Sections de solides, agrandissement et réduction
Troisième · Maths · Espace et géométrie
Espace et géométrie
Couper un solide par un plan
Imagine que tu tranches un solide avec un grand couteau parfaitement plat. La figure qui apparaît sur la coupe s'appelle la section du solide par ce plan. Selon le solide et l'orientation du plan, on obtient un rectangle, un disque, un cercle ou un polygone. Savoir reconnaître la nature de la section est un grand classique du brevet.
Le tableau des sections à connaître
| Solide | Plan de coupe | Section obtenue |
|---|---|---|
| Pavé droit | parallèle à une face | un rectangle identique à cette face |
| Pavé droit | parallèle à une arête | un rectangle |
| Cylindre de révolution | parallèle à la base | un disque de même rayon que la base |
| Cylindre de révolution | parallèle à l'axe | un rectangle |
| Cône de révolution | parallèle à la base | un disque, réduction de la base |
| Pyramide | parallèle à la base | un polygone semblable à la base (réduction) |
| Sphère | n'importe quel plan | un cercle |
Le cas du cône et de la pyramide
C'est le cas le plus riche, car la section n'est pas identique à la base : elle en est une réduction. Le petit solide situé entre le sommet et le plan de coupe est une réduction du solide entier. Le rapport de réduction k se lit sur les distances mesurées depuis le sommet :
k = hauteur du petit solide / hauteur du grand solide
On peut aussi le lire sur deux arêtes latérales correspondantes : k = SM/SA, par exemple.
Grandeurs et mesures
Agrandissement et réduction : longueurs, aires, volumes
Agrandir ou réduire une figure, c'est multiplier toutes ses longueurs par un même nombre k, sans changer sa forme ni ses angles. Mais attention : les aires et les volumes, eux, ne suivent pas le même rythme. C'est là que se joue la difficulté du chapitre.
La règle des trois puissances
| Grandeur concernée | Multipliée par | Pourquoi |
|---|---|---|
| Longueur, périmètre, rayon, hauteur | k | une seule dimension |
| Aire d'une face, aire totale | k² | deux dimensions : k × k |
| Volume | k³ | trois dimensions : k × k × k |
| Mesure d'un angle | 1 (inchangée) | la forme est conservée |
Application : le volume d'un tronc de cône.
Quand on coupe un cône par un plan parallèle à sa base, on obtient deux morceaux : le petit cône (du côté du sommet) et le tronc de cône (la partie basse, en forme de seau). Le petit cône est une réduction de rapport k du grand, donc son volume vaut k³ fois celui du grand. Pour le tronc, il suffit de soustraire :
Volume du tronc = volume du grand cône − volume du petit cône
Exercices corrigés
Une figure subit une réduction de rapport 1/3. Son aire est...
- A.divisée par 3
- B.divisée par 9Bonne réponse
- C.divisée par 27
- D.inchangée
Réponse : B — divisée par 9
Les aires sont multipliées par k², avec ici k = 1/3. Or (1/3)² = 1/9 : l'aire est donc divisée par 9. Répondre « divisée par 3 » revient à appliquer la règle des longueurs à une aire. Répondre « divisée par 27 » revient à utiliser k³ = 1/27, qui concerne les volumes. Une image mentale utile : réduire de moitié les deux côtés d'un carré divise son aire par 4, pas par 2.
Quelle est la section d'un cylindre de révolution par un plan parallèle à son axe ?
- A.un rectangleBonne réponse
- B.un disque
- C.un triangle
- D.un cercle
Réponse : A — un rectangle
En coupant le cylindre « dans la longueur », parallèlement à son axe, la section est un rectangle : sa hauteur est celle du cylindre, et sa largeur est une corde du disque de base. Quand le plan contient l'axe lui-même, ce rectangle est le plus large possible, de largeur égale au diamètre. Le disque, lui, s'obtient par une coupe parallèle à la base, donc perpendiculaire à l'axe.
Une pyramide de hauteur 10 cm est coupée par un plan parallèle à sa base, à 5 cm du sommet. Quel est le rapport de réduction k ?
- A.k = 5
- B.k = 2
- C.k = 1/2Bonne réponse
- D.k = 1/5
Réponse : C — k = 1/2
Le rapport se lit toujours depuis le sommet : k = hauteur de la petite pyramide / hauteur de la grande = 5/10 = 1/2. Comme k est compris entre 0 et 1, il s'agit bien d'une réduction, ce qui est cohérent avec le fait que la petite pyramide est incluse dans la grande. Répondre 2, c'est diviser dans le mauvais sens : on obtiendrait alors un agrandissement, ce qui est impossible ici.
Un solide de volume 40 cm³ est agrandi avec un rapport k = 2. Quel est le volume du solide obtenu ?
- A.80 cm³
- B.160 cm³
- C.42 cm³
- D.320 cm³Bonne réponse
Réponse : D — 320 cm³
Les volumes sont multipliés par k³ = 2³ = 8. Donc le nouveau volume vaut 40 × 8 = 320 cm³. Répondre 80 cm³, c'est multiplier par k = 2, ce qui ne vaut que pour les longueurs. Répondre 160 cm³, c'est multiplier par k² = 4, ce qui ne vaut que pour les aires. Souviens-toi qu'un volume met en jeu trois dimensions, toutes trois multipliées par 2.
Un cône a une hauteur de 12 cm. On le coupe par un plan parallèle à la base, situé à 4 cm du sommet. Quel est le rapport de réduction du petit cône ?
- A.k = 2/3
- B.k = 1/3Bonne réponse
- C.k = 3
- D.k = 1/4
Réponse : B — k = 1/3
On divise la petite hauteur par la grande, toutes deux mesurées depuis le sommet : k = 4/12 = 1/3. Le piège consiste à utiliser la distance du plan à la BASE, soit 12 − 4 = 8 cm, ce qui donnerait 8/12 = 2/3. Or le petit cône est situé du côté du sommet : c'est bien 4 cm qu'il faut prendre au numérateur. Retiens la formule : tout se mesure à partir du sommet.
Une figure d'aire 18 cm² est agrandie avec un rapport k = 2. Quelle est l'aire de la figure obtenue ?
- A.72 cm²Bonne réponse
- B.36 cm²
- C.144 cm²
- D.20 cm²
Réponse : A — 72 cm²
Les aires sont multipliées par k² = 2² = 4, donc l'aire devient 18 × 4 = 72 cm². Répondre 36 cm², c'est multiplier par 2 : on aurait appliqué aux aires la règle des longueurs. Répondre 144 cm², c'est multiplier par k³ = 8, règle réservée aux volumes. Une vérification concrète : un rectangle 3 sur 6 (aire 18) devient un rectangle 6 sur 12, d'aire 72.
Un cylindre a un rayon de base de 4 cm. On le coupe par un plan parallèle à sa base. Quelle est l'aire exacte de la section ?
- A.8π cm²
- B.4π cm²
- C.16π cm²Bonne réponse
- D.64π cm²
Réponse : C — 16π cm²
La section d'un cylindre par un plan parallèle à la base est un disque de MÊME rayon que la base, soit 4 cm. Son aire vaut donc πR² = π × 4² = 16π cm², c'est-à-dire environ 50,3 cm². Répondre 8π, c'est utiliser la formule 2πR du périmètre du cercle au lieu de celle de l'aire du disque. Et attention : ici, aucune réduction ne s'applique, contrairement au cas du cône.
Un solide de volume 64 cm³ subit une réduction de rapport k = 1/2. Quel est son nouveau volume ?
- A.32 cm³
- B.16 cm³
- C.4 cm³
- D.8 cm³Bonne réponse
Réponse : D — 8 cm³
Les volumes sont multipliés par k³ = (1/2)³ = 1/8. Le nouveau volume vaut donc 64 × 1/8 = 8 cm³. Répondre 32 cm³, c'est diviser par 2 comme pour une longueur. Répondre 16 cm³, c'est diviser par 4 comme pour une aire. L'image à retenir : un cube d'arête 4 cm (volume 64 cm³) devient un cube d'arête 2 cm, dont le volume vaut 2 × 2 × 2 = 8 cm³.
Un cône a un volume de 81 cm³. On le coupe parallèlement à sa base avec un rapport de réduction k = 1/3. Quel est le volume du petit cône ?
- A.27 cm³
- B.3 cm³Bonne réponse
- C.9 cm³
- D.1 cm³
Réponse : B — 3 cm³
Le petit cône est une réduction de rapport 1/3 du grand : son volume est donc multiplié par k³ = (1/3)³ = 1/27. On obtient 81 × 1/27 = 3 cm³. Répondre 27 cm³, c'est diviser simplement par 3, comme pour une longueur. Répondre 9 cm³, c'est diviser par 9, comme pour une aire. Retiens l'ordre de grandeur : réduire de trois fois un solide divise son volume par vingt-sept !
Un cône a une hauteur de 15 cm et un rayon de base de 6 cm. Un plan parallèle à la base le coupe à 5 cm du sommet. Quel est le rayon du disque obtenu ?
- A.2 cmBonne réponse
- B.3 cm
- C.4 cm
- D.18 cm
Réponse : A — 2 cm
Deux étapes. Le rapport d'abord : k = 5/15 = 1/3, puisque tout se mesure depuis le sommet. Le rayon ensuite : c'est une longueur, donc il est multiplié par k, soit 6 × 1/3 = 2 cm. Vérification de bon sens : 2 cm est bien plus petit que 6 cm, comme attendu pour une réduction. Répondre 4 cm viendrait de l'utilisation de la distance à la base (10 cm) au lieu de la distance au sommet.
Une pyramide de volume 54 cm³ est coupée par un plan parallèle à sa base, avec un rapport de réduction k = 1/3. Quel est le volume de la petite pyramide ?
- A.18 cm³
- B.6 cm³
- C.2 cm³Bonne réponse
- D.27 cm³
Réponse : C — 2 cm³
La petite pyramide est une réduction de rapport 1/3 : son volume est multiplié par k³ = 1/27. Donc 54 × 1/27 = 2 cm³. Vérification dans l'autre sens : 2 × 27 = 54, c'est cohérent. Répondre 18 cm³, c'est diviser par 3 (règle des longueurs) ; répondre 6 cm³, c'est diviser par 9 (règle des aires). Au passage, le tronc de pyramide restant a pour volume 54 − 2 = 52 cm³.
Un agrandissement multiplie les aires par 25. Par combien multiplie-t-il les volumes ?
- A.25
- B.75
- C.625
- D.125Bonne réponse
Réponse : D — 125
Il faut d'abord remonter au rapport k. Les aires sont multipliées par k², donc k² = 25 et k = 5 (le rapport d'un agrandissement est positif). Les volumes sont ensuite multipliés par k³ = 5³ = 125. Répondre 625, c'est calculer 25², c'est-à-dire k⁴, qui ne correspond à aucune grandeur. Répondre 75, c'est faire 25 × 3, ce qui n'a pas de sens ici : les puissances ne s'additionnent pas comme des multiplications.
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