Les fonctions affines

Exercices corrigés

1. Une fonction affine f(x) = ax + b est dite linéaire lorsque :

   • A.a = 0
   • B.b = 0Bonne réponse
   • C.a = 1
   • D.a = b

   Réponse : B — b = 0

   Une fonction linéaire s'écrit f(x) = ax, c'est le cas particulier où b = 0. Sa droite passe alors par l'origine du repère et elle traduit une situation de PROPORTIONNALITÉ. Si c'était a qui valait 0 (option 1), la fonction serait constante, pas linéaire. Retiens que toute fonction linéaire est affine, mais que l'inverse est faux.

2. On définit f sur R par f(x) = 5 pour toute valeur de x. Que peut-on dire de f ?

   • A.C'est une fonction linéaire de coefficient 5
   • B.Ce n'est pas une fonction affine
   • C.C'est une fonction strictement croissante
   • D.C'est une fonction affine constante (a = 0)Bonne réponse

   Réponse : D — C'est une fonction affine constante (a = 0)

   On peut écrire f(x) = 0 × x + 5 : c'est bien la forme ax + b avec a = 0 et b = 5. La fonction est donc affine, et comme a = 0, elle est constante : sa droite est horizontale, elle n'est ni croissante ni décroissante. Elle n'est pas linéaire, car une fonction linéaire doit vérifier b = 0 — et ici, si elle l'était, f(0) devrait valoir 0, alors que f(0) = 5.

3. Soit f une fonction affine telle que f(2) = 7 et f(5) = 16. Quelle est l'expression de f(x) ?

   • A.f(x) = 3x + 7
   • B.f(x) = 3x − 1
   • C.f(x) = 3x + 1Bonne réponse
   • D.f(x) = x + 5

   Réponse : C — f(x) = 3x + 1

   On sait déjà que a = (16 − 7)/(5 − 2) = 3, donc f(x) = 3x + b. En utilisant f(2) = 7 : 3 × 2 + b = 7, soit 6 + b = 7, donc b = 1. L'expression est f(x) = 3x + 1, et la vérification donne f(5) = 15 + 1 = 16, ce qui est correct. Répondre f(x) = 3x + 7, c'est avoir pris pour b l'image 7, ce qui ne serait valable que si l'antécédent était 0.

4. Soit f définie sur R par f(x) = 4x − 10. Quelle est la solution de l'équation f(x) = 0 ?

   • A.−10
   • B.10
   • C.2,5Bonne réponse
   • D.0,4

   Réponse : C — 2,5

   On résout 4x − 10 = 0, donc 4x = 10, donc x = 10/4 = 2,5. Vérification : 4 × 2,5 − 10 = 10 − 10 = 0. Répondre −10, c'est confondre la racine avec l'ordonnée à l'origine (qui est bien −10, mais qui répond à une autre question : c'est f(0)). Répondre 0,4, c'est avoir calculé 4/10 au lieu de 10/4.

5. En quel point la droite représentative de f(x) = −2x + 2 coupe-t-elle l'axe des ordonnées ?

   • A.(2 ; 0)
   • B.(0 ; 2)Bonne réponse
   • C.(0 ; −2)
   • D.(1 ; 0)

   Réponse : B — (0 ; 2)

   Les points de l'axe des ordonnées ont une abscisse nulle. On calcule donc f(0) = −2 × 0 + 2 = 2 : le point cherché est (0 ; 2). Répondre (2 ; 0), c'est avoir inversé les coordonnées. Quant à (1 ; 0), c'est le point d'intersection avec l'axe des ABSCISSES, puisque f(1) = 0 : une autre question, une autre réponse.

6. Soit f définie sur R par f(x) = 3x − 9. Pour quelles valeurs de x a-t-on f(x) > 0 ?

   • A.x < 3
   • B.x > 9
   • C.x > 3Bonne réponse
   • D.x < −3

   Réponse : C — x > 3

   On résout 3x − 9 > 0, donc 3x > 9, donc x > 3 (on divise par 3, qui est positif : le sens de l'inégalité ne change pas). Autre lecture, plus rapide : la racine vaut 9/3 = 3, et comme a = 3 est positif, f est du signe de a APRÈS la racine, donc positive pour x > 3. Répondre x > 9, c'est avoir oublié de diviser par 3.

7. Soit f une fonction affine de coefficient directeur 3. Si x augmente de 4, de combien varie f(x) ?

   • A.elle augmente de 3
   • B.elle augmente de 4
   • C.elle augmente de 7
   • D.elle augmente de 12Bonne réponse

   Réponse : D — elle augmente de 12

   Pour une fonction affine, la variation des images est proportionnelle à celle des x : la variation de f(x) vaut a multiplié par la variation de x, soit 3 × 4 = 12. On peut le vérifier avec f(x) = 3x + b : f(x + 4) − f(x) = 3(x + 4) + b − (3x + b) = 12, quel que soit b. Répondre 7, c'est avoir additionné 3 et 4 au lieu de les multiplier.

8. Soit f une fonction affine telle que f(−1) = 4 et f(3) = −4. Quelle est son expression ?

   • A.f(x) = −2x + 2Bonne réponse
   • B.f(x) = −2x + 6
   • C.f(x) = 2x + 6
   • D.f(x) = −2x − 2

   Réponse : A — f(x) = −2x + 2

   Calculons a = (f(3) − f(−1))/(3 − (−1)) = (−4 − 4)/4 = (−8)/4 = −2. Puis f(x) = −2x + b, et f(−1) = 4 donne −2 × (−1) + b = 4, soit 2 + b = 4, donc b = 2. L'expression est f(x) = −2x + 2. Vérification : f(3) = −6 + 2 = −4, c'est bien la valeur attendue. Le piège se trouve au dénominateur : 3 − (−1) vaut 4, et non 2.

9. Soit f définie sur R par f(x) = −2x + 2. Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) > 0 ?

   • A.x > 1
   • B.x < 1Bonne réponse
   • C.x > −1
   • D.x < −1

   Réponse : B — x < 1

   On résout −2x + 2 > 0, donc −2x > −2. On divise ensuite par −2, qui est NÉGATIF : le sens de l'inégalité doit être inversé, ce qui donne x < 1. Contrôle par le signe : la racine vaut 1, et comme a = −2 est négatif, f est positive AVANT la racine. Deuxième contrôle avec une valeur test : f(0) = 2 > 0, et 0 appartient bien à l'intervalle ]−infini ; 1[. Répondre x > 1 est l'erreur classique de l'oubli du changement de sens.

10. Quel est le signe de la fonction f définie sur R par f(x) = −5x + 15 ?

    • A.négative avant 3, puis positive après 3
    • B.toujours négative, puisque a = −5
    • C.positive avant 3, puis négative après 3Bonne réponse
    • D.négative avant 15, puis positive après 15

    Réponse : C — positive avant 3, puis négative après 3

    La racine se calcule d'abord : −5x + 15 = 0 donne −5x = −15, donc x = 3. Ensuite on applique la règle « signe de a après la racine » : comme a = −5 est négatif, f(x) est négative pour x > 3, et donc positive pour x < 3. Contrôle avec x = 0 : f(0) = 15, une valeur bien positive, et 0 se situe bien avant 3. Répondre « toujours négative » confond le signe de a avec le signe de f(x), qui change pourtant de part et d'autre de la racine.

11. Soient f(x) = 2x − 1 et g(x) = −x + 5. Pour quelles valeurs de x a-t-on f(x) > g(x) ?

    • A.x > 2Bonne réponse
    • B.x < 2
    • C.x > 6
    • D.x < 6

    Réponse : A — x > 2

    On résout 2x − 1 > −x + 5. On regroupe les x à gauche et les nombres à droite : 2x + x > 5 + 1, soit 3x > 6, donc x > 2 (on divise par 3, positif : pas de changement de sens). Vérification avec x = 3 : f(3) = 5 et g(3) = 2, on a bien f(3) > g(3). Graphiquement, cela signifie que la droite de f passe au-dessus de celle de g à droite de leur point d'intersection, d'abscisse 2. Répondre x > 6, c'est avoir oublié de diviser par 3.

12. La droite représentative d'une fonction affine f passe par les points (0 ; −5) et (4 ; 3). Quelle est l'expression de f ?

    • A.f(x) = 2x + 5
    • B.f(x) = −5x + 2
    • C.f(x) = 2x − 5Bonne réponse
    • D.f(x) = 8x − 5

    Réponse : C — f(x) = 2x − 5

    Le premier point a une abscisse nulle : on lit donc directement b = −5, sans calcul. Ensuite a = (3 − (−5))/(4 − 0) = 8/4 = 2. L'expression est f(x) = 2x − 5, et la vérification donne f(4) = 8 − 5 = 3, conforme. Répondre f(x) = 8x − 5, c'est avoir pris pour a la variation des ordonnées (8) sans la diviser par celle des abscisses (4).