Arithmétique : nombres premiers et fractions irréductibles

Exercices corrigés

1. Quel est le plus petit nombre premier ?

   • A.0
   • B.1
   • C.2Bonne réponse
   • D.3

   Réponse : C — 2

   C'est 2 : ses seuls diviseurs sont 1 et 2. C'est aussi le seul nombre premier pair, puisque tous les autres nombres pairs sont divisibles par 2 en plus de 1 et d'eux-mêmes. 0 est divisible par tous les entiers, et 1 n'a qu'un seul diviseur : ni l'un ni l'autre n'est premier.

2. Parmi ces nombres, lequel est divisible par 3 ?

   • A.417Bonne réponse
   • B.121
   • C.238
   • D.502

   Réponse : A — 417

   Le critère : un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres l'est. 4 + 1 + 7 = 12, et 12 est divisible par 3, donc 417 aussi (417 = 3 × 139). Pour les autres : 1 + 2 + 1 = 4, 2 + 3 + 8 = 13, 5 + 0 + 2 = 7 — aucune de ces sommes n'est un multiple de 3.

3. Combien y a-t-il de nombres premiers strictement inférieurs à 20 ?

   • A.6
   • B.9
   • C.7
   • D.8Bonne réponse

   Réponse : D — 8

   Ce sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19, soit 8 nombres. Les pièges habituels : compter 1 (qui n'est pas premier) ou oublier 2 parce qu'il est pair. Pense aussi à écarter 9 = 3 × 3 et 15 = 3 × 5.

4. On donne 84 = 2 × 2 × 3 × 7 et 126 = 2 × 3 × 3 × 7. Que vaut PGCD(84 ; 126) ?

   • A.42Bonne réponse
   • B.252
   • C.14
   • D.84

   Réponse : A — 42

   Pour chaque facteur premier commun, on garde la plus petite puissance présente. Le 2 apparaît deux fois dans 84 mais une seule dans 126 : on en garde un. Le 3 apparaît une fois dans 84 et deux fois dans 126 : on en garde un. Le 7 apparaît une fois dans chaque : on le garde. PGCD = 2 × 3 × 7 = 42. Vérification : 84 ÷ 42 = 2 et 126 ÷ 42 = 3. Répondre 252 donne le PPCM (trop grand), et 84 ne divise pas 126.

5. On veut carreler une pièce rectangulaire de 105 cm sur 60 cm avec des dalles carrées identiques, sans en découper aucune. Quel est le côté maximal d'une dalle ?

   • A.5 cm
   • B.20 cm
   • C.15 cmBonne réponse
   • D.30 cm

   Réponse : C — 15 cm

   Le côté doit diviser 105 et 60 à la fois, et on le veut maximal : c'est PGCD(105 ; 60). Décomposons : 105 = 3 × 5 × 7 et 60 = 2 × 2 × 3 × 5. Facteurs communs : un 3 et un 5, donc PGCD = 15 cm. Vérification : 105 ÷ 15 = 7 dalles en longueur et 60 ÷ 15 = 4 en largeur, soit 28 dalles au total. Répondre 30 cm est impossible car 30 ne divise pas 105 ; répondre 5 cm donne un diviseur commun, mais pas le plus grand.

6. Parmi ces nombres, lequel est un nombre premier ?

   • A.1
   • B.9
   • C.21
   • D.17Bonne réponse

   Réponse : D — 17

   Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. 17 n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5 : il est premier. En revanche 1 n'a qu'un seul diviseur (lui-même), donc il n'est pas premier ; 9 = 3 × 3 et 21 = 3 × 7.

7. Combien 12 possède-t-il de diviseurs (positifs) ?

   • A.4
   • B.6Bonne réponse
   • C.5
   • D.12

   Réponse : B — 6

   Listons-les dans l'ordre : 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Cela fait 6 diviseurs. Une astuce : cherche-les par paires dont le produit vaut 12 (1 × 12, 2 × 6, 3 × 4). Répondre 4, c'est n'avoir gardé que 1, 2, 3 et 12 en oubliant 4 et 6.

8. Le nombre 51 est-il premier ?

   • A.Oui, car il est impair
   • B.Non, car il est divisible par 3Bonne réponse
   • C.Oui, car il ne finit ni par 0 ni par 5
   • D.Non, car il est divisible par 7

   Réponse : B — Non, car il est divisible par 3

   5 + 1 = 6, qui est divisible par 3 : donc 51 est divisible par 3 et 51 = 3 × 17. Il a quatre diviseurs (1, 3, 17, 51), il n'est donc pas premier. Attention au piège classique : être impair ne suffit pas du tout pour être premier ! Et 51 n'est pas divisible par 7 (7 × 7 = 49, 7 × 8 = 56).

9. Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de 60 ?

   • A.2 × 3 × 10
   • B.4 × 15
   • C.2 × 30
   • D.2 × 2 × 3 × 5Bonne réponse

   Réponse : D — 2 × 2 × 3 × 5

   On divise par le plus petit premier possible à chaque étape : 60 = 2 × 30, 30 = 2 × 15, 15 = 3 × 5. Donc 60 = 2 × 2 × 3 × 5. Vérification : 4 × 15 = 60. Les autres écritures donnent bien 60, mais 10, 4, 15 et 30 ne sont pas des nombres premiers : ce ne sont donc pas des décompositions en facteurs premiers.

10. Quel est le PGCD de 24 et 36 ?

    • A.12Bonne réponse
    • B.6
    • C.72
    • D.4

    Réponse : A — 12

    24 = 2 × 2 × 2 × 3 et 36 = 2 × 2 × 3 × 3. Facteurs communs : deux 2 et un 3, donc PGCD = 2 × 2 × 3 = 12. Vérification : 24 ÷ 12 = 2 et 36 ÷ 12 = 3, ça tombe juste. Répondre 6, c'est un diviseur commun mais pas le PLUS GRAND. Et 72 est le PPCM, forcément plus grand que les deux nombres : impossible pour un PGCD.

11. Rendre la fraction 24/36 irréductible donne :

    • A.12/18
    • B.2/3Bonne réponse
    • C.6/9
    • D.4/6

    Réponse : B — 2/3

    PGCD(24 ; 36) = 12. On divise en haut et en bas par 12 : 24 ÷ 12 = 2 et 36 ÷ 12 = 3, donc 24/36 = 2/3. Comme 2 et 3 sont premiers entre eux, la fraction est irréductible. Les trois autres réponses sont bien égales à 2/3, mais elles peuvent encore être simplifiées : ce ne sont pas des fractions irréductibles.

12. Deux nombres sont dits « premiers entre eux » lorsque :

    • A.ils sont tous les deux des nombres premiers
    • B.l'un divise l'autre
    • C.leur PGCD vaut 1Bonne réponse
    • D.leur somme est un nombre premier

    Réponse : C — leur PGCD vaut 1

    Premiers entre eux signifie que leur seul diviseur commun est 1, autrement dit que leur PGCD vaut 1. Attention à la confusion très fréquente : 15 et 28 sont premiers entre eux (PGCD = 1) alors qu'aucun des deux n'est un nombre premier (15 = 3 × 5 et 28 = 2 × 2 × 7).