Les vecteurs du plan

Exercices corrigés

1. Dans un repère, A a pour coordonnées (1 ; 2) et B (4 ; 7). Quelles sont les coordonnées du vecteur AB ?

   • A.(5 ; 9)
   • B.(2,5 ; 4,5)
   • C.(3 ; 5)Bonne réponse
   • D.(−3 ; −5)

   Réponse : C — (3 ; 5)

   Pour les coordonnées d'un vecteur, on soustrait : arrivée moins départ. En abscisse : xB − xA = 4 − 1 = 3. En ordonnée : yB − yA = 7 − 2 = 5. Donc vecteur AB a pour coordonnées (3 ; 5). L'option (5 ; 9) additionne au lieu de soustraire ; (2,5 ; 4,5) est le milieu de [AB], pas le vecteur ; et (−3 ; −5) correspond au vecteur BA, c'est-à-dire au sens inverse.

2. Que vaut la somme vecteur AB + vecteur BC ?

   • A.vecteur BA
   • B.vecteur ACBonne réponse
   • C.vecteur CA
   • D.le vecteur nul

   Réponse : B — vecteur AC

   C'est exactement la relation de Chasles : aller de A à B puis de B à C revient à aller directement de A à C. La lettre intermédiaire B, qui sert de relais, disparaît du résultat. Il ne reste que l'origine du premier vecteur (A) et l'extrémité du dernier (C), d'où vecteur AC. L'option vecteur CA correspondrait au trajet inverse, et le vecteur nul ne s'obtiendrait que si on revenait au point de départ.

3. A a pour coordonnées (−1 ; 4) et B (3 ; −2). Quelles sont les coordonnées du vecteur AB ?

   • A.(2 ; 2)
   • B.(4 ; −6)Bonne réponse
   • C.(−4 ; 6)
   • D.(4 ; 6)

   Réponse : B — (4 ; −6)

   On applique arrivée moins départ, en soignant les signes. Abscisse : 3 − (−1) = 3 + 1 = 4. Ordonnée : −2 − 4 = −6. Donc vecteur AB a pour coordonnées (4 ; −6). L'erreur fréquente est d'écrire 3 − 1 = 2 en négligeant le double signe moins. L'option (−4 ; 6) donne le vecteur BA, et (4 ; 6) oublie que l'ordonnée diminue quand on passe de 4 à −2.

4. Que vaut vecteur AB + vecteur BC + vecteur CD après simplification ?

   • A.vecteur AC
   • B.vecteur DA
   • C.le vecteur nul
   • D.vecteur ADBonne réponse

   Réponse : D — vecteur AD

   On applique Chasles deux fois de suite. D'abord vecteur AB + vecteur BC = vecteur AC. Puis vecteur AC + vecteur CD = vecteur AD. Les lettres intermédiaires B et C s'éliminent successivement, et il ne reste que l'origine du premier vecteur et l'extrémité du dernier. Le résultat est vecteur AD. L'option vecteur DA est le vecteur opposé, elle correspondrait au parcours en sens inverse, et le vecteur nul supposerait que D coïncide avec A, ce que rien n'indique.

5. A a pour coordonnées (1 ; 5) et B (7 ; −1). Quelles sont les coordonnées du milieu I de [AB] ?

   • A.(4 ; 2)Bonne réponse
   • B.(6 ; −6)
   • C.(3 ; −3)
   • D.(8 ; 4)

   Réponse : A — (4 ; 2)

   Pour un milieu, on additionne et on divise par deux — contrairement aux coordonnées d'un vecteur, où l'on soustrait. Abscisse : (1 + 7)/2 = 8/2 = 4. Ordonnée : (5 + (−1))/2 = 4/2 = 2. Donc I a pour coordonnées (4 ; 2). L'option (6 ; −6) donne les coordonnées du vecteur AB, l'objet à ne pas confondre avec le milieu. L'option (8 ; 4) oublie simplement de diviser par 2.

6. Le vecteur u a pour coordonnées (2 ; 5) et le vecteur v (3 ; 7). Sont-ils colinéaires ?

   • A.Oui, car 2 + 5 = 7 et 3 = 7 − 5 + 1
   • B.Oui, car leurs coordonnées sont toutes positives
   • C.Non, car le déterminant vaut −1, qui n'est pas nulBonne réponse
   • D.Non, car ils n'ont pas la même norme

   Réponse : C — Non, car le déterminant vaut −1, qui n'est pas nul

   On calcule le déterminant : x × y' − y × x' = 2 × 7 − 5 × 3 = 14 − 15 = −1. Il n'est pas nul, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires. Attention au piège de l'option 4 : deux vecteurs colinéaires n'ont aucune obligation d'avoir la même norme, donc « ils n'ont pas la même norme » n'est jamais une justification valable. Ici les coordonnées sont proches d'être proportionnelles, mais 2/3 et 5/7 sont bien deux fractions différentes : il faut toujours calculer, jamais estimer à l'œil.

7. Soient A(1 ; 1), B(4 ; 2) et C(5 ; 6). Quelles sont les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme ?

   • A.D(8 ; 7)
   • B.D(2 ; 3)
   • C.D(3 ; 1)
   • D.D(2 ; 5)Bonne réponse

   Réponse : D — D(2 ; 5)

   La condition pour que ABCD soit un parallélogramme est vecteur AB = vecteur DC (attention à l'ordre des lettres). Coordonnées de vecteur AB : (4 − 1 ; 2 − 1) = (3 ; 1). Coordonnées de vecteur DC : (5 − xD ; 6 − yD). On identifie les deux couples : 5 − xD = 3 donne xD = 2, et 6 − yD = 1 donne yD = 5. Donc D a pour coordonnées (2 ; 5). Vérification : vecteur DC = (5 − 2 ; 6 − 5) = (3 ; 1), identique à vecteur AB. L'option D(8 ; 7) vient d'avoir utilisé la mauvaise égalité vectorielle.

8. Le vecteur u a pour coordonnées (1 ; −2) et le vecteur v (2 ; 1). Quelles sont les coordonnées de 2u − 3v ?

   • A.(−4 ; −7)Bonne réponse
   • B.(8 ; −1)
   • C.(−4 ; −1)
   • D.(4 ; 7)

   Réponse : A — (−4 ; −7)

   On traite chaque coordonnée séparément. Pour 2u : (2 × 1 ; 2 × (−2)) = (2 ; −4). Pour 3v : (3 × 2 ; 3 × 1) = (6 ; 3). On soustrait ensuite coordonnée par coordonnée : abscisse 2 − 6 = −4, ordonnée −4 − 3 = −7. Donc 2u − 3v a pour coordonnées (−4 ; −7). L'erreur la plus fréquente est d'oublier que le signe moins porte sur les DEUX coordonnées de 3v : écrire −4 + 3 = −1 en ordonnée donne le résultat faux (−4 ; −1).

9. Pour quelle valeur de m les vecteurs u (m ; 3) et v (4 ; 6) sont-ils colinéaires ?

   • A.m = 12
   • B.m = 1/2
   • C.m = 2Bonne réponse
   • D.m = 8

   Réponse : C — m = 2

   La colinéarité équivaut à un déterminant nul : x × y' − y × x' = m × 6 − 3 × 4 = 6m − 12. On résout 6m − 12 = 0, donc 6m = 12 et m = 2. Vérification : u aurait alors pour coordonnées (2 ; 3), et v (4 ; 6) est bien le double de u, donc ils sont colinéaires. Répondre m = 12, c'est s'arrêter à 6m = 12 sans diviser par 6. On pouvait aussi raisonner par proportionnalité : v est le double de u, donc 4 doit être le double de m.

10. Que vaut vecteur AB + vecteur CA + vecteur BD après simplification ?

    • A.vecteur AD
    • B.vecteur CDBonne réponse
    • C.le vecteur nul
    • D.vecteur DC

    Réponse : B — vecteur CD

    Les vecteurs ne s'enchaînent pas dans l'ordre où ils sont écrits : il faut réordonner la somme, ce qui est permis puisque l'addition de vecteurs est commutative. On place vecteur CA en tête : vecteur CA + vecteur AB + vecteur BD. Maintenant la chaîne est continue, C vers A, A vers B, B vers D. Chasles une première fois : vecteur CA + vecteur AB = vecteur CB. Puis vecteur CB + vecteur BD = vecteur CD. Le résultat est vecteur CD. Le réflexe à acquérir : avant d'appliquer Chasles, vérifie que l'extrémité de chaque vecteur est l'origine du suivant, et réordonne si besoin.

11. Par quelles données un vecteur est-il entièrement caractérisé ?

    • A.Sa direction, son sens et sa normeBonne réponse
    • B.Son origine et son extrémité uniquement
    • C.Sa longueur uniquement
    • D.Sa direction et sa longueur uniquement

    Réponse : A — Sa direction, son sens et sa norme

    Il faut les trois informations à la fois : la direction (celle de la droite qui le porte), le sens (dans quel côté on parcourt cette droite) et la norme (la longueur du déplacement). Deux vecteurs ayant même direction et même norme mais des sens opposés, comme AB et BA, sont bien différents. Répondre « origine et extrémité » est trop restrictif : un vecteur peut être représenté par une infinité de flèches placées un peu partout dans le plan, toutes égales entre elles.

12. Que représente le vecteur AA ?

    • A.Un vecteur de norme 1
    • B.Un vecteur de direction indéterminée mais de norme 2
    • C.Il n'existe pas
    • D.Le vecteur nulBonne réponse

    Réponse : D — Le vecteur nul

    Le vecteur AA correspond à la translation qui laisse chaque point à sa place : il n'y a aucun déplacement. C'est le vecteur nul, dont la norme vaut 0. Il existe parfaitement, et il joue le rôle du zéro dans l'addition des vecteurs : ajouter le vecteur nul à un vecteur ne le change pas. On le rencontre notamment quand une chaîne de Chasles revient à son point de départ, par exemple vecteur AB + vecteur BA = vecteur AA.