Les ensembles de nombres et intervalles

Exercices corrigés

1. Quel est le plus petit ensemble, parmi N, Z, D et Q, auquel appartient le nombre −7 ?

   • A.N
   • B.ZBonne réponse
   • C.D
   • D.Q

   Réponse : B — Z

   −7 est un entier, mais il est négatif : il n'appartient donc pas à N, qui ne contient que les entiers positifs ou nuls. Il appartient en revanche à Z, l'ensemble des entiers relatifs. Il est bien aussi dans D et dans Q (tout entier est décimal et rationnel), mais ce sont des ensembles plus grands : le plus petit de la chaîne qui le contient est Z.

2. Quelle chaîne d'inclusions est correcte ?

   • A.N inclus dans Z inclus dans D inclus dans Q inclus dans RBonne réponse
   • B.N inclus dans Z inclus dans Q inclus dans D inclus dans R
   • C.R inclus dans Q inclus dans D inclus dans Z inclus dans N
   • D.Z inclus dans N inclus dans D inclus dans Q inclus dans R

   Réponse : A — N inclus dans Z inclus dans D inclus dans Q inclus dans R

   On part du plus petit ensemble et on grossit à chaque étape : N (entiers positifs), puis Z (on ajoute les négatifs), puis D (on ajoute les écritures décimales finies), puis Q (on ajoute toutes les fractions), puis R (on ajoute les irrationnels). L'option qui échange D et Q est fausse : tout décimal est une fraction, donc D est inclus dans Q et pas l'inverse. Celle qui part de R inverse tout le sens des inclusions, et la dernière place Z avant N, alors que c'est N qui est contenu dans Z.

3. Comment traduit-on la condition « x ≥ 5 » avec un intervalle ?

   • A.]5 ; +infini[
   • B.]−infini ; 5]
   • C.[5 ; +infini[Bonne réponse
   • D.[5 ; +infini]

   Réponse : C — [5 ; +infini[

   Le symbole ≥ inclut la valeur 5, il faut donc un crochet fermé du côté de 5 : [5. Et comme x peut être aussi grand qu'on veut, on va jusqu'à +infini, avec un crochet obligatoirement ouvert puisque l'infini n'est pas un nombre. D'où [5 ; +infini[. La réponse ]5 ; +infini[ exclut 5 à tort (elle traduirait x > 5), ]−infini ; 5] décrit l'inégalité inverse x ≤ 5, et [5 ; +infini] ferme le crochet sur l'infini, ce qui est une faute d'écriture.

4. L'intervalle [−3 ; 2[ correspond à quelle condition sur x ?

   • A.−3 < x < 2
   • B.−3 < x ≤ 2
   • C.−3 ≤ x ≤ 2
   • D.−3 ≤ x < 2Bonne réponse

   Réponse : D — −3 ≤ x < 2

   Le crochet de gauche est fermé (tourné vers l'intérieur) : la borne −3 est incluse, d'où −3 ≤ x. Le crochet de droite est ouvert (tourné vers l'extérieur) : la borne 2 est exclue, d'où x < 2. On obtient −3 ≤ x < 2. Les autres options se trompent d'un crochet au moins : relis toujours l'orientation de chaque crochet séparément, ils sont indépendants l'un de l'autre.

5. Quel est le plus petit ensemble, parmi N, Z, D et Q, auquel appartient 3/4 ?

   • A.N
   • B.Z
   • C.DBonne réponse
   • D.Q

   Réponse : C — D

   3/4 = 0,75 : l'écriture décimale s'arrête après deux chiffres, donc c'est un nombre décimal, et 3/4 appartient à D. Ce n'est ni un entier naturel ni un entier relatif, donc N et Z sont exclus. Q le contient aussi, bien sûr, mais D est plus petit que Q. Le critère rapide : le dénominateur 4 = 2 × 2 ne contient que des facteurs 2, donc la fraction est décimale.

6. Parmi ces nombres, lequel n'est PAS un nombre décimal ?

   • A.1/6Bonne réponse
   • B.7/5
   • C.1/8
   • D.9/4

   Réponse : A — 1/6

   Une fraction irréductible est décimale si son dénominateur ne contient que des facteurs 2 et 5. Ici : 8 = 2×2×2 donc 1/8 = 0,125 est décimal ; 5 est un facteur autorisé donc 7/5 = 1,4 est décimal ; 4 = 2×2 donc 9/4 = 2,25 est décimal. En revanche 6 = 2 × 3 contient un facteur 3, et 1/6 = 0,1666… ne s'arrête jamais : ce n'est pas un décimal. Il reste bien sûr rationnel, puisque c'est une fraction d'entiers.

7. L'inégalité |x − 4| ≤ 3 équivaut à quelle appartenance ?

   • A.x appartient à [1 ; 7]Bonne réponse
   • B.x appartient à [−3 ; 3]
   • C.x appartient à [4 ; 7]
   • D.x appartient à [−7 ; −1]

   Réponse : A — x appartient à [1 ; 7]

   |x − 4| se lit « distance entre x et 4 ». La condition dit donc que x est à une distance d'au plus 3 du nombre 4. On part du centre 4 et on s'écarte de 3 dans les deux sens : de 4 − 3 = 1 jusqu'à 4 + 3 = 7. Comme l'inégalité est large (≤), les bornes sont incluses : x appartient à [1 ; 7]. L'option [4 ; 7] oublie le côté gauche, et [−3 ; 3] confond avec |x| ≤ 3.

8. Que vaut l'intersection de [−1 ; 4[ et de ]2 ; 7] ?

   • A.[2 ; 4]
   • B.]2 ; 4[Bonne réponse
   • C.[−1 ; 7]
   • D.]2 ; 4]

   Réponse : B — ]2 ; 4[

   La zone commune va du plus grand des débuts (2) au plus petit des fins (4). Reste à traiter chaque borne séparément. En 2 : le second intervalle l'exclut (crochet ouvert), donc 2 est exclu de l'intersection. En 4 : le premier intervalle l'exclut, donc 4 est exclu aussi. Les deux bornes étant exclues, le résultat est ]2 ; 4[. Règle utile : une borne n'est incluse dans une intersection que si elle est incluse dans les DEUX intervalles.

9. On sait que 3 < x < 5 et 1 < y < 2. Que peut-on dire de x + y ?

   • A.3 < x + y < 10
   • B.2 < x + y < 3
   • C.1 < x + y < 5
   • D.4 < x + y < 7Bonne réponse

   Réponse : D — 4 < x + y < 7

   Pour additionner deux encadrements, on additionne les bornes de gauche entre elles et les bornes de droite entre elles : 3 + 1 = 4 pour le minimum et 5 + 2 = 7 pour le maximum. Donc 4 < x + y < 7. L'option 3 < x + y < 10 correspond au produit des bornes (3×1 et 5×2), pas à la somme. L'option 2 < x + y < 3 vient d'une soustraction, et la dernière recopie des bornes au hasard.

10. Quelle affirmation sur le nombre racine de 2 est exacte ?

    • A.Il est décimal, car la calculatrice affiche 1,414213562
    • B.Il est rationnel, car il s'écrit racine de 2 sur 1
    • C.Il n'appartient à aucun ensemble de nombres
    • D.Il est réel mais pas rationnel : c'est un nombre irrationnelBonne réponse

    Réponse : D — Il est réel mais pas rationnel : c'est un nombre irrationnel

    Racine de 2 repère bien un point de la droite graduée (c'est la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1), donc il appartient à R. Mais on démontre qu'il ne peut s'écrire comme quotient de deux entiers : il n'est donc pas dans Q, on dit qu'il est irrationnel. L'affichage de la calculatrice ne prouve rien : elle tronque. Et l'écriture « racine de 2 sur 1 » n'est pas une fraction d'ENTIERS, puisque le numérateur n'est pas entier.

11. On sait que x appartient à [2 ; 5]. À quel intervalle appartient −x ?

    • A.[−2 ; −5]
    • B.[−5 ; −2]Bonne réponse
    • C.[2 ; 5]
    • D.[−5 ; 5]

    Réponse : B — [−5 ; −2]

    Multiplier par −1 renverse le sens des inégalités. De 2 ≤ x ≤ 5 on tire −2 ≥ −x ≥ −5, qu'il ne reste plus qu'à relire de la plus petite borne vers la plus grande : −5 ≤ −x ≤ −2, donc −x appartient à [−5 ; −2]. Vérifie sur un exemple : x = 3 donne −x = −3, bien situé entre −5 et −2. L'option [−2 ; −5] a les bonnes valeurs mais dans le mauvais sens : un intervalle s'écrit TOUJOURS de la plus petite borne vers la plus grande, et −5 est plus petit que −2.

12. Que vaut l'intersection de ]−infini ; 2] et de [2 ; +infini[ ?

    • A.l'ensemble {2}, réduit au seul nombre 2Bonne réponse
    • B.l'ensemble vide, si les crochets ne se touchaient pas
    • C.R, l'ensemble de tous les nombres réels sans exception
    • D.[2 ; +infini[, l'intervalle de droite pris seul

    Réponse : A — l'ensemble {2}, réduit au seul nombre 2

    Le premier intervalle contient tous les nombres inférieurs ou égaux à 2, le second tous les nombres supérieurs ou égaux à 2. Un nombre appartenant aux deux doit vérifier x ≤ 2 ET x ≥ 2, donc x = 2. Comme 2 est inclus dans les deux intervalles (les deux crochets sont fermés en 2), l'intersection n'est pas vide : elle contient exactement un élément, on la note {2}. Si l'un des crochets avait été ouvert, l'intersection aurait bien été vide. Attention à ne pas confondre : R est la RÉUNION de ces deux intervalles.