Équations de droites

Exercices corrigés

1. Que représente graphiquement l'ordonnée à l'origine p d'une droite d'équation y = mx + p ?

   • A.L'abscisse du point où la droite coupe l'axe des abscisses
   • B.L'inclinaison de la droite par rapport à l'horizontale
   • C.La distance la plus courte entre la droite et l'origine du repère
   • D.L'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnéesBonne réponse

   Réponse : D — L'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées

   En posant x = 0 dans y = mx + p, on obtient y = p : la droite passe donc par le point de coordonnées (0 ; p), qui est précisément son point d'intersection avec l'axe des ordonnées. L'inclinaison, c'est le rôle de m. Quant à la distance de la droite à l'origine, elle est en général différente de p (sauf pour une droite horizontale) : ce n'est pas la bonne interprétation.

2. Quelle est l'équation réduite de la droite (AB) avec A(−2 ; 5) et B(2 ; −3) ?

   • A.y = 2x + 1
   • B.y = −2x + 1Bonne réponse
   • C.y = −2x − 1
   • D.y = −0,5x + 4

   Réponse : B — y = −2x + 1

   D'abord m = (−3 − 5)/(2 − (−2)) = (−8)/4 = −2. Ensuite on utilise A : 5 = −2 × (−2) + p, soit 5 = 4 + p, donc p = 1. L'équation est y = −2x + 1. Vérification avec B : −2 × 2 + 1 = −3, c'est bien l'ordonnée de B. Répondre y = −2x − 1, c'est une erreur de signe en isolant p ; répondre y = 2x + 1, c'est avoir oublié que la droite descend.

3. Quelle est l'équation réduite de la droite d'équation cartésienne 3x − 2y + 6 = 0 ?

   • A.y = −1,5x − 3
   • B.y = 3x + 6
   • C.y = 1,5x + 3Bonne réponse
   • D.y = 1,5x − 3

   Réponse : C — y = 1,5x + 3

   On isole y : 3x − 2y + 6 = 0 donne −2y = −3x − 6, puis en divisant tout par −2 : y = 1,5x + 3. Le piège est là : en divisant par un nombre NÉGATIF, les DEUX termes changent de signe. L'option 1 n'en change aucun, l'option 4 n'en change qu'un. Contrôle rapide avec x = 0 : l'équation de départ donne −2y + 6 = 0, soit y = 3, ce qui confirme p = 3.

4. Quelles sont les coordonnées du point d'intersection des droites d : y = 2x + 1 et d' : y = −x + 7 ?

   • A.(2 ; 3)
   • B.(5 ; 2)
   • C.(2 ; 5)Bonne réponse
   • D.(1 ; 3)

   Réponse : C — (2 ; 5)

   Au point commun, les ordonnées sont égales : 2x + 1 = −x + 7. On regroupe : 3x = 6, donc x = 2. Puis y = 2 × 2 + 1 = 5. Le point est (2 ; 5), et la vérification dans d' donne −2 + 7 = 5. Répondre (5 ; 2), c'est avoir inverti l'abscisse et l'ordonnée : garde toujours l'ordre (x ; y).

5. Quelle est l'équation réduite de la droite parallèle à d : y = 3x − 4 et passant par A(2 ; 1) ?

   • A.y = 3x + 1
   • B.y = −x/3 + 5/3
   • C.y = 3x − 5Bonne réponse
   • D.y = 2x − 3

   Réponse : C — y = 3x − 5

   Être parallèle à d impose le même coefficient directeur : m = 3. L'équation est donc y = 3x + p, et le point A doit la vérifier : 1 = 3 × 2 + p, soit 1 = 6 + p, donc p = −5. La droite cherchée est y = 3x − 5. Répondre y = 3x + 1, c'est avoir pris l'ordonnée de A comme ordonnée à l'origine, ce qui ne serait valable que si l'abscisse de A était 0.

6. Pour la droite d'équation 4x + 2y − 8 = 0, que valent le coefficient directeur m et l'ordonnée à l'origine p ?

   • A.m = 4 et p = −8
   • B.m = −2 et p = 4Bonne réponse
   • C.m = 2 et p = 4
   • D.m = −2 et p = −4

   Réponse : B — m = −2 et p = 4

   On isole y : 2y = −4x + 8, puis on divise par 2 : y = −2x + 4. Donc m = −2 et p = 4. Répondre m = 4 et p = −8, c'est lire directement les coefficients de l'équation cartésienne sans la transformer, ce qui est faux. Contrôle : pour x = 0, l'équation de départ donne 2y − 8 = 0, soit y = 4, ce qui confirme p = 4.

7. Les points A(1 ; 2), B(3 ; 6) et C(5 ; 10) sont-ils alignés ?

   • A.Oui, car les coefficients directeurs de (AB) et de (BC) valent tous deux 2Bonne réponse
   • B.Non, car le coefficient directeur de (AB) vaut 2 et celui de (BC) vaut 4
   • C.Non, car C n'appartient pas à la droite d'équation y = 2x
   • D.On ne peut pas conclure sans tracer précisément la figure

   Réponse : A — Oui, car les coefficients directeurs de (AB) et de (BC) valent tous deux 2

   Coefficient directeur de (AB) : (6 − 2)/(3 − 1) = 4/2 = 2. Coefficient directeur de (BC) : (10 − 6)/(5 − 3) = 4/2 = 2. Les deux droites passent par B avec la même pente : elles sont donc confondues, et les trois points sont alignés. L'option 2 confond la variation des ordonnées (4) avec le coefficient directeur (4/2 = 2). Quant à C, il vérifie bien y = 2x puisque 2 × 5 = 10.

8. Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de d : y = 0,5x + 1 et d' : y = −2x + 6 ?

   • A.(1 ; 4)
   • B.(2 ; 3)
   • C.(4 ; 3)
   • D.(2 ; 2)Bonne réponse

   Réponse : D — (2 ; 2)

   On résout 0,5x + 1 = −2x + 6. En multipliant tout par 2 pour éliminer la virgule : x + 2 = −4x + 12, puis 5x = 10 et x = 2. On calcule ensuite y = 0,5 × 2 + 1 = 2. Le point est (2 ; 2), et la vérification dans d' donne −2 × 2 + 6 = 2. Répondre (2 ; 3), c'est avoir trouvé la bonne abscisse mais fait une erreur en calculant y : ne néglige jamais cette dernière étape.

9. Quelle est l'équation réduite de la droite passant par A(3 ; −2) et parallèle à la droite d'équation 2x + y − 5 = 0 ?

   • A.y = −2x + 4Bonne réponse
   • B.y = −2x − 8
   • C.y = 2x − 8
   • D.y = −2x + 5

   Réponse : A — y = −2x + 4

   Il faut d'abord réduire la droite donnée : 2x + y − 5 = 0 devient y = −2x + 5, donc son coefficient directeur vaut −2. La parallèle cherchée s'écrit y = −2x + p, et A doit la vérifier : −2 = −2 × 3 + p, soit −2 = −6 + p, donc p = 4. L'équation est y = −2x + 4. Répondre y = −2x + 5, c'est recopier la droite de départ, qui ne passe pas par A (car −2 × 3 + 5 = −1, et non −2).

10. Pour quelle valeur de k les droites d : 2x − 3y + 1 = 0 et d' : kx + 6y − 5 = 0 sont-elles parallèles ?

    • A.k = 4
    • B.k = −4Bonne réponse
    • C.k = −1
    • D.k = 9

    Réponse : B — k = −4

    Réduisons les deux droites. Pour d : 3y = 2x + 1, donc y = (2/3)x + 1/3, et son coefficient directeur vaut 2/3. Pour d' : 6y = −kx + 5, donc y = (−k/6)x + 5/6, et son coefficient directeur vaut −k/6. Les droites sont parallèles quand les coefficients directeurs sont égaux : −k/6 = 2/3, soit −k = 4 (en multipliant les deux membres par 6, puisque 6 × 2/3 = 4), donc k = −4. Le piège classique est d'oublier le signe moins apporté par le passage de kx de l'autre côté et de répondre 4.

11. Quelle est l'ordonnée à l'origine de la droite d'équation y = −3x + 5 ?

    • A.−3
    • B.5Bonne réponse
    • C.−5
    • D.3

    Réponse : B — 5

    Dans l'écriture y = mx + p, le nombre p (celui qui ne dépend pas de x) est l'ordonnée à l'origine : ici p = 5. C'est aussi l'ordonnée du point de la droite d'abscisse 0, car pour x = 0 on obtient y = 5. Le nombre −3 est le coefficient directeur, pas l'ordonnée à l'origine.

12. Quel est le coefficient directeur de la droite d'équation y = 4 − 2x ?

    • A.4
    • B.2
    • C.−2Bonne réponse
    • D.−1/2

    Réponse : C — −2

    Il faut d'abord reconnaître la forme y = mx + p en réordonnant : y = −2x + 4. Le coefficient directeur est le nombre qui multiplie x, avec son signe : m = −2. Répondre 2, c'est oublier le signe moins ; répondre 4, c'est donner l'ordonnée à l'origine. Comme m est négatif, la droite descend de gauche à droite.