Statistiques descriptives : moyenne et écart-type
Seconde · Maths · Statistiques et probabilités
Statistiques et probabilités
Les indicateurs de position
Face à une série de 200 notes, personne ne lit les 200 valeurs une par une. On les résume par quelques nombres : d'abord un indicateur de position (où se situe le « centre » de la série), puis un indicateur de dispersion (les valeurs sont-elles serrées ou éparpillées ?). Ce sont les deux jambes de la statistique descriptive.
Notre série de référence
Gardons la même série tout au long du chapitre : 2 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 7 ; 9. Elle est déjà rangée et compte n = 8 valeurs.
| Indicateur | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| Moyenne | (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 | 5 |
| Médiane | n = 8 pair : moyenne des 4e et 5e valeurs, (4 + 5)/2 | 4,5 |
| Premier quartile Q1 | n/4 = 2, donc valeur de rang 2 | 4 |
| Troisième quartile Q3 | 3n/4 = 6, donc valeur de rang 6 | 5 |
| Étendue | valeur maximale − valeur minimale = 9 − 2 | 7 |
| Écart interquartile | Q3 − Q1 = 5 − 4 | 1 |
Statistiques et probabilités
La dispersion : étendue, écart interquartile et écart-type
Deux séries peuvent avoir exactement la même moyenne et ne rien avoir à voir. Compare 9 ; 10 ; 11 et 0 ; 10 ; 20 : moyenne 10 dans les deux cas, mais la première est très regroupée et la seconde très éclatée. Il faut donc un deuxième nombre : un indicateur de dispersion.
| Trois indicateurs de dispersion | Définition | Sensible aux valeurs extrêmes ? |
|---|---|---|
| Étendue | Valeur maximale − valeur minimale | Oui, énormément (elle ne dépend QUE d'elles) |
| Écart interquartile | Q3 − Q1 : amplitude des 50 % de valeurs centrales | Non, il les ignore complètement |
| Écart-type | Racine carrée de la moyenne des carrés des écarts à la moyenne | Oui, car les grands écarts sont mis au carré |
On associe naturellement les indicateurs par couples : la moyenne va avec l'écart-type, la médiane va avec l'écart interquartile. Mélanger les deux couples (par exemple donner une médiane avec un écart-type) est possible mais rarement pertinent.
| Si on modifie toute la série… | Effet sur la moyenne | Effet sur l'écart-type |
|---|---|---|
| On ajoute un même nombre b à toutes les valeurs | Elle augmente de b | Il ne change pas |
| On multiplie toutes les valeurs par un nombre a positif | Elle est multipliée par a | Il est multiplié par a |
L'idée est simple : ajouter la même chose à tout le monde décale la série sans la déformer, donc la dispersion reste identique. Multiplier par 2, en revanche, étire la série : les écarts doublent eux aussi.
Exercices corrigés
Quelle est l'étendue de la série 2 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 7 ; 9 ?
- A.9
- B.5
- C.7Bonne réponse
- D.2
Réponse : C — 7
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : 9 − 2 = 7. Répondre 9 ou 2, c'est donner le maximum ou le minimum au lieu de leur différence. Attention : ici l'étendue vaut 7, ce qui est aussi une valeur de la série — pure coïncidence, ne te fie jamais à cela.
Que mesure l'écart-type d'une série statistique ?
- A.La valeur centrale de la série
- B.La dispersion des valeurs autour de la moyenneBonne réponse
- C.La plus grande valeur de la série
- D.Le nombre de valeurs de la série
Réponse : B — La dispersion des valeurs autour de la moyenne
L'écart-type est un indicateur de DISPERSION : il dit si les valeurs sont serrées autour de la moyenne (écart-type petit) ou éparpillées (écart-type grand). La valeur centrale, c'est le rôle de la médiane ou de la moyenne, qui sont des indicateurs de position. Le nombre de valeurs, c'est l'effectif. Deux séries peuvent avoir la même moyenne et des écarts-types très différents : c'est justement pourquoi on a besoin des deux nombres.
On ajoute 3 à toutes les valeurs d'une série. Que devient l'écart-type ?
- A.Il augmente de 3
- B.Il ne change pasBonne réponse
- C.Il est multiplié par 3
- D.Il diminue de 3
Réponse : B — Il ne change pas
L'écart-type mesure la dispersion, c'est-à-dire les écarts entre les valeurs. Or si toutes les valeurs et la moyenne augmentent de 3, chaque écart « valeur − moyenne » reste rigoureusement identique. La variance ne bouge pas, donc l'écart-type non plus. Image utile : on déplace tout le nuage de points de 3 crans vers la droite, sa forme ne change pas. Attention à ne pas confondre avec la multiplication, qui elle étire vraiment la série.
Pour la série 2 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 7 ; 9, on a Q1 = 4 et Q3 = 5. Combien vaut l'écart interquartile ?
- A.9
- B.5
- C.4
- D.1Bonne réponse
Réponse : D — 1
L'écart interquartile se calcule par la différence Q3 − Q1 = 5 − 4 = 1. Il mesure l'amplitude des 50 % de valeurs centrales : ici, elles tiennent dans une plage d'une seule unité, la série est donc très concentrée en son milieu. Répondre 4 ou 5 revient à donner un quartile au lieu de leur différence, et 9 est la valeur maximale de la série.
Deux séries ont exactement la même moyenne, mais la première a un écart-type de 1 et la seconde de 8. Que peut-on en conclure ?
- A.Les valeurs de la seconde série sont beaucoup plus disperséesBonne réponse
- B.La seconde série est plus regroupée autour de la moyenne
- C.La seconde série contient plus de valeurs
- D.La seconde série a une médiane plus grande
Réponse : A — Les valeurs de la seconde série sont beaucoup plus dispersées
Un écart-type élevé signale des valeurs très éloignées de la moyenne : la seconde série est donc nettement plus dispersée. L'écart-type ne dit rien de l'effectif (une série de 1000 valeurs identiques a un écart-type nul) ni de la médiane. C'est bien pour cela qu'on donne toujours le couple moyenne + écart-type : la moyenne seule ne permet pas de distinguer 9 ; 10 ; 11 de 2 ; 10 ; 18.
Quelle est la moyenne de la série 4 ; 6 ; 8 ; 10 ?
- A.6
- B.7Bonne réponse
- C.8
- D.28
Réponse : B — 7
On additionne toutes les valeurs : 4 + 6 + 8 + 10 = 28. On divise ensuite par l'effectif, qui vaut 4 : 28 / 4 = 7. La moyenne est donc 7. Répondre 28, c'est s'arrêter à la somme sans diviser ; répondre 8 confond avec une valeur de la série. Petit contrôle de bon sens : la moyenne est toujours comprise entre le minimum (4) et le maximum (10).
Quelle est la médiane de la série 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ?
- A.7Bonne réponse
- B.5
- C.9
- D.35
Réponse : A — 7
La série est déjà rangée et comporte n = 5 valeurs, un effectif impair. La médiane est donc la valeur de rang (5 + 1)/2 = 3, c'est-à-dire la troisième : 7. Il y a bien deux valeurs en dessous (3 et 5) et deux au-dessus (9 et 11). La réponse 35 est la somme des valeurs, qui sert à calculer la moyenne (35/5 = 7 également, mais c'est un autre indicateur).
Dans la série 2 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 7 ; 9, quelle est la fréquence de la valeur 4 ?
- A.25 %
- B.12,5 %
- C.37,5 %Bonne réponse
- D.3 %
Réponse : C — 37,5 %
La valeur 4 apparaît 3 fois sur un effectif total de 8. La fréquence vaut donc 3/8 = 0,375, soit 37,5 %. Répondre 3 % confond l'effectif (3) avec la fréquence ; 12,5 % correspond à 1/8, c'est-à-dire à une seule apparition ; et 25 % correspondrait à 2 apparitions sur 8. Pense toujours à diviser par l'effectif TOTAL.
Que fait la médiane d'une série statistique ?
- A.Elle partage la série ordonnée en deux groupes de même effectifBonne réponse
- B.Elle donne la valeur la plus fréquente de la série
- C.Elle indique l'écart entre le maximum et le minimum
- D.Elle est toujours égale à la moyenne
Réponse : A — Elle partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif
La médiane coupe la série rangée en deux moitiés de même effectif : au moins 50 % des valeurs lui sont inférieures ou égales, au moins 50 % lui sont supérieures ou égales. La valeur la plus fréquente, c'est le mode. L'écart entre le maximum et le minimum, c'est l'étendue. Quant à l'égalité avec la moyenne, elle n'arrive que par hasard : dans la série 2 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 7 ; 9, la moyenne vaut 5 et la médiane 4,5.
Quelle est la moyenne de la série 2 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 7 ; 9 ?
- A.4,5
- B.5Bonne réponse
- C.4
- D.5,5
Réponse : B — 5
Somme des valeurs : 2 + 4 + 4 + 4 = 14, puis 14 + 5 + 5 = 24, puis 24 + 7 + 9 = 40. L'effectif est 8, donc la moyenne vaut 40 / 8 = 5. Répondre 4,5 revient à donner la médiane de cette série, qui est un autre indicateur. Répondre 4, c'est donner la valeur la plus fréquente, c'est-à-dire le mode.
Quelle est la médiane de la série 2 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 7 ; 9 ?
- A.4
- B.5
- C.4,5Bonne réponse
- D.5,5
Réponse : C — 4,5
L'effectif n = 8 est PAIR : il n'y a donc pas de valeur unique au milieu. On prend la demi-somme des valeurs de rang 4 et de rang 5. En comptant dans la série rangée : 2 (rang 1), 4 (rang 2), 4 (rang 3), 4 (rang 4), 5 (rang 5)… La médiane vaut donc (4 + 5)/2 = 4,5. L'erreur fréquente est de choisir arbitrairement l'une des deux valeurs centrales.
Un élève obtient 12 (coefficient 2), 15 (coefficient 1) et 9 (coefficient 3). Quelle est sa moyenne ?
- A.12
- B.12,5
- C.11,5
- D.11Bonne réponse
Réponse : D — 11
Somme pondérée : 12 × 2 + 15 × 1 + 9 × 3 = 24 + 15 + 27 = 66. Somme des coefficients : 2 + 1 + 3 = 6. Moyenne : 66 / 6 = 11. Répondre 12 correspond à la moyenne simple (12 + 15 + 9)/3, qui ignore les coefficients : c'est le piège principal. Ici, le coefficient 3 sur la note la plus faible tire logiquement la moyenne vers le bas.
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