Théorème de Thalès

Exercices corrigés

1. Dans un triangle ABC, M est sur [AB], N est sur [AC] et (MN) // (BC). Quelle égalité donne le théorème de Thalès ?

   • A.AM/AB = AN/AC = MN/BCBonne réponse
   • B.AM/MB = AN/NC = MN/BC
   • C.AB/AM = AN/AC = MN/BC
   • D.AM/AB = AC/AN = BC/MN

   Réponse : A — AM/AB = AN/AC = MN/BC

   Les trois rapports partent tous du point d'intersection A, en mettant le petit triangle au numérateur et le grand au dénominateur : AM/AB = AN/AC = MN/BC. Attention : AM/MB = AN/NC est une égalité vraie, mais elle n'est PAS égale à MN/BC, donc l'option 2 est fausse. Les options 3 et 4 mélangent les rapports dans des sens différents.

2. Dans un triangle ABC, M est sur [AB], N est sur [AC] et (MN) // (BC). On donne AM = 3 cm, AB = 6 cm et AC = 8 cm. Combien mesure AN ?

   • A.5 cm
   • B.11 cm
   • C.4 cmBonne réponse
   • D.16 cm

   Réponse : C — 4 cm

   D'après le théorème de Thalès : AM/AB = AN/AC, donc 3/6 = AN/8. Produit en croix : AN × 6 = 3 × 8 = 24, donc AN = 24/6 = 4 cm. Remarque : 3/6 = 1/2, donc AN est la moitié de AC, soit 4 cm. Répondre 16 cm vient d'un produit en croix inversé (6 × 8 / 3), et c'est impossible car AN doit être plus petit que AC = 8 cm.

3. Pour appliquer le théorème de Thalès, quelle condition est indispensable ?

   • A.Un triangle rectangle particulier, comme pour le théorème de Pythagore
   • B.Deux droites parallèles coupées par deux droites sécantes, avec des points alignésBonne réponse
   • C.Deux triangles qui ont exactement la même aire, quelle que soit leur forme
   • D.Deux droites perpendiculaires qui se coupent en formant un angle droit

   Réponse : B — Deux droites parallèles coupées par deux droites sécantes, avec des points alignés

   Le théorème de Thalès s'applique quand deux droites sécantes en un point coupent deux droites parallèles : c'est le parallélisme qui crée la proportionnalité des longueurs. Le triangle rectangle, c'est pour Pythagore, pas pour Thalès ! Ni l'égalité des aires ni la perpendicularité ne sont des conditions de Thalès.

4. Un segment de 4 cm est agrandi avec un rapport k = 3. Quelle est la longueur du segment agrandi ?

   • A.12 cmBonne réponse
   • B.7 cm
   • C.36 cm
   • D.4/3 cm

   Réponse : A — 12 cm

   Dans un agrandissement de rapport k, les longueurs sont MULTIPLIÉES par k : 4 × 3 = 12 cm. Répondre 7 cm serait additionner (4 + 3) au lieu de multiplier. Répondre 36 cm reviendrait à multiplier par k² = 9, mais k² ne concerne que les aires. Et 4/3 cm correspondrait à une division, donc à une réduction.

5. Dans un triangle ABC, M est sur [AB], N est sur [AC] et (MN) // (BC). On donne AM = 2 cm, AB = 5 cm et BC = 10 cm. Combien mesure MN ?

   • A.25 cm
   • B.4 cmBonne réponse
   • C.8 cm
   • D.1 cm

   Réponse : B — 4 cm

   D'après le théorème de Thalès : AM/AB = MN/BC, donc 2/5 = MN/10. Produit en croix : MN × 5 = 2 × 10 = 20, donc MN = 20/5 = 4 cm. Répondre 25 cm (= 5 × 10/2) vient d'un produit en croix inversé : impossible, MN doit être plus petit que BC. Répondre 8 cm (= 10 − 2) serait une soustraction sans lien avec la proportionnalité, et 1 cm (= 2 × 5/10) inverse aussi le rapport.

6. Un triangle d'aire 24 cm² subit une réduction de rapport 1/2. Quelle est l'aire du triangle réduit ?

   • A.12 cm²
   • B.6 cm²Bonne réponse
   • C.96 cm²
   • D.3 cm²

   Réponse : B — 6 cm²

   Dans une réduction de rapport k = 1/2, les aires sont multipliées par k² = (1/2)² = 1/4. Donc la nouvelle aire vaut 24 × 1/4 = 6 cm². Répondre 12 cm² est le piège classique : c'est multiplier par k au lieu de k² (seules les longueurs sont multipliées par k). Répondre 96 cm² (× 4) correspondrait à un agrandissement, et 3 cm² à une multiplication par 1/8 = k³, qui concerne les volumes.

7. Dans un triangle ABC, M est sur [AB], N est sur [AC] et (MN) // (BC). On donne AM = 4 cm, MN = 6 cm et BC = 9 cm. Combien mesure MB ?

   • A.6 cm
   • B.10 cm
   • C.3 cm
   • D.2 cmBonne réponse

   Réponse : D — 2 cm

   D'après le théorème de Thalès : AM/AB = MN/BC, donc 4/AB = 6/9. Produit en croix : 6 × AB = 4 × 9 = 36, donc AB = 36/6 = 6 cm. Attention, la question demande MB, pas AB ! Comme M est sur [AB] : MB = AB − AM = 6 − 4 = 2 cm. Répondre 6 cm, c'est oublier de soustraire AM. Il faut toujours relire ce que demande l'énoncé.

8. Une réduction transforme un triangle d'aire 45 cm² en un triangle d'aire 5 cm². Quel est le rapport de réduction k ?

   • A.k = 1/3Bonne réponse
   • B.k = 1/9
   • C.k = 3
   • D.k = 9

   Réponse : A — k = 1/3

   Les aires sont multipliées par k², donc k² = 5/45 = 1/9. On cherche k positif tel que k² = 1/9 : c'est k = 1/3 (car (1/3)² = 1/9). Répondre 1/9, c'est confondre k et k² : 1/9 est le rapport des AIRES, pas des longueurs. Les réponses 3 et 9 sont impossibles pour une réduction, où k doit être compris entre 0 et 1.

9. Dans un triangle ABC, M est sur [AB] avec AM = 6 cm et MB = 4 cm. Le point N est sur [AC] avec (MN) // (BC), et AC = 15 cm. Combien mesure NC ?

   • A.9 cm
   • B.10 cm
   • C.6 cmBonne réponse
   • D.5 cm

   Réponse : C — 6 cm

   D'abord AB = AM + MB = 6 + 4 = 10 cm. D'après le théorème de Thalès : AM/AB = AN/AC, donc 6/10 = AN/15. Produit en croix : AN × 10 = 6 × 15 = 90, donc AN = 9 cm. Enfin NC = AC − AN = 15 − 9 = 6 cm. Répondre 9 cm, c'est donner AN au lieu de NC. Répondre 10 cm (= 15 × 4/6) vient d'un mauvais rapport : dans Thalès, on divise par AB = 10, pas par AM = 6.

10. Dans un triangle ABC, M est sur [AB], N est sur [AC], (MN) // (BC) et AM/AB = 2/5. L'aire du triangle AMN vaut 8 cm². Quelle est l'aire du triangle ABC ?

    • A.20 cm²
    • B.32 cm²
    • C.100 cm²
    • D.50 cm²Bonne réponse

    Réponse : D — 50 cm²

    Grâce à Thalès, AMN est une réduction de ABC de rapport k = AM/AB = 2/5. Donc ABC est un agrandissement de AMN de rapport 5/2, et son aire est multipliée par (5/2)² = 25/4. Aire de ABC = 8 × 25/4 = 200/4 = 50 cm². Vérification dans l'autre sens : 50 × (2/5)² = 50 × 4/25 = 8, c'est cohérent. Répondre 20 cm² (= 8 × 5/2), c'est multiplier par k au lieu de k² ; 32 cm² (= 8 × 4), c'est utiliser 2² au lieu de (5/2)².

11. Configuration papillon : les points M, A, B sont alignés dans cet ordre, les points N, A, C aussi, et (MN) // (BC). On donne AM = 4 cm, AB = 6 cm et AN = 5 cm. Combien mesure AC ?

    • A.3,3 cm environ
    • B.4,8 cm
    • C.15 cm
    • D.7,5 cmBonne réponse

    Réponse : D — 7,5 cm

    Les droites (MB) et (NC) sont sécantes en A et (MN) // (BC). D'après le théorème de Thalès : AM/AB = AN/AC, donc 4/6 = 5/AC. Produit en croix : 4 × AC = 6 × 5 = 30, donc AC = 30/4 = 7,5 cm. Répondre environ 3,3 cm (= 4 × 5/6) vient d'un rapport inversé : c'est impossible car AC doit être plus grand que AN. La configuration papillon utilise exactement les mêmes rapports que les triangles emboîtés.

12. Les points A, M, B sont alignés dans cet ordre, ainsi que A, N, C. On donne AM = 2, AB = 3, AN = 4 et AC = 6. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

    • A.Oui, car AM/AB = AN/AC et les points sont alignés dans le même ordreBonne réponse
    • B.Non, car 2/3 et 4/6 sont deux fractions différentes
    • C.On ne peut pas conclure sans connaître MN et BC
    • D.Oui, car AM + AN = AB + AC

    Réponse : A — Oui, car AM/AB = AN/AC et les points sont alignés dans le même ordre

    Calculons les rapports : AM/AB = 2/3 et AN/AC = 4/6 = 2/3. Les rapports sont égaux (vérification par produit en croix : 2 × 6 = 12 et 3 × 4 = 12). Comme les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre, la réciproque du théorème de Thalès permet de conclure : (MN) // (BC). Attention : 2/3 et 4/6 s'écrivent différemment mais représentent le même nombre ! Et on n'a pas besoin de MN ni de BC pour la réciproque.