeur.
Une fréquence différente de p ne prouve pas que le dé est truqué ou que le sondage est raté : un écart raisonnable est NORMAL, il vient du hasard.
Ce qui compte pour la précision, c'est la TAILLE n de l'échantillon, pas le pourcentage de la population interrogée. Un échantillon de 1 000 personnes est aussi précis pour la France que pour la Belgique.
Un échantillon doit être tiré AU HASARD. Interroger 1 000 personnes à la sortie d'un stade pour connaître le sport préféré des Français, c'est un échantillon biaisé : aucune formule ne rattrapera ça.

Statistiques et probabilités

Simuler et estimer : l'intervalle de confiance

Puisque f n'est jamais exactement égal à p, un sondeur sérieux ne donne jamais un seul nombre : il donne une fourchette. C'est l'objet de l'intervalle de confiance, l'outil central de ce chapitre.

Simuler un échantillon avec un ordinateur

Pour observer la fluctuation sans passer trois heures à lancer une pièce, on simule : l'ordinateur tire des nombres au hasard. En Python, avec la bibliothèque random :

from random import random
def echantillon(n, p):
    succes = 0
    for i in range(n):
        if random() < p:
            succes = succes + 1
    return succes / n

La fonction random() renvoie un nombre au hasard entre 0 et 1 : il tombe en dessous de p dans une proportion p des cas, ce qui simule exactement un individu « qui a le caractère ». Appelle echantillon(100, 0.5) plusieurs fois : tu obtiendras 0.47, puis 0.52, puis 0.44... la fluctuation, en direct.

Taille n	racine(n)	1/racine(n)	Amplitude 2/racine(n)	Précision annoncée
100	10	0,1	0,2	± 10 points
400	20	0,05	0,1	± 5 points
900	30	environ 0,033	environ 0,067	± 3,3 points
2 500	50	0,02	0,04	± 2 points
10 000	100	0,01	0,02	± 1 point

Lis bien ce tableau : pour diviser l'amplitude par 2, il faut multiplier n par 4 (passer de 400 à 1 600, de 2 500 à 10 000). La précision coûte donc très cher — c'est pour ça que la plupart des sondages publiés s'arrêtent autour de n = 1 000, avec une marge d'environ 3 points.

Ce que l'intervalle ne dit PAS

Il n'est pas centré sur p, mais sur f : c'est f qu'on connaît. p, lui, reste inconnu pour toujours.
« Niveau de confiance 95 % » ne veut pas dire « il y a 95 % de chances que p soit là ». Cela signifie : si on répétait l'opération un très grand nombre de fois, environ 95 % des intervalles obtenus contiendraient p — et donc environ 5 % le rateraient. Un intervalle qui rate p ne prouve pas que la méthode est fausse.
L'amplitude ne dépend QUE de n : 2/racine(n). Elle ne dépend ni de f, ni de la taille de la population.
Erreur de calcul classique : diviser par n au lieu de racine(n). Pour n = 400 on utilise 1/20 = 0,05, surtout pas 1/400 = 0,0025.
Deux sondages dont les intervalles se CHEVAUCHENT ne sont pas contradictoires, même si les fréquences observées diffèrent.

Exercices corrigés

Qu'appelle-t-on un échantillon de taille n ?
- A.Les n premiers individus de la liste de la population
- B.n individus de la population choisis au hasardBonne réponse
- C.La population entière découpée en n groupes
- D.Un groupe de n individus choisis parce qu'ils sont représentatifs
Réponse : B — n individus de la population choisis au hasard
Un échantillon de taille n est constitué de n individus tirés AU HASARD dans la population. Le hasard est indispensable : c'est lui qui garantit que l'échantillon n'est pas systématiquement déformé dans un sens. Prendre les n premiers d'une liste (par ordre alphabétique, ou les premiers arrivés) crée un biais. Et « choisis parce qu'ils sont représentatifs » n'a pas de sens ici : on ne peut pas savoir à l'avance qui est représentatif, puisqu'on ignore justement la proportion p.
Pour un échantillon de taille n = 400, que vaut 1/racine(n) ?
- A.0,2
- B.0,02
- C.0,04
- D.0,05Bonne réponse
Réponse : D — 0,05
racine(400) = 20, donc 1/racine(400) = 1/20 = 0,05. Répondre 0,2 correspondrait à n = 25 (racine(25) = 5). Répondre 0,02, c'est confondre avec l'amplitude d'un autre cas ou avec n = 2 500. Et 0,04 est l'amplitude complète 2/racine(n) quand n = 2 500 : ici, 2/20 = 0,1. Le réflexe à avoir : commence toujours par calculer la racine carrée de n.
Sur un échantillon de 100 personnes, la fréquence observée est f = 0,42. Quel est l'intervalle de confiance au niveau 95 % ?
- A.[0,41 ; 0,43]
- B.[0,32 ; 0,52]Bonne réponse
- C.[0,40 ; 0,44]
- D.[0,37 ; 0,47]
Réponse : B — [0,32 ; 0,52]
racine(100) = 10, donc 1/racine(n) = 0,1. L'intervalle vaut [0,42 − 0,1 ; 0,42 + 0,1] = [0,32 ; 0,52]. C'est très large : avec seulement 100 personnes, on ne sait pratiquement rien, la proportion réelle peut aller de 32 % à 52 %. L'intervalle [0,41 ; 0,43] correspondrait à un rayon de 1/n = 0,01, et [0,37 ; 0,47] à un rayon de 0,05, c'est-à-dire à n = 400. Retiens l'ordre de grandeur : n = 100 donne toujours une marge de 10 points.
Un institut interroge 2 500 personnes et obtient f = 0,48. Quel intervalle de confiance au niveau 95 % doit-il publier ?
- A.[0,28 ; 0,68]
- B.[0,478 ; 0,482]
- C.[0,43 ; 0,53]
- D.[0,46 ; 0,50]Bonne réponse
Réponse : D — [0,46 ; 0,50]
racine(2500) = 50, donc 1/racine(n) = 1/50 = 0,02. L'intervalle vaut [0,48 − 0,02 ; 0,48 + 0,02] = [0,46 ; 0,50]. L'option [0,478 ; 0,482] vient d'un rayon de 1/n = 0,0004 (division par n au lieu de racine(n)) ; [0,43 ; 0,53] correspondrait à n = 400 ; et [0,28 ; 0,68] à n = 25. Remarque intéressante : 0,50 est la borne haute de l'intervalle, donc ce sondage ne permet pas d'affirmer que la proportion dépasse 50 %.
Quelle est l'amplitude (la longueur) de l'intervalle de confiance pour un échantillon de taille n = 625 ?
- A.0,08Bonne réponse
- B.0,04
- C.0,16
- D.0,4
Réponse : A — 0,08
L'amplitude vaut 2/racine(n). Ici racine(625) = 25, donc l'amplitude est 2/25 = 0,08 (soit 8 points de pourcentage au total, c'est-à-dire ± 4 points autour de f). Répondre 0,04, c'est donner le rayon 1/racine(n) = 1/25 et non l'amplitude complète. Répondre 0,16, c'est doubler une fois de trop. Un bon réflexe de vérification : l'amplitude est toujours le double du rayon.
Un sondage sur 1 000 personnes donne 52 % d'intentions de vote pour un candidat. Peut-on affirmer qu'il sera élu (plus de 50 % des voix) ?
- A.Oui, puisque 52 % dépasse largement la barre des 50 % nécessaire pour l'emporter
- B.Non : l'intervalle de confiance est environ [0,488 ; 0,552] et il contient 0,5Bonne réponse
- C.Non, car un échantillon de 1 000 personnes est bien trop petit pour la France
- D.Oui, car le niveau de confiance de 95 % garantit le résultat
Réponse : B — Non : l'intervalle de confiance est environ [0,488 ; 0,552] et il contient 0,5
racine(1000) vaut environ 31,6, donc 1/racine(n) vaut environ 0,032. L'intervalle est [0,52 − 0,032 ; 0,52 + 0,032], soit environ [0,488 ; 0,552]. Comme 0,5 appartient à cet intervalle, la proportion réelle pourrait très bien être inférieure à 50 % : on ne peut pas conclure. C'est exactement pour cela que les instituts parlent de sondages « dans la marge d'erreur ». Attention à la troisième option : la précision dépend de n, pas de la taille de la population — 1 000 personnes donnent la même marge en France qu'au Luxembourg.
Que dit la loi des grands nombres, dans sa version vue en seconde ?
- A.Sur un grand échantillon, la fréquence observée devient toujours égale à p
- B.Plus l'échantillon est grand, plus la fluctuation est importante
- C.Un grand échantillon garantit que l'intervalle de confiance contient p
- D.Quand n devient grand, la fréquence observée f se rapproche de la proportion pBonne réponse
Réponse : D — Quand n devient grand, la fréquence observée f se rapproche de la proportion p
La loi des grands nombres dit que f SE RAPPROCHE de p quand n grandit — elle ne dit pas qu'elle devient exactement égale à p, ce qui n'arrive quasiment jamais (avec n = 1 001 lancers d'une pièce, f ne peut même pas valoir 0,5 !). Elle ne dit pas non plus que la fluctuation augmente : c'est le contraire, elle diminue. Et aucun échantillon, même énorme, ne « garantit » que l'intervalle contient p : le niveau de confiance reste de 95 %, quel que soit n.
Un institut veut diviser par 2 l'amplitude de son intervalle de confiance. Que doit-il faire ?
- A.Diviser la taille de l'échantillon par 2
- B.Multiplier la taille de l'échantillon par 4Bonne réponse
- C.Multiplier la taille de l'échantillon par 2
- D.Diminuer le niveau de confiance à 47,5 %
Réponse : B — Multiplier la taille de l'échantillon par 4
L'amplitude vaut 2/racine(n). Pour la diviser par 2, il faut doubler racine(n), donc multiplier n par 2 au carré, c'est-à-dire par 4. Vérifions : avec n = 400, l'amplitude vaut 2/20 = 0,1 ; avec n = 1 600, racine(1600) = 40 et l'amplitude vaut 2/40 = 0,05. C'est bien la moitié. Doubler n ne divise l'amplitude que par racine(2), soit environ 1,41. Et diviser n par 2 augmenterait l'amplitude — le résultat exactement inverse.
Dans un échantillon de 900 clients, 315 se déclarent très satisfaits. Quel est l'intervalle de confiance au niveau 95 %, arrondi au millième ?
- A.[0,317 ; 0,383]Bonne réponse
- B.[0,349 ; 0,351]
- C.[0,320 ; 0,380]
- D.[0,315 ; 0,385]
Réponse : A — [0,317 ; 0,383]
D'abord la fréquence : f = 315/900 = 0,35. Ensuite racine(900) = 30, donc 1/racine(n) vaut environ 0,033. L'intervalle est donc [0,35 − 0,033 ; 0,35 + 0,033], soit environ [0,317 ; 0,383]. L'option [0,349 ; 0,351] utilise 1/n = 0,0011 au lieu de 1/racine(n). Les deux dernières options correspondent à des rayons de 0,03 et 0,035, choisis « au feeling » : refais toujours le calcul de racine(n), ne l'arrondis pas avant la fin.
Un rapport publie l'intervalle de confiance [0,42 ; 0,50] au niveau 95 %, mais a oublié d'indiquer la taille de l'échantillon. Que valait n ?
- A.n = 25
- B.n = 100
- C.n = 400
- D.n = 625Bonne réponse
Réponse : D — n = 625
L'amplitude de l'intervalle vaut 0,50 − 0,42 = 0,08, et l'amplitude est toujours égale à 2/racine(n). On résout donc 2/racine(n) = 0,08, ce qui donne racine(n) = 2/0,08 = 25, puis n = 25 au carré = 625. Vérification : racine(625) = 25, le rayon vaut 1/25 = 0,04, et le centre de l'intervalle est f = (0,42 + 0,50)/2 = 0,46 ; on retrouve bien [0,42 ; 0,50]. Répondre 25, c'est s'arrêter à racine(n) sans élever au carré.
Sondage A : n = 100, f = 0,60. Sondage B : n = 2 500, f = 0,52. Les deux portent sur la même question. Que peut-on dire ?
- A.Leurs intervalles se chevauchent (de 0,50 à 0,54), donc les résultats ne sont pas contradictoiresBonne réponse
- B.Les résultats sont contradictoires, car 0,60 et 0,52 sont trop éloignés
- C.Le sondage A est plus fiable, car sa fréquence est plus élevée
- D.Les deux intervalles ont la même amplitude, seule la position change
Réponse : A — Leurs intervalles se chevauchent (de 0,50 à 0,54), donc les résultats ne sont pas contradictoires
Calculons les deux intervalles. Sondage A : racine(100) = 10, rayon 0,1, donc [0,50 ; 0,70]. Sondage B : racine(2500) = 50, rayon 0,02, donc [0,50 ; 0,54]. Les deux intervalles ont une partie commune, de 0,50 à 0,54 : une proportion p située dans cette zone est compatible avec les deux sondages, il n'y a donc aucune contradiction. C'est le sondage B qui est de loin le plus précis (amplitude 0,04 contre 0,20), et cette précision vient de sa TAILLE, pas de sa fréquence. Ce qui élimine du même coup les deux dernières options.
Sur un échantillon de 200 personnes, 66 répondent « oui ». Quelle est la fréquence observée f ?
- A.0,66
- B.66
- C.0,33Bonne réponse
- D.3,03
Réponse : C — 0,33
La fréquence est le quotient de l'effectif observé par la taille de l'échantillon : f = 66/200 = 0,33, soit 33 %. Répondre 0,66 revient à diviser par 100 au lieu de 200 (attention, 66 sur 200 ce n'est pas 66 %). Répondre 66, c'est donner l'effectif brut, pas une fréquence — or une fréquence est toujours comprise entre 0 et 1. Enfin 3,03 correspond à 200/66, le quotient à l'envers.

S'entraîner sur ce chapitre

Ce chapitre compte 36 exercices corrigés dans l'application, avec le suivi de ta progression.

Commencer les exercices