Sphères et boules
Troisième · Maths · Espace et géométrie
Espace et géométrie
Sphère, boule et sections
Un ballon de baudruche et une boule de pétanque n'ont pas la même nature géométrique. Le premier n'est qu'une surface (il est creux), le second est plein. En mathématiques, ces deux objets portent deux noms différents : la sphère et la boule.
Le vocabulaire à maîtriser
| Mot | Signification | À savoir |
|---|---|---|
| Centre O | le point situé au milieu | il n'appartient pas à la sphère, mais il appartient à la boule |
| Rayon R | distance du centre à la surface | tous les rayons ont la même longueur |
| Diamètre | segment qui traverse la sphère en passant par O | diamètre = 2 × R |
| Grand cercle | cercle obtenu en coupant par un plan qui passe par O | c'est le plus grand cercle possible, de rayon R |
| Méridien / parallèle | cercles servant à se repérer sur le globe | les méridiens sont des grands cercles, les parallèles non (sauf l'équateur) |
Couper une sphère par un plan
Quand un plan coupe une sphère, la section obtenue est toujours un cercle (jamais un carré ni une ellipse !). Ce cercle est d'autant plus petit que le plan s'éloigne du centre. Si le plan passe par le centre O, on obtient le grand cercle, de rayon R. Si le plan est à une distance de O supérieure à R, il ne touche plus la sphère du tout.
Grandeurs et mesures
Aire d'une sphère et volume d'une boule
Deux formules à connaître par cœur pour le brevet : l'une donne l'aire de la sphère (la surface de la coque), l'autre le volume de la boule (la place qu'elle occupe). Elles font toutes les deux intervenir le nombre π.
Retrouver le rayon à partir d'une aire ou d'un volume
Les exercices demandent parfois le chemin inverse. Le principe est toujours le même : on isole R² ou R³, puis on remonte.
À partir de l'aire : si A = 4πR², alors R² = A/(4π), et R est la racine carrée de ce nombre.
À partir du volume : si V = (4/3)πR³, alors R³ = 3V/(4π), et R est le nombre dont le cube vaut ce résultat.
Astuce : quand l'énoncé donne une valeur exacte avec π (par exemple 100π ou 36π), les π se simplifient et les calculs tombent juste.
Agrandir ou réduire une boule
| Si le rayon est multiplié par... | L'aire est multipliée par... | Le volume est multiplié par... |
|---|---|---|
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 1/2 | 1/4 | 1/8 |
| k | k² | k³ |
Exercices corrigés
Quelle est la différence entre une sphère et une boule ?
- A.Il n'y en a aucune, ce sont deux mots pour la même chose
- B.La sphère est une surface (creuse), la boule est un solide pleinBonne réponse
- C.La boule est une surface, la sphère est un solide plein
- D.La sphère est un cercle dessiné dans un plan
Réponse : B — La sphère est une surface (creuse), la boule est un solide plein
La sphère de centre O et de rayon R rassemble les points situés exactement à la distance R de O : c'est une surface, comme la peau d'un ballon. La boule ajoute tout l'intérieur : ce sont les points situés à une distance inférieure ou égale à R. On parle donc de l'aire d'une sphère et du volume d'une boule. Le cercle, lui, est une figure plane : la sphère est son équivalent dans l'espace.
Quelle formule donne le volume d'une boule de rayon R ?
- A.V = 4 × π × R²
- B.V = π × R² × h
- C.V = (4/3) × π × R³Bonne réponse
- D.V = (1/3) × π × R³
Réponse : C — V = (4/3) × π × R³
Le volume d'une boule vaut (4/3)πR³. Un volume occupe l'espace en trois dimensions : le rayon apparaît donc au cube, et le résultat s'exprime en cm³ ou m³. La formule 4πR² est celle de l'aire de la sphère. La formule πR²h donne le volume d'un cylindre. Attention à ne pas perdre la fraction 4/3 en route : c'est l'oubli le plus fréquent.
Quelle est l'aire exacte d'une sphère de rayon 2 cm ?
- A.8π cm²
- B.4π cm²
- C.12π cm²
- D.16π cm²Bonne réponse
Réponse : D — 16π cm²
On applique A = 4πR² avec R = 2 : A = 4 × π × 2² = 4 × π × 4 = 16π cm². Vérification en valeur approchée : 16 × 3,14 ≈ 50,3 cm². Répondre 8π, c'est avoir calculé 4 × 2 en oubliant d'élever le rayon au carré. Répondre 4π, c'est utiliser la formule de l'aire d'un disque (πR²) au lieu de celle de la sphère.
Quel est le volume exact d'une boule de rayon 6 cm ?
- A.144π cm³
- B.288π cm³Bonne réponse
- C.72π cm³
- D.864π cm³
Réponse : B — 288π cm³
On applique V = (4/3)πR³ avec R = 6 : d'abord 6³ = 6 × 6 × 6 = 216. Ensuite V = (4/3) × π × 216 = (4 × 216)/3 × π = 864/3 × π = 288π cm³. Répondre 864π, c'est avoir oublié de diviser par 3. Répondre 144π, c'est avoir utilisé 4πR² avec R = 6 (soit l'aire, et non le volume).
Un plan coupe une sphère. Quelle est la nature de la section obtenue ?
- A.un carré
- B.une ellipse
- C.un cercleBonne réponse
- D.un triangle
Réponse : C — un cercle
Quelle que soit l'inclinaison du plan, la section d'une sphère est toujours un cercle. C'est une conséquence de la symétrie parfaite de la sphère : vue depuis n'importe quelle direction, elle a le même aspect. Le cercle obtenu est d'autant plus petit que le plan s'éloigne du centre ; il atteint son maximum (le grand cercle, de rayon R) quand le plan passe par le centre O.
Une sphère a un diamètre de 10 cm. Quelle est son aire exacte ?
- A.100π cm²Bonne réponse
- B.400π cm²
- C.40π cm²
- D.25π cm²
Réponse : A — 100π cm²
Attention, l'énoncé donne le diamètre : il faut d'abord trouver le rayon R = 10/2 = 5 cm. Ensuite A = 4πR² = 4 × π × 5² = 4 × π × 25 = 100π cm². Répondre 400π, c'est le piège classique : on a utilisé le diamètre 10 à la place du rayon, ce qui donne 4 × 100 = 400. Comme le rayon apparaît au carré, cette erreur multiplie le résultat par 4.
Une sphère a une aire exacte de 64π cm². Quel est son rayon ?
- A.16 cm
- B.8 cm
- C.4 cmBonne réponse
- D.2 cm
Réponse : C — 4 cm
On part de A = 4πR² = 64π. En divisant les deux membres par π, il reste 4R² = 64, donc R² = 16, d'où R = 4 cm (le rayon est positif). Vérification : 4 × π × 4² = 4 × π × 16 = 64π. C'est bien cela. Répondre 16 cm, c'est s'arrêter à R² sans prendre la racine carrée. Répondre 8 cm reviendrait à diviser 64 par 8 sans raison.
Quel est le volume d'une boule de rayon 3 cm, arrondi au dixième de cm³ ?
- A.113,1 cm³Bonne réponse
- B.37,7 cm³
- C.36,0 cm³
- D.339,3 cm³
Réponse : A — 113,1 cm³
On calcule d'abord la valeur exacte : V = (4/3)π × 3³ = (4/3)π × 27 = 36π cm³. Puis la valeur approchée : 36 × π ≈ 36 × 3,14159 ≈ 113,1 cm³. Répondre 36,0 cm³, c'est avoir oublié de multiplier par π. Répondre 339,3 cm³ correspondrait à 108π, c'est-à-dire à un oubli de la division par 3.
Si on double le rayon d'une boule, son volume est multiplié par...
- A.2
- B.3
- C.4
- D.8Bonne réponse
Réponse : D — 8
Le volume est proportionnel au cube du rayon : V = (4/3)πR³. Si le rayon devient 2R, le volume devient (4/3)π(2R)³ = (4/3)π × 8R³, soit 8 fois le volume initial. Vérifions sur un exemple : pour R = 1, V = (4/3)π ; pour R = 2, V = (32/3)π, et (32/3)/(4/3) = 8. Répondre 2, c'est raisonner comme pour une longueur ; répondre 4, c'est raisonner comme pour une aire.
Une boule a un volume exact de 36π cm³. Quel est son rayon ?
- A.27 cm
- B.6 cm
- C.3 cmBonne réponse
- D.9 cm
Réponse : C — 3 cm
On part de (4/3)πR³ = 36π. Les π se simplifient : (4/3)R³ = 36. On multiplie les deux membres par 3 : 4R³ = 108, donc R³ = 27. Le nombre dont le cube vaut 27 est 3, car 3 × 3 × 3 = 27. Donc R = 3 cm. Vérification : (4/3)π × 27 = 36π. C'est correct. Répondre 27 cm, c'est s'arrêter à R³ sans remonter à R.
Une sphère de centre O a pour rayon 5 cm. Un plan situé à 3 cm de O la coupe. Quel est le rayon du cercle obtenu ?
- A.2 cm
- B.8 cm
- C.5 cm
- D.4 cmBonne réponse
Réponse : D — 4 cm
Notons I le centre du cercle de section et M un point de ce cercle. Le triangle OIM est rectangle en I, avec OM = 5 cm (rayon de la sphère, c'est l'hypoténuse) et OI = 3 cm (distance du plan au centre). D'après le théorème de Pythagore : 5² = 3² + IM², soit 25 = 9 + IM², donc IM² = 16 et IM = 4 cm. Répondre 2 cm, c'est faire la soustraction 5 − 3, ce qui ignore Pythagore. Répondre 5 cm supposerait que le plan passe par le centre.
Une balle a un diamètre de 8 cm. Quel est son volume, arrondi au cm³ près ?
- A.2145 cm³
- B.268 cm³Bonne réponse
- C.134 cm³
- D.201 cm³
Réponse : B — 268 cm³
D'abord le rayon : R = 8/2 = 4 cm. Ensuite le volume : V = (4/3)π × 4³ = (4/3)π × 64 = 256π/3 cm³. En valeur approchée : 256/3 ≈ 85,33 puis 85,33 × π ≈ 268 cm³. Répondre 2145 cm³, c'est le piège du diamètre utilisé comme rayon : (4/3)π × 8³ = (4/3)π × 512 ≈ 2145. Comme le rayon est au cube, cette erreur multiplie le résultat par 8 !
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Ce chapitre compte 36 exercices corrigés dans l'application, avec le suivi de ta progression.
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