Équations et inéquations
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Nombres et calculs
Résoudre une équation du premier degré
Une équation, c'est une balance : le signe = dit que les deux plateaux s'équilibrent. Résoudre, c'est retrouver la valeur cachée derrière x en gardant l'équilibre à chaque étape. C'est l'outil numéro un pour transformer un problème rédigé en calcul.
Les deux règles qui autorisent tout
| Ce que tu vois | Ce que tu fais aux deux membres | Exemple |
|---|---|---|
| x + a = b | tu soustrais a | x + 5 = 12 donne x = 12 − 5 = 7 |
| x − a = b | tu ajoutes a | x − 4 = 9 donne x = 9 + 4 = 13 |
| a × x = b | tu divises par a | 3x = 18 donne x = 18 ÷ 3 = 6 |
| x ÷ a = b | tu multiplies par a | x/5 = 4 donne x = 4 × 5 = 20 |
Nombres et calculs
Équations produit, inéquations et mise en équation
Toutes les équations ne sont pas du premier degré. Deux familles nouvelles arrivent en 3e : les équations produit et les inéquations. Et surtout, l'exercice roi du brevet : traduire un énoncé en équation.
Le cas de l'équation x² = a. Une équation du type x² = a se résout selon le signe de a :
si a est positif, il y a deux solutions opposées ;
si a = 0, il y a une seule solution, x = 0 ;
si a est négatif, il n'y a aucune solution, car un carré n'est jamais négatif.
Exemple : x² = 49 a pour solutions x = 7 et x = −7, tandis que x² = −9 n'en a aucune.
| Opération sur les deux membres | Effet sur le signe | Exemple |
|---|---|---|
| Ajouter ou soustraire un nombre | aucun changement | x − 3 < 5 donne x < 8 |
| Multiplier ou diviser par un nombre positif | aucun changement | 3x < 12 donne x < 4 |
| Multiplier ou diviser par un nombre négatif | le sens s'inverse | −3x < 12 donne x > −4 |
Exercices corrigés
Quelle est la solution de l'équation x + 5 = 12 ?
- A.x = 17
- B.x = 7Bonne réponse
- C.x = −7
- D.x = 60
Réponse : B — x = 7
On soustrait 5 aux deux membres : x = 12 − 5 = 7. Vérification : 7 + 5 = 12, c'est correct. Répondre 17, c'est avoir additionné 5 au lieu de le soustraire ; 60 vient d'une multiplication qui n'a rien à faire ici.
Quelle est la solution de l'équation 3x = 18 ?
- A.x = 54
- B.x = 15
- C.x = 6Bonne réponse
- D.x = 21
Réponse : C — x = 6
Ici x est multiplié par 3, on divise donc les deux membres par 3 : x = 18 ÷ 3 = 6. Vérification : 3 × 6 = 18. Répondre 15 (18 − 3) ou 21 (18 + 3), c'est confondre multiplication et addition : quand le nombre est collé au x, il le multiplie.
Quelle est la solution de l'équation 2x − 3 = 7 ?
- A.x = 5Bonne réponse
- B.x = 2
- C.x = 8
- D.x = −5
Réponse : A — x = 5
On ajoute 3 aux deux membres : 2x = 10. Puis on divise par 2 : x = 5. Vérification : 2 × 5 − 3 = 10 − 3 = 7. Répondre 2, c'est avoir soustrait 3 au lieu de l'ajouter (2x = 4) : quand un terme change de membre, il change de signe.
Quelle est la solution de l'équation x − 4 = −9 ?
- A.x = −13
- B.x = 5
- C.x = −5Bonne réponse
- D.x = 13
Réponse : C — x = −5
On ajoute 4 aux deux membres : x = −9 + 4 = −5. Vérification : −5 − 4 = −9, c'est juste. Répondre −13, c'est avoir soustrait 4 encore une fois (−9 − 4). Fais attention aux additions de relatifs : ajouter 4 à −9 rapproche de zéro.
Quelles sont les solutions de l'inéquation x + 3 < 8 ?
- A.tous les nombres x tels que x < 5Bonne réponse
- B.tous les nombres x tels que x < 11
- C.tous les nombres x tels que x > 5
- D.tous les nombres x tels que x < −5
Réponse : A — tous les nombres x tels que x < 5
On soustrait 3 aux deux membres : x < 8 − 3, soit x < 5. Comme on a seulement soustrait un nombre (et non multiplié par un négatif), le sens de l'inégalité ne change pas. Test rapide : x = 4 convient (4 + 3 = 7 < 8) mais x = 6 ne convient pas (9 < 8 est faux).
Quelles sont les solutions de l'équation (x − 2)(x + 5) = 0 ?
- A.x = −2 et x = 5
- B.x = 2 et x = 5
- C.x = −2 et x = −5
- D.x = 2 et x = −5Bonne réponse
Réponse : D — x = 2 et x = −5
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Premier facteur : x − 2 = 0 donne x = 2. Second facteur : x + 5 = 0 donne x = −5. Les solutions sont donc 2 et −5. Le piège classique est de recopier les nombres tels qu'ils apparaissent dans les parenthèses : il faut les prendre avec le signe OPPOSÉ.
Quelle est la solution de l'équation 5x + 2 = 3x + 10 ?
- A.x = 6
- B.x = 4Bonne réponse
- C.x = 1,5
- D.x = 8
Réponse : B — x = 4
On soustrait 3x aux deux membres : 2x + 2 = 10. On soustrait 2 : 2x = 8. On divise par 2 : x = 4. Vérification dans l'équation de départ : à gauche 5 × 4 + 2 = 22, à droite 3 × 4 + 10 = 22. Répondre 8, c'est oublier la dernière division par 2.
Quelle est la solution de l'équation 4(x + 3) = 20 ?
- A.x = 2Bonne réponse
- B.x = 5
- C.x = 8
- D.x = 17
Réponse : A — x = 2
On développe : 4x + 12 = 20. On soustrait 12 : 4x = 8. On divise par 4 : x = 2. Vérification : 4 × (2 + 3) = 4 × 5 = 20. Répondre 5, c'est avoir divisé par 4 puis oublié de retirer les 3 ; répondre 17, c'est avoir soustrait 3 au lieu de traiter le facteur 4.
Quelles sont les solutions de l'inéquation −2x > 6 ?
- A.x > −3
- B.x > 3
- C.x < −3Bonne réponse
- D.x < 3
Réponse : C — x < −3
On divise les deux membres par −2. Comme −2 est NÉGATIF, le sens de l'inégalité s'inverse : le signe > devient <. On obtient x < −3. Contrôle : x = −4 convient car −2 × (−4) = 8 et 8 > 6 ; x = −2 ne convient pas car −2 × (−2) = 4 et 4 > 6 est faux. Oublier d'inverser le sens est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
Quelle est la solution de l'équation 7 − 2x = 1 ?
- A.x = −3
- B.x = 4
- C.x = 8
- D.x = 3Bonne réponse
Réponse : D — x = 3
On soustrait 7 aux deux membres : −2x = 1 − 7 = −6. On divise par −2 : x = (−6) ÷ (−2) = 3. Vérification : 7 − 2 × 3 = 7 − 6 = 1. Répondre −3, c'est se tromper de signe dans la division de deux nombres négatifs, qui donne toujours un résultat positif.
« Je pense à un nombre, je le multiplie par 3 puis j'ajoute 7 : j'obtiens 25. » Quelle équation traduit ce programme ?
- A.3(x + 7) = 25
- B.3x + 7 = 25Bonne réponse
- C.x + 3 × 7 = 25
- D.3x − 7 = 25
Réponse : B — 3x + 7 = 25
On multiplie d'abord par 3 (ce qui donne 3x), PUIS on ajoute 7 : l'expression est 3x + 7, et elle vaut 25. L'écriture 3(x + 7) traduirait l'ordre inverse (ajouter 7, puis multiplier par 3), ce qui n'est pas le même programme. En résolvant : 3x = 18, donc x = 6, et effectivement 3 × 6 + 7 = 25.
Quelles sont les solutions de l'équation (2x − 6)(x + 1) = 0 ?
- A.x = 6 et x = 1
- B.x = −3 et x = 1
- C.x = 3 et x = −1Bonne réponse
- D.x = 3 et x = 1
Réponse : C — x = 3 et x = −1
Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul. Premier facteur : 2x − 6 = 0, donc 2x = 6 et x = 3. Second facteur : x + 1 = 0, donc x = −1. Vérification avec x = 3 : (2 × 3 − 6) × (3 + 1) = 0 × 4 = 0. Attention à ne pas oublier de diviser par 2 dans le premier facteur.
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Ce chapitre compte 35 exercices corrigés dans l'application, avec le suivi de ta progression.
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