Géométrie repérée : coordonnées et distances
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Géométrie
Se repérer dans le plan : coordonnées et milieu
Poser un repère sur une figure, c'est traduire de la géométrie en calculs. Au lieu de mesurer à la règle, tu vas démontrer qu'un triangle est rectangle ou qu'un quadrilatère est un parallélogramme, uniquement avec des nombres. C'est un des outils les plus rentables de la Seconde : il resservira toute l'année, puis en Première avec le produit scalaire.
Lire et écrire des coordonnées
- On écrit toujours l'abscisse EN PREMIER : M(x ; y). Le point (3 ; 5) n'est pas le point (5 ; 3).
- Un point situé sur l'axe des abscisses a une ordonnée nulle : il s'écrit (x ; 0).
- Un point situé sur l'axe des ordonnées a une abscisse nulle : il s'écrit (0 ; y).
- L'origine O a pour coordonnées (0 ; 0).
- Le symétrique de M(x ; y) par rapport à O a pour coordonnées (−x ; −y).
Le milieu d'un segment
Géométrie
Distances, natures de triangles et de quadrilatères
Une fois la formule de distance en poche, tu peux démontrer la nature d'une figure sans jamais sortir la règle : il suffit de comparer des longueurs (ou plutôt des longueurs au carré, c'est plus malin).
Le réflexe : travailler avec les carrés
Pour comparer des longueurs, ne calcule pas les racines carrées : compare directement AB², AC² et BC². Deux longueurs positives sont égales si et seulement si leurs carrés sont égaux, et Pythagore s'écrit justement avec des carrés. Tu gagnes du temps et tu évites les valeurs approchées.
| Ce qu'on veut prouver | Ce qu'on calcule | Conclusion si… |
|---|---|---|
| Triangle isocèle en A | AB² et AC² | AB² = AC² donc AB = AC |
| Triangle équilatéral | AB², AC² et BC² | les trois carrés sont égaux |
| Triangle rectangle en B | AB², BC² et AC² | AB² + BC² = AC² (réciproque de Pythagore) |
| ABCD parallélogramme | milieu de [AC] et milieu de [BD] | les deux milieux sont confondus |
| ABCD losange | parallélogramme + AB² et BC² | AB = BC (deux côtés consécutifs égaux) |
| ABCD rectangle | parallélogramme + AC² et BD² | AC = BD (diagonales de même longueur) |
| M sur le cercle de centre A et de rayon r | AM² | AM² = r² |
Exercices corrigés
Qu'est-ce qui caractérise un repère orthonormé du plan ?
- A.Les deux axes sont perpendiculaires et portent la même unité de longueurBonne réponse
- B.Les deux axes sont perpendiculaires, mais les unités peuvent différer
- C.Les deux axes portent la même unité, sans être forcément perpendiculaires
- D.L'origine du repère est placée au centre de la figure étudiée
Réponse : A — Les deux axes sont perpendiculaires et portent la même unité de longueur
« Ortho » renvoie à la perpendicularité des axes, « normé » au fait que l'unité est la même sur les deux axes. Il faut donc les DEUX conditions. Un repère seulement perpendiculaire est dit orthogonal (option 2), un repère avec la même unité mais des axes obliques n'a pas de nom particulier au programme (option 3). Quant à la position de l'origine, elle est libre : elle ne change rien à la nature du repère.
Quelles sont les coordonnées du milieu I du segment [AB] avec A(2 ; 6) et B(8 ; −2) ?
- A.I(10 ; 4)
- B.I(3 ; 4)
- C.I(5 ; 2)Bonne réponse
- D.I(6 ; −8)
Réponse : C — I(5 ; 2)
On prend la moyenne des coordonnées : xI = (2 + 8)/2 = 10/2 = 5 et yI = (6 + (−2))/2 = 4/2 = 2. Donc I(5 ; 2). Répondre (10 ; 4), c'est avoir additionné sans diviser par 2. Répondre (6 ; −8), c'est avoir soustrait au lieu d'additionner (c'est le début d'un calcul de distance, pas d'un milieu). Contrôle : 5 est bien entre 2 et 8, et 2 est bien entre −2 et 6.
Dans un repère orthonormé, quelle formule donne la distance AB ?
- A.AB = (xB − xA) + (yB − yA)
- B.AB = racine de ((xB + xA)² + (yB + yA)²)
- C.AB = (xB − xA)² + (yB − yA)²
- D.AB = racine de ((xB − xA)² + (yB − yA)²)Bonne réponse
Réponse : D — AB = racine de ((xB − xA)² + (yB − yA)²)
La formule vient de Pythagore : les côtés de l'angle droit mesurent |xB − xA| et |yB − yA|, et [AB] est l'hypoténuse. On somme donc les CARRÉS des différences, puis on prend la racine. La formule avec des sommes (xB + xA) additionne les coordonnées au lieu de les soustraire : c'est un mélange avec la formule du milieu. Et celle sans racine donne AB², pas AB — une erreur qui donne 25 au lieu de 5, par exemple.
Où se situe le point M(0 ; −4) ?
- A.Sur l'axe des abscisses
- B.Sur l'axe des ordonnéesBonne réponse
- C.À l'origine du repère
- D.Dans le quadrant en haut à droite
Réponse : B — Sur l'axe des ordonnées
Son abscisse est nulle : le point ne se décale pas horizontalement, il reste donc sur l'axe vertical, c'est-à-dire l'axe des ordonnées, quatre unités en dessous de l'origine. Le piège classique est d'inverser : c'est l'ORDONNÉE nulle qui place un point sur l'axe des abscisses. Il n'est pas à l'origine, puisque O a pour coordonnées (0 ; 0).
Le point M(3 ; −1) est le milieu de [AB] et A a pour coordonnées (−2 ; 4). Quelles sont les coordonnées de B ?
- A.B(0,5 ; 1,5)
- B.B(5 ; −5)
- C.B(8 ; −6)Bonne réponse
- D.B(−7 ; 6)
Réponse : C — B(8 ; −6)
On part de xM = (xA + xB)/2, donc xB = 2 × xM − xA = 2 × 3 − (−2) = 6 + 2 = 8. De même yB = 2 × yM − yA = 2 × (−1) − 4 = −2 − 4 = −6. Donc B(8 ; −6). Vérification : le milieu de [AB] vaut ((−2 + 8)/2 ; (4 + (−6))/2) = (3 ; −1), c'est bien M. Répondre (0,5 ; 1,5) revient à calculer le milieu de [AM] au lieu de chercher B, et (5 ; −5) oublie le facteur 2.
ABCD est un parallélogramme avec A(1 ; 2), B(5 ; 3) et C(6 ; 7). Quelles sont les coordonnées de D ?
- A.D(10 ; 12)
- B.D(0 ; 6)
- C.D(9 ; 8)
- D.D(2 ; 6)Bonne réponse
Réponse : D — D(2 ; 6)
Dans un parallélogramme ABCD, les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu. Le milieu de [AC] vaut ((1 + 6)/2 ; (2 + 7)/2) = (3,5 ; 4,5). Il faut donc que (5 + xD)/2 = 3,5, soit xD = 7 − 5 = 2, et (3 + yD)/2 = 4,5, soit yD = 9 − 3 = 6. Donc D(2 ; 6). Astuce à retenir : D = A + C − B, coordonnée par coordonnée. Répondre (9 ; 8), c'est appliquer B + C − A : cela donnerait le quatrième sommet d'un AUTRE parallélogramme, où l'ordre des lettres n'est pas respecté.
Dans le triangle de sommets A(−2 ; 1), B(4 ; 3) et C(0 ; −5), quelles sont les coordonnées du milieu I de [BC] ?
- A.I(4 ; −2)
- B.I(2 ; 4)
- C.I(2 ; −1)Bonne réponse
- D.I(−2 ; 1)
Réponse : C — I(2 ; −1)
On ne s'occupe que de B et C : xI = (4 + 0)/2 = 2 et yI = (3 + (−5))/2 = (−2)/2 = −1. Donc I(2 ; −1). Répondre (4 ; −2), c'est avoir additionné sans diviser par 2. Répondre (−2 ; 1), c'est avoir recopié le point A, qui n'intervient pas dans ce calcul : la médiane issue de A passe par I, mais A n'entre pas dans les coordonnées de I.
Quelles sont les coordonnées du symétrique du point A(3 ; −4) par rapport à l'origine O du repère ?
- A.(−3 ; −4)
- B.(3 ; 4)
- C.(−3 ; 4)Bonne réponse
- D.(4 ; −3)
Réponse : C — (−3 ; 4)
La symétrie par rapport à O signifie que O est le milieu de [AA']. Donc xA' = 2 × 0 − 3 = −3 et yA' = 2 × 0 − (−4) = 4 : le symétrique est (−3 ; 4). Autrement dit, on change le signe des DEUX coordonnées. Répondre (−3 ; −4), c'est la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées ; répondre (3 ; 4), c'est la symétrie par rapport à l'axe des abscisses ; et (4 ; −3) échange simplement les coordonnées.
Repère orthonormé. On cherche le point C de l'axe des abscisses équidistant de A(1 ; 2) et B(5 ; 6). Quelles sont ses coordonnées ?
- A.C(7 ; 0)Bonne réponse
- B.C(3 ; 0)
- C.C(0 ; 7)
- D.C(4 ; 0)
Réponse : A — C(7 ; 0)
Le point C est sur l'axe des abscisses, donc il s'écrit C(x ; 0). On écrit CA² = CB² : (x − 1)² + (0 − 2)² = (x − 5)² + (0 − 6)², soit x² − 2x + 1 + 4 = x² − 10x + 25 + 36. Les x² se simplifient : −2x + 5 = −10x + 61, donc 8x = 56 et x = 7. Vérification : CA² = 36 + 4 = 40 et CB² = 4 + 36 = 40, égalité confirmée. Répondre C(3 ; 0), c'est prendre l'abscisse du milieu de [AB], ce qui ne convient que si [AB] est perpendiculaire à l'axe.
ABCD est un parallélogramme avec A(−3 ; 1), B(2 ; 3) et C(4 ; −2). Quelles sont les coordonnées de D ?
- A.D(9 ; 0)
- B.D(1 ; 4)
- C.D(−1 ; −4)Bonne réponse
- D.D(−5 ; 6)
Réponse : C — D(−1 ; −4)
On applique D = A + C − B coordonnée par coordonnée : xD = −3 + 4 − 2 = −1 et yD = 1 + (−2) − 3 = −4. Donc D(−1 ; −4). Vérifions par les diagonales : milieu de [AC] = ((−3 + 4)/2 ; (1 − 2)/2) = (0,5 ; −0,5) et milieu de [BD] = ((2 − 1)/2 ; (3 − 4)/2) = (0,5 ; −0,5). Les deux milieux coïncident, c'est bien un parallélogramme ABCD. Attention aux signes : c'est là que la majorité des erreurs se produisent.
Repère orthonormé. Quel est le périmètre du triangle de sommets A(0 ; 0), B(6 ; 0) et C(6 ; 8) ?
- A.14
- B.24Bonne réponse
- C.48
- D.20
Réponse : B — 24
AB = 6 (les deux points sont sur l'axe des abscisses), BC = 8 (même abscisse, on lit l'écart des ordonnées) et AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, donc AC = 10. Le périmètre vaut 6 + 8 + 10 = 24. Répondre 14, c'est oublier l'hypoténuse ; répondre 48, c'est calculer l'aire du rectangle 6 × 8 ; répondre 20, c'est confondre périmètre et double de l'hypoténuse.
Le point A a pour coordonnées (3 ; −2). Que vaut son ordonnée ?
- A.3
- B.−2Bonne réponse
- C.1
- D.−3
Réponse : B — −2
Dans l'écriture M(x ; y), le premier nombre est l'abscisse et le second l'ordonnée. Ici l'abscisse vaut 3 et l'ordonnée vaut −2. Répondre 3, c'est confondre les deux. Répondre 1, c'est avoir additionné 3 et −2, ce qui n'a aucun sens ici.
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