Équations et inéquations
Seconde · Maths · Nombres et calculs
Nombres et calculs
Résoudre une équation
Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie — ni une de moins, ni une de trop. En seconde, on ne se contente plus du premier degré : on rencontre les équations produit nul, les équations du type x² = a et les équations avec un dénominateur. Le fil rouge est toujours le même : transformer l'équation en une équation plus simple qui a exactement les mêmes solutions.
Le premier degré : isoler l'inconnue. Une équation du premier degré s'écrit ax + b = cx + d. La stratégie tient en une phrase : on rassemble les termes en x d'un côté, les nombres de l'autre, puis on divise. Si tout se simplifie et qu'il ne reste plus de x, deux cas : soit on obtient une égalité vraie comme 3 = 3 (toutes les valeurs conviennent, S = R), soit une égalité fausse comme 3 = 5 (aucune valeur ne convient, S est vide).
Les équations du type x² = a
| Équation | Nombre de solutions | Ensemble S |
|---|---|---|
| x² = a avec a > 0 | deux solutions opposées | S = {−racine de a ; racine de a} |
| x² = 0 | une seule solution | S = {0} |
| x² = a avec a < 0 | aucune solution | S = ensemble vide |
Nombres et calculs
Inéquations et tableaux de signes
Une inéquation se résout presque comme une équation, avec une différence de taille : une opération peut retourner le sens de l'inégalité. Et la réponse n'est plus une liste de nombres, mais un intervalle ou une réunion d'intervalles. C'est là que le chapitre sur les intervalles trouve son utilité.
Le signe d'une expression du premier degré
L'expression ax + b s'annule pour x = −b/a. De part et d'autre de cette valeur, elle change de signe. Le sens de variation dépend de a :
Si a > 0, l'expression est négative avant la racine, positive après.
Si a < 0, c'est l'inverse : positive avant, négative après.
Moyen mnémotechnique : « signe de a après la racine ». Pour 2x − 6, la racine est 3 et a = 2 est positif, donc l'expression est positive pour x > 3.
| Expression | S'annule en | Signe avant la racine | Signe après la racine |
|---|---|---|---|
| 2x − 6 | x = 3 | négatif | positif |
| x + 5 | x = −5 | négatif | positif |
| −4x + 8 | x = 2 | positif | négatif |
| −x − 3 | x = −3 | positif | négatif |
Exercices corrigés
Quelle est la solution de l'équation 3x + 5 = 20 ?
- A.x = 25/3
- B.x = 15
- C.x = 5Bonne réponse
- D.x = 3
Réponse : C — x = 5
On isole le terme en x en soustrayant 5 aux deux membres : 3x = 15. Puis on divise les deux membres par 3 : x = 5. Vérification : 3 × 5 + 5 = 15 + 5 = 20, l'égalité est bien vérifiée. Répondre x = 15, c'est s'arrêter avant la division. Répondre 25/3, c'est avoir additionné le 5 au lieu de le soustraire.
Quelles sont les solutions de l'équation (x − 2)(x + 7) = 0 ?
- A.x = 2 et x = −7Bonne réponse
- B.x = −2 et x = 7
- C.x = 2 et x = 7
- D.x = −2 et x = −7
Réponse : A — x = 2 et x = −7
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Premier cas : x − 2 = 0, donc x = 2. Second cas : x + 7 = 0, donc x = −7. L'ensemble des solutions est S = {−7 ; 2}. Le réflexe à corriger : recopier les nombres tels qu'ils apparaissent dans les parenthèses. Il faut résoudre chaque petite équation, ce qui change le signe. Vérifie : (2 − 2)(2 + 7) = 0 × 9 = 0.
Combien l'équation x² = 25 a-t-elle de solutions, et lesquelles ?
- A.Une seule : x = 25
- B.Une seule : x = 5
- C.Aucune solution
- D.Deux : x = 5 et x = −5Bonne réponse
Réponse : D — Deux : x = 5 et x = −5
Deux nombres ont pour carré 25 : le nombre 5 puisque 5² = 25, et son opposé −5 puisque (−5)² = 25 également (le produit de deux négatifs est positif). L'ensemble des solutions est donc S = {−5 ; 5}. Oublier la solution négative est l'erreur numéro un de ce chapitre. Retiens la règle : x² = a avec a strictement positif a toujours DEUX solutions opposées.
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation 2x < 8 ?
- A.[4 ; +infini[
- B.]−infini ; 4[Bonne réponse
- C.]4 ; +infini[
- D.]−infini ; 4]
Réponse : B — ]−infini ; 4[
On divise les deux membres par 2, qui est un nombre positif : le sens de l'inégalité ne change pas, et on obtient x < 4. En intervalle, « tous les nombres strictement inférieurs à 4 » s'écrit ]−infini ; 4[, avec un crochet ouvert en 4 puisque l'inégalité est stricte, et un crochet toujours ouvert face à l'infini. Contrôle : x = 0 donne 0 < 8, c'est vrai, et 0 appartient bien à l'intervalle proposé.
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation x + 7 ≤ 3 ?
- A.]−infini ; −4]Bonne réponse
- B.]−infini ; −4[
- C.[−4 ; +infini[
- D.]−infini ; 10]
Réponse : A — ]−infini ; −4]
On soustrait 7 aux deux membres, ce qui ne change jamais le sens d'une inégalité : x ≤ 3 − 7 = −4. L'inégalité étant large (≤), la valeur −4 est incluse, d'où un crochet FERMÉ : S = ]−infini ; −4]. Répondre ]−infini ; 10] revient à avoir additionné 7 au lieu de le soustraire. Vérification avec x = −4 : −4 + 7 = 3, et 3 ≤ 3 est vrai, donc −4 est bien solution.
Pour quelles valeurs de x l'expression 2x − 6 est-elle strictement positive ?
- A.pour x < 3
- B.pour x > −3
- C.pour x < −3
- D.pour x > 3Bonne réponse
Réponse : D — pour x > 3
On résout 2x − 6 > 0, c'est-à-dire 2x > 6, puis x > 3 (on divise par 2, positif, donc pas de renversement). Autre façon de voir : l'expression s'annule en x = 3, et comme le coefficient de x vaut 2, qui est positif, l'expression prend le signe de ce coefficient APRÈS la racine. Elle est donc positive pour x > 3 et négative avant. Contrôle avec x = 4 : 2 × 4 − 6 = 2, bien positif.
Quelle est la solution de l'équation 5x − 3 = 2x + 9 ?
- A.x = 2
- B.x = 4Bonne réponse
- C.x = 12
- D.x = 6/7
Réponse : B — x = 4
On rassemble les x à gauche en retirant 2x aux deux membres : 3x − 3 = 9. Puis on ajoute 3 : 3x = 12. Enfin on divise par 3 : x = 4. Vérification indispensable : membre de gauche 5 × 4 − 3 = 17, membre de droite 2 × 4 + 9 = 17. Les deux coïncident. Répondre x = 12, c'est oublier la dernière division ; répondre 6/7 vient d'avoir additionné 2x au lieu de le soustraire.
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation −3x ≥ 12 ?
- A.[−4 ; +infini[
- B.[4 ; +infini[
- C.]−infini ; −4]Bonne réponse
- D.]−infini ; 4]
Réponse : C — ]−infini ; −4]
On divise les deux membres par −3. Comme ce nombre est NÉGATIF, il faut renverser le sens de l'inégalité : le ≥ devient ≤, et on obtient x ≤ −4. En intervalle : ]−infini ; −4], avec crochet fermé car l'inégalité est large. Oublier le renversement conduit à [−4 ; +infini[, le piège tendu ici. Vérifie avec x = −5 : −3 × (−5) = 15, et 15 ≥ 12 est vrai. Alors qu'avec x = 0 : 0 ≥ 12 est faux.
Quelles sont les solutions de l'équation (2x − 1)(x + 4) = 0 ?
- A.x = 1 et x = −4
- B.x = 2 et x = −4
- C.x = −1/2 et x = 4
- D.x = 1/2 et x = −4Bonne réponse
Réponse : D — x = 1/2 et x = −4
Un produit est nul quand l'un de ses facteurs est nul. Premier facteur : 2x − 1 = 0 donne 2x = 1, donc x = 1/2 — attention, il ne faut pas oublier de diviser par le coefficient 2. Second facteur : x + 4 = 0 donne x = −4. Donc S = {−4 ; 1/2}. Répondre x = 1 est l'erreur classique : on résout x − 1 = 0 en négligeant le coefficient 2. Vérification : (2 × 0,5 − 1)(0,5 + 4) = 0 × 4,5 = 0.
Quelle est la solution de l'équation 4(x − 2) = 3x + 1 ?
- A.x = 1
- B.x = 7
- C.x = 9Bonne réponse
- D.x = −7
Réponse : C — x = 9
On développe d'abord le membre de gauche : 4(x − 2) = 4x − 8. L'équation devient 4x − 8 = 3x + 1. On retire 3x aux deux membres : x − 8 = 1. On ajoute 8 : x = 9. Vérification : à gauche 4 × (9 − 2) = 4 × 7 = 28, à droite 3 × 9 + 1 = 28. C'est cohérent. Répondre x = 7, c'est avoir oublié de distribuer le 4 sur le −2 (en écrivant 4x − 2).
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation 3x + 2 ≤ 5x − 6 ?
- A.[4 ; +infini[Bonne réponse
- B.]−infini ; 4]
- C.]−infini ; −4]
- D.[−2 ; +infini[
Réponse : A — [4 ; +infini[
Astuce : rassemble les x du côté où leur coefficient restera positif, tu éviteras tout renversement. On retire 3x aux deux membres : 2 ≤ 2x − 6. On ajoute 6 : 8 ≤ 2x. On divise par 2, qui est positif : 4 ≤ x, c'est-à-dire x ≥ 4. En intervalle, avec crochet fermé car l'inégalité est large : S = [4 ; +infini[. Contrôle avec x = 5 : à gauche 17, à droite 19, et 17 ≤ 19 est bien vrai.
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation (x − 1)(x + 3) > 0 ?
- A.]−3 ; 1[, entre les deux racines
- B.]1 ; +infini[, au-delà de la racine 1
- C.[−3 ; 1], les racines étant incluses
- D.]−infini ; −3[ réunion ]1 ; +infini[Bonne réponse
Réponse : D — ]−infini ; −3[ réunion ]1 ; +infini[
Tableau de signes avec les racines −3 et 1, rangées dans l'ordre croissant. Sur ]−infini ; −3[ : les deux facteurs sont négatifs, donc le produit est POSITIF (moins par moins donne plus). Sur ]−3 ; 1[ : x + 3 est positif mais x − 1 est négatif, donc le produit est négatif. Sur ]1 ; +infini[ : les deux sont positifs, produit positif. On cherche le strictement positif, donc S = ]−infini ; −3[ réunion ]1 ; +infini[. Ne garder que ]1 ; +infini[ revient à oublier la zone où les deux facteurs sont négatifs. Contrôle avec x = −4 : (−5) × (−1) = 5, bien positif.
S'entraîner sur ce chapitre
Ce chapitre compte 39 exercices corrigés dans l'application, avec le suivi de ta progression.
Commencer les exercices