Trigonométrie : cosinus, sinus, tangente
Troisième · Maths · Espace et géométrie
Géométrie
Les trois rapports du triangle rectangle
Le théorème de Pythagore relie les trois longueurs d'un triangle rectangle, mais il ne parle jamais des angles. La trigonométrie comble ce manque : elle relie un angle aigu aux longueurs des côtés. C'est elle qui permet de calculer la hauteur d'un immeuble depuis le sol, ou l'inclinaison d'une rampe d'accès.
Le vocabulaire : tout dépend de l'angle choisi
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : c'est toujours le plus long, et il ne change jamais de nom. En revanche, les deux autres côtés changent d'appellation selon l'angle aigu que l'on regarde :
le côté opposé à l'angle est celui qui lui fait face, de l'autre côté du triangle ;
le côté adjacent à l'angle est celui qui le forme, avec l'hypoténuse.
| Ce que tu connais | Ce que tu cherches | Rapport à utiliser |
|---|---|---|
| un angle et l'hypoténuse | le côté adjacent | cosinus |
| un angle et l'hypoténuse | le côté opposé | sinus |
| un angle et le côté adjacent | le côté opposé | tangente |
| le côté adjacent et l'hypoténuse | l'angle | cosinus (puis touche inverse) |
| le côté opposé et l'hypoténuse | l'angle | sinus (puis touche inverse) |
| les deux côtés de l'angle droit | l'angle | tangente (puis touche inverse) |
Géométrie
Calculer un angle et résoudre des problèmes
Jusqu'ici, l'angle était connu et on cherchait une longueur. On fait maintenant le trajet inverse : deux longueurs sont données, et il s'agit de retrouver la mesure de l'angle. C'est la question la plus fréquente au brevet.
| Angle | cosinus | sinus | tangente |
|---|---|---|---|
| 30° | 0,866 environ | 0,5 | 0,577 environ |
| 45° | 0,707 environ | 0,707 environ | 1 |
| 60° | 0,5 | 0,866 environ | 1,732 environ |
- Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours strictement compris entre 0 et 1, car on divise un côté par l'hypoténuse, qui est plus longue.
- La tangente, elle, peut dépasser 1 : elle vaut exactement 1 pour 45°, et devient très grande quand l'angle approche 90°.
- Quand l'angle augmente, son cosinus diminue et son sinus augmente.
- Si tu trouves un cosinus égal à 1,4, c'est certainement que tu as inversé la fraction.
Résoudre un problème concret
Exercices corrigés
Dans un triangle rectangle, comment appelle-t-on le côté opposé à l'angle droit ?
- A.Le côté adjacent
- B.La hauteur
- C.L'hypoténuseBonne réponse
- D.La médiane
Réponse : C — L'hypoténuse
Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse, et c'est toujours le plus long côté du triangle rectangle. Son nom ne dépend pas de l'angle aigu que l'on considère, contrairement aux côtés « adjacent » et « opposé », qui échangent leurs rôles selon l'angle étudié.
Pour un angle aigu d'un triangle rectangle, à quoi est égal le cosinus ?
- A.Côté adjacent / hypoténuseBonne réponse
- B.Côté opposé / hypoténuse
- C.Hypoténuse / côté adjacent
- D.Côté opposé / côté adjacent
Réponse : A — Côté adjacent / hypoténuse
CAH : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse. L'option 2 correspond au sinus (SOH) et l'option 4 à la tangente (TOA). L'option 3 est la fraction inversée : elle donnerait un nombre supérieur à 1, ce qui est impossible pour un cosinus d'angle aigu.
Pour un angle aigu d'un triangle rectangle, à quoi est égal le sinus ?
- A.Côté adjacent / hypoténuse
- B.Côté opposé / hypoténuseBonne réponse
- C.Côté adjacent / côté opposé
- D.Hypoténuse / côté opposé
Réponse : B — Côté opposé / hypoténuse
SOH : Sinus = Opposé / Hypoténuse. Le piège consiste à répondre « adjacent / hypoténuse », qui est le cosinus. Un moyen simple de ne pas les mélanger : le sinus regarde le côté qui FAIT FACE à l'angle, le cosinus regarde celui qui le TOUCHE.
Pour un angle aigu d'un triangle rectangle, à quoi est égale la tangente ?
- A.Côté opposé / hypoténuse
- B.Côté adjacent / hypoténuse
- C.Hypoténuse / côté adjacent
- D.Côté opposé / côté adjacentBonne réponse
Réponse : D — Côté opposé / côté adjacent
TOA : Tangente = Opposé / Adjacent. Point essentiel : l'hypoténuse n'intervient PAS dans la tangente, qui ne fait appel qu'aux deux côtés de l'angle droit. C'est ce qui la rend très pratique quand on ne connaît pas l'hypoténuse et qu'on ne veut pas passer par Pythagore.
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu vaut exactement 0,5. Combien mesure cet angle ?
- A.30°
- B.45°
- C.0,5°
- D.60°Bonne réponse
Réponse : D — 60°
On utilise la touche inverse du cosinus : l'angle dont le cosinus vaut 0,5 mesure 60°. Répondre 30° est le piège classique : c'est le SINUS de 30° qui vaut 0,5, pas son cosinus (cos 30° vaut environ 0,866). Retiens que cosinus et sinus échangent leurs valeurs entre 30° et 60°.
ABC est rectangle en A avec AC = 3 cm et BC = 5 cm. Combien vaut sin B ?
- A.0,8
- B.1,67
- C.0,6Bonne réponse
- D.0,75
Réponse : C — 0,6
Vu depuis l'angle B, le côté opposé est [AC] et l'hypoténuse est [BC]. Donc sin B = AC/BC = 3/5 = 0,6. Répondre 0,8 correspond à cos B : d'après Pythagore, AB = 4 cm, donc cos B = 4/5 = 0,8. C'est un excellent distracteur, mais la question portait bien sur le sinus. Répondre 0,75 revient à calculer AC/AB = 3/4, qui est la tangente.
ABC est rectangle en A, avec un angle B de 40° et AC = 6 cm. Quelle est la longueur BC, arrondie au dixième ?
- A.3,9 cm
- B.9,3 cmBonne réponse
- C.7,8 cm
- D.5,0 cm
Réponse : B — 9,3 cm
Le côté [AC] est opposé à l'angle B et [BC] est l'hypoténuse : on utilise donc le sinus. sin B = AC/BC, soit sin 40° = 6/BC. L'inconnue est au DÉNOMINATEUR, il faut donc diviser : BC = 6 / sin 40° = 6 / 0,643 ≈ 9,3 cm. Répondre 3,9 cm, c'est avoir multiplié (6 × sin 40°) au lieu de diviser : impossible, car l'hypoténuse doit être plus longue que 6 cm. Répondre 7,8 cm vient de l'emploi du cosinus à la place du sinus.
Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur vertical et forme un angle de 70° avec le sol horizontal. À quelle hauteur touche-t-elle le mur, au dixième de mètre près ?
- A.1,7 m
- B.5,3 m
- C.13,7 m
- D.4,7 mBonne réponse
Réponse : D — 4,7 m
Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle dont l'hypoténuse est l'échelle (5 m). La hauteur cherchée est le côté OPPOSÉ à l'angle de 70°, donc on utilise le sinus : hauteur = 5 × sin 70° = 5 × 0,9397 ≈ 4,7 m. Répondre 1,7 m, c'est avoir pris le cosinus, ce qui donne la distance du pied de l'échelle au mur. Et 5,3 m est impossible : la hauteur atteinte ne peut pas dépasser la longueur de l'échelle.
ABC est rectangle en A avec AB = 6 cm et AC = 8 cm. Quelle est la mesure de l'angle B, arrondie au degré ?
- A.37°
- B.45°
- C.53°Bonne réponse
- D.60°
Réponse : C — 53°
Deux chemins mènent au résultat. Le plus direct : tan B = AC/AB = 8/6 ≈ 1,333, donc B ≈ 53,1°, soit 53°. L'autre : Pythagore donne BC² = 36 + 64 = 100, donc BC = 10 cm, puis cos B = AB/BC = 6/10 = 0,6, ce qui redonne B ≈ 53°. Répondre 37°, c'est avoir calculé l'angle C au lieu de l'angle B — vérifie toujours de quel sommet parle l'énoncé.
Un plan incliné mesure 12 m de long et forme un angle de 25° avec l'horizontale. Quelle hauteur permet-il de gagner, au dixième de mètre près ?
- A.5,1 mBonne réponse
- B.10,9 m
- C.5,6 m
- D.28,4 m
Réponse : A — 5,1 m
Le plan incliné est l'hypoténuse (12 m) et la hauteur gagnée est le côté opposé à l'angle de 25°. On applique donc le sinus : hauteur = 12 × sin 25° = 12 × 0,4226 ≈ 5,1 m. Répondre 10,9 m, c'est avoir utilisé le cosinus, qui donne la distance horizontale parcourue. Répondre 5,6 m vient de la tangente (12 × tan 25°), qui ne s'applique pas ici puisque la longueur connue est l'hypoténuse, pas un côté de l'angle droit.
ABC est rectangle en A, avec un angle B de 55° et AB = 7 cm. Quelle est l'aire du triangle ABC, arrondie à l'unité ?
- A.17 cm²
- B.70 cm²
- C.25 cm²
- D.35 cm²Bonne réponse
Réponse : D — 35 cm²
Étape 1 — On cherche AC. Vu de l'angle B, [AC] est le côté opposé et [AB] le côté adjacent : c'est la tangente. tan 55° = AC/AB, donc AC = 7 × tan 55° = 7 × 1,428 ≈ 10,0 cm. Étape 2 — Le triangle étant rectangle en A, les côtés [AB] et [AC] sont perpendiculaires : ils jouent le rôle de base et de hauteur. Aire = (AB × AC)/2 = (7 × 10)/2 = 35 cm². Répondre 70 cm², c'est oublier de diviser par 2 ; répondre 17 cm² revient à utiliser BC comme si c'était la hauteur. Ne mélange pas les deux étapes : d'abord la longueur manquante, ensuite seulement l'aire.
Le triangle ABC est rectangle en A. Quel segment est l'hypoténuse ?
- A.[AB]
- B.[AC]
- C.[BC]Bonne réponse
- D.Cela dépend de l'angle que l'on regarde
Réponse : C — [BC]
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. L'angle droit étant en A, l'hypoténuse est le côté qui ne contient pas le point A : c'est [BC]. Les segments [AB] et [AC] sont les deux côtés de l'angle droit, et ce sont eux — pas l'hypoténuse — qui changent de nom (opposé ou adjacent) selon l'angle aigu considéré.
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Ce chapitre compte 37 exercices corrigés dans l'application, avec le suivi de ta progression.
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